Liczbą g nazywamy granicą f przy x dążącym do +" jeżeli dla każdego x argumentów (xn)
rozbieżnego do +" odpowiadającego mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zawsze zbieżne do g.
Jeżeli g jest równe +" lub -" to mówimy że g jest granicą niewłaściwą.
-> rozbieżny ciąg wartości
Przy wyznaczaniu granic funkcji można wykorzystywad wszystkie twierdzenia dotyczące granic
ciągów. Jednakże dodatkowo:
1)
2)
3)
4)
Przykłady:
Wyznacz granice funkcji
1)
2)
3)
4) 1
5)
6)
7)
8)
9)
Strona 1 z 6
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej.
Niech będzie określona funkcja f w przedziale a, b. niech x a, b należy do przedziału a, b oraz x+ x
też należy do przedziału gdzie x jest to przyrost argumentu x.
Ilorazem różnicowym nazywamy wyrażenie postaci:
<- iloraz różnicowy.
Granica przy x dążącym do ilorazu różnicowego jest pochodną funkcji f.
f(x+
f(x)
f(x)
a x x+ b
Wyznaczyd definicje funkcji:
F(x+
=
=
Pochodne wybranych funkcji
1) C=0
2) (a*x) = c
3) (xk) = k*xk-l
4) (
5) (
6) (ax) = ax*lna
7) (ex) = ex
8) (loga x) =
9) (lnx) =
10) (sin x) = cos x
11) (cos x) = -sin x
Strona 2 z 6
12) (tg x) =
13) (ctg x)
Szczegóły różniczkowania (liczenia pochodnych)
1) (f (x) +g(x)) = f (x)+g (x)
2) (f*g) = f * g+ f*g
3)
4)
Wyznaczyd Pochodne następujących funkcji.
1) f(x) =
f (x)=(x6-4x5+5x-12+lnx) = (x6)  (4x5) +(5x)  (12) +(lnx) = (x6) -4*(x5) +(5x) +(12) +(lnx) = 6*x5-
4*5x2+5-0+ = 6x5-20x4+5+
2) f(x)= 2x2-3x+4
f (x)=(2x2) -(3x) +4 =2*2x-3+0=4x+3
3) f(x)=tgx+ ex
f (x)=(tgx) +(ex) = +ex
4) f(x)=
f (x)= =
5) f(x) =
f (x)=( =(-101)*x-102=-101*
6) f(x)= 5x*(2x+3)
f (x)= (5x) * (2x+3)+5x*(2x+3) = 5xln5*(2x+3)+5x*2
7) f(x) = cos x *sin x
f (x) =(cos x) * sin x+ cos x*(sin x) = -sin x *sin x+ cos x* cos x= -sin2x+cos2x
8) f(x) =
f(x)=
Pochodne wyższych rzędów
Strona 3 z 6
Jeżeli pochodna f (x) istnieje w każdym punkcie pewnego przedziału i jest w nim różniczkowana to jej
pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną).
f  (x)
(f (x)) = f  (x)= f(2)(x)
(f  (x)) = f   (x)
(f   (x)) = f V(x)
Wyznacz piątą pochodną funkcji
f(x)= 3x4+5x2+2x+4
f(x)=+*4x3+5*2x+2+0=12x3+10+2
f  (x)= 12+3x2+10+0=36x2+10
f   (x)= 36+12x+0=72x
f v=72
fv=0
MAX MAX MAX MAX
MAX MAX
MAX
X2 X4
X1 X3 X5
MIN
MIN MIN MIN
MIN MIN
Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremu).
Jeżeli funkcja f różniczkowalna w przedziale a, b ma w punkcie x0 ekstremum lokalne (MIN lub MAX)
to f(x0) = 0
Strona 4 z 6
Warunek pierwszy: (dotyczy istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f ciągła w punkcie x0 oraz na pochodną f (x) w otoczeniu punku x0 oraz:
1) następuje zmiana znaku z  - na  + w otoczeniu punku x0 funkcja f ma w punkcie x0 na MIN
lokalne
2) następuje zmiana znaku z  + na  - w otoczeniu punktu x0 to funkcja f ma w punkcie x0 MAX
lokalne
Warunek II dostateczny (wystarczający) istnienia ekstremum.
Jeżeli funkcja f spełnia następujące założenia:
1) ma pochodną f  (x) w otoczeniu x0
2) f  (x) Gryga pochodna jest ciągłą w punkcie x0
3) f(x) pierwsza = 0 oraz druga pochodna jest różne od zera to funkcja osiąga MAX lokalne jeżeli
druga pochodna jest większa od zera to funkcja osiąga MIN lokalne.
Wyznaczamy pochodną
f(x)
f (x)
f (X) = 0 =>wyznaczamy punkty x0 podejrzane o istnienie w nich ekstremów
I warunek dostateczny (rysunek pochodnej II warunek dostateczny (konieczny) f  (x)
f (x) f  (x0)
 + x0  - = f(x0) f  (x0)<0, MAX
 - x0  - = f(x0) f  (x0)>0, MIN
Przykład:
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:
1) f(x)= x3-
f (x)=2x2-
f (x) = 0ó� 3x2-9x-12=0
x2-3x-4=0
a=1, b= -3 , c= -4
X1= produkty podejrzewane o istnienie ekstremo
X2 = x=-1
-1 4
Strona 5 z 6
W otoczeniu punktu x=-1 pochodna zmienia znak z  + na  - tzn. że funkcja w tym punkcie osiąga
MAXIMUM
MIN= f(x0)=43-
2) f  (x)=(3x2-9x-12) = 3*2x-9-0=6x-9
f  (-1)=6*(-1)-9=15<0ó�w= -1MAX=13
f  (4) = 6*4-9=15>0ó� w=4 MIN=-49
Strona 6 z 6