1. Metoda bezpośrednia
Częstotliwość mierzoną wyznacza się ze wzoru:
1
fx = * N
Tw
gdzie:
N-liczba impulsów
Tw-okres wzorcowy
BÅ‚
d pomiaru częstotliwości jest sumą trzech błędów składowych:
´fx = ´Tw + ´B + ´N
gdzie:
dTw - błąd wzorca częstotliwości (pomijalnie mały)
dB - błąd bramkowania (pomijalnie mały)
dN - błąd zliczania wyrażony wzorem:
1
´N =
TW Å"f
x
2. Metoda pośrednia
Częstotliwość mierzoną wyznacza się ze wzoru:
k * fw
fx =
N
gdzie:
k - współczynnik podziału ( u nas równy 1)
N-liczba impulsów
fw-częstotliwość wzorcowa
Błąd pomiaru częstotliwości jest , podobnie jak w metodzie bezpośredniej sumą błędów: wzorca częstotliwości,
bramkowania i zliczania. Błąd zliczania jest tutaj wyrażony wzorem:
f
x
´N =
k Å" fw
Ćwiczenie polegało na znalezieniu zakresu częstotliwości dla obu metod pomiaru tak aby błąd popełniany nie
był większy od 0,01%. Po dokonaniu obliczeń wynikających z wzorów na błąd zliczania dla każdej z metod
okazało się że zakresy stosowalności każdej z metod, przy założonej wielkości błędu są następujące:
dla metody bezpośredniej: fx > 1 kHz
dla metody pośredniej: fx < 1 kHz
Aby osiągnąć jak najdokładniejsze wyniki pomiarów dokonaliśmy następujących założeń wartości
częstotliwości generatora wzorcowego:
dla metody bezpośredniej: Tw = 1s
dla metody pośredniej: fw = 1 MHz
Wynika to bezpośrednio ze wzorów na błąd zliczania , a wartości liczbowe wynikały z dostępnych
częstotliwości generatora wzorcowego użytego w ćwiczeniu.
W pomiarach wystąpił rozrzut wyników, dlatego graniczna wartość błędu ma dwie składowe : systematyczną i
przypadkową. Składową systematyczną liczymy zgodnie z podanymi wcześniej wzorami. Graniczny błąd
przypadkowy liczymy wg. wzoru:
"p
´pg =
fxsr
przy czym Dp jest niepewnością przypadkową którą wyraża się wzorem:
"p = tq, k *Sfxsr
Przyjmujemy poziom ufności a=0.95. Z tablic rozkładu Studenta odczytaliśmy wartość zmiennej t dla q=1-
a=0.05 oraz liczby stopni swobody k=5-1=4. U nas wartość ta wyniosła 2,78.
Odchylenie standardowe dla średniej liczyliśmy zgodnie ze wzorem:
n
1
Sfxsr = * i
"(fx -fxsr)2
n *(n -1)
i=1
Pomiary:
1. Metoda bezpośrednia
f f N N N N f ´fxÅ›r
wz x gen 1 2 3 śr x śr "
P
[kHz] [kHz] [kHz] [kHz] [kHz]
- - - - [%]
1000 50 1 1 1 1,00000 1000,00000 -950,00000 950,00000 1,00000
100 50 1 2 1 1,33333 133,33333 -83,33333 83,33333 0,75000
10 50 6 6 6 6,00000 60,00000 -10,00000 10,00000 0,16667
1 50 12410 12131 12270,50000 12270,50000 -12220,50000 12220,50000 0,00008
1000 100 1 2 3 2,00000 2000,00000 -1900,00000 1900,00000 0,50000
100 100 2 2 4 2,66667 266,66667 -166,66667 166,66667 0,37500
10 100 10 10 11 10,33333 103,33333 -3,33333 3,33333 0,09677
1 100 101 102 101 101,33333 101,33333 -1,33333 1,33333 0,00987
1000 1000 3 3 2 2,66667 2666,66667 -1666,66667 1666,66667 0,37500
100 1000 11 11 11 11,00000 1100,00000 -100,00000 100,00000 0,09091
10 1000 100 100 100 100,00000 1000,00000 0,00000 0,00000 0,01000
1 1000 997 997 996 996,66667 996,66667 3,33333 -3,33333 0,00100
1000 2000 3 2 2 2,33333 2333,33333 -333,33333 333,33333 0,42857
100 2000 150 145 139 144,66667 14466,66667 -12466,66667 12466,66667 0,00691
10 2000 2219 2211 2215,00000 22150,00000 -20150,00000 20150,00000 0,00045
1 2000 16381 16464 16422,50000 16422,50000 -14422,50000 14422,50000 0,00006
1000 5000 1 1 1 1,00000 1000,00000 4000,00000 -4000,00000 1,00000
100 5000 54 50 50 51,33333 5133,33333 -133,33333 133,33333 0,01948
10 5000 499 499 498 498,66667 4986,66667 13,33333 -13,33333 0,00201
1 5000 4979 4979 4979 4979,00000 4979,00000 21,00000 -21,00000 0,00020
1000 10000 1 1 1 1,00000 1000,00000 9000,00000 -9000,00000 1,00000
100 10000 418 413 415,50000 41550,00000 -31550,00000 31550,00000 0,00241
10 10000 3279 3146 3212,50000 32125,00000 -22125,00000 22125,00000 0,00031
1 10000 26137 26379 26258,00000 26258,00000 -16258,00000 16258,00000 0,00004
1000 15000 1 1 1 1,00000 1000,00000 14000,00000 -14000,00000 1,00000
100 15000 1 1 1 1,00000 100,00000 14900,00000 -14900,00000 1,00000
10 15000 1917 2070 1993,50000 19935,00000 -4935,00000 4935,00000 0,00050
1 15000 14929 14928 14929 14928,66667 14928,66667 71,33333 -71,33333 0,00007
2.Metoda Pośrednia:
f f N N N N f ´fxÅ›r
wz x gen 1 2 3 śr x śr "
P
[kHz] [kHz] [kHz] [kHz] [kHz]
- - - - [%]
1000000 10 97935 97927 97931,000000 10,211271 -0,211271 0,211271 0,000010
100000 10 9835 9823 9829,000000 10,173975 -0,173975 0,173975 0,000102
10000 10 980 980 979 979,666667 10,207554 -0,207554 0,207554 0,001021
1000 10 98 99 97 98,000000 10,204082 -0,204082 0,204082 0,010204
1000000 50 19969 19966 19967 19967,333333 50,081800 -0,081800 0,081800 0,000050
100000 50 1999 2001 2001 2000,333333 49,991668 0,008332 -0,008332 0,000500
10000 50 200 200 201 200,333333 49,916805 0,083195 -0,083195 0,004992
1000 50 21 21 21 21,000000 47,619048 2,380952 -2,380952 0,047619
1000000 100 9998 9999 10001 9999,333333 100,006667 -0,006667 0,006667 0,000100
100000 100 1001 1001 1001 1001,000000 99,900100 0,099900 -0,099900 0,000999
10000 100 100 100 101 100,333333 99,667774 0,332226 -0,332226 0,009967
1000 100 10 10 10 10,000000 100,000000 0,000000 0,000000 0,100000
1000000 200 5011 5011 5007 5009,666667 199,614079 0,385921 -0,385921 0,000200
100000 200 502 501 502 501,666667 199,335548 0,664452 -0,664452 0,001993
10000 200 51 50 51 50,666667 197,368421 2,631579 -2,631579 0,019737
1000 200 5 5 5 5,000000 200,000000 0,000000 0,000000 0,200000
1000000 2000 500 502 503 501,666667 1993,355482 6,644518 -6,644518 0,001993
100000 2000 51 51 50 50,666667 1973,684211 26,315789 -26,315789 0,019737
10000 2000 6 5 6 5,666667 1764,705882 235,294118 -235,294118 0,176471
1000 2000 1 1 1 1,000000 1000,000000 1000,000000 -1000,000000 1,000000
1000000 1000 1002 1001 1005 1002,666667 997,340426 2,659574 -2,659574 0,000997
100000 1000 101 101 100 100,666667 993,377483 6,622517 -6,622517 0,009934
10000 1000 10 10 11 10,333333 967,741935 32,258065 -32,258065 0,096774
1000 1000 1 1 2 1,333333 750,000000 250,000000 -250,000000 0,750000
1000000 5000 201 202 201 201,333333 4966,887417 33,112583 -33,112583 0,004967
100000 5000 21 21 21 21,000000 4761,904762 238,095238 -238,095238 0,047619
10000 5000 3 3 3 3,000000 3333,333333 1666,666667 -1666,666667 0,333333
1000 5000 1 1 1 1,000000 1000,000000 4000,000000 -4000,000000 1,000000
Przykładowe obliczenia:
Metoda bezpośrednia:
N ƒÄ…N ƒÄ…N
499ƒÄ…499ƒÄ…498=498,66667
1 2 3
N = =
sr
3 3
1 1 1
f = Å"N = Å"N = Å"498,66667=4976,66667
xsr sr sr
T 1 1
wz
f
10-3
wz
­Ä…= f - f =13,33333
zgen sr
p=-­Ä…=-13,33333
ºÄ… =ºÄ…TwzƒÄ…ºÄ…BƒÄ…ºÄ…N=0,00201
fxsr
1 1
ºÄ…N= = =0,00201
T Å"f N
W xsr sr
Metoda pośrednia:
N ƒÄ…N ƒÄ…N
1 2 3
N = =9998ƒÄ…9999ƒÄ…10001 =9999,333333
sr
3 3
kÅ"f
1Å"106
wz
f = = =100,006667
xsr
N 9999,333333
sr
­Ä…= f - f =-0,006667
xgen xsr
p=-­Ä…=-0,006667
ºÄ… =ºÄ…TwzƒÄ…ºÄ…BƒÄ…ºÄ…N=0,000100
fxsr
f
1
xsr
ºÄ…N= = =0,000100
kÅ"f N
wz sr
Wnioski:
Cyfrowy pomiar częstotliwości jest jedną z najdokładniejszych metod pomiaru dla tej wielkości jednak nie
mogliśmy tego doświadczyć z powodu nie do końca sprawnej aparatury. Przy naszych pomiarach wystąpiły
znacznie odbiegające od normy błędy grube, które odrzuciliśmy.
Na podstawie podanych wyników przy badaniu niestabilności generatora można wywnioskować, że aby
generator podawał sygnał o danej częstotliwości powinno się chwilę odczekać, aby mógł on się ustabilizować.
Następnie na podstawie ćwiczenia można wywnioskować, że przy danej częstotliwości granicznej błędy
pomiaru (nie biorąc pod uwagę grubych błędów) zarówno dla metody pośredniej jak i bezpośredniej są do
siebie podobne.
Jest tak ponieważ metody pomiaru: bezpośrednie i pośrednie uzupełniają się bo dotyczą różnych zakresów
częstotliwości.
Warto również pamiętać o możliwości rozkalibrowania generatora, tzn. wybierane przez nas częstotliwości
niekoniecznie muszą pokrywać się z prawdziwymi.
Aparatura
Zasilacz laboratoryjny Z4
Dekadowy generator RC typ PW-II
PÅ‚ytki: generator wzorcowy
układ bramkujący
licznik impulsów