Ćwiczenia
do wyk ad w z analizy matematycznej 3
w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013
Tomasz Kubiak
Poniższe tytuly sa takie same, jak na wykladach. Zadania rozwiazane na
zajeciach  to bardzo latwy material na sprawdzian, bo nie jest trudnym coÅ›,
co ma znane wszystkim latwe i kr tkie rozwiazanie. Zadania nie rozwiazane
na zajeciach staja sie zadaniami domowymi, czyli przyjaznym materialem
na sprawdzian. Symbolem [W] oznaczmy rzeczy, kt re beda om wione na
wykladach (może sie zdarzyć, że nie beda). Trzeba ćwiczyć to samo po-
raz drugi, a nawet trzeci. Wszystkie ćwiczenia  z definicji  polegaja na
powtarzaniu pewnych czynności. Niekt re ćwiczenia opatrzone sa komen-
tarzami. Zawsze ciekawszymi niż same ćwiczenia.
n
1. jako przestrzeń liniowa
T
2 2
1. Niech - - bedzie funkcja liniowa taka, że T (1, 1) = (1, 3) oraz
-
T (2, 3) = (1, 8). Znalez
ć wz r na T (x, y).
T
n m n
2. Funkcja stala - - jest liniowa Ô! T (x) = ¸ dla x " .
-
T
3. Funkcja - - jest liniowa Ô! T (x) = ax, gdzie a " .
-
T
n n
4. [W] Funkcja - - jest liniowa Ô! T (x) = a, x , gdzie a " .
-
T S
2 3 2
5. Funkcje liniowe - - - - określone sa wzorami
- -
T (x1, x2) = (x1, x1 +x2, x1 -x2) oraz S(x1, x2, x3) = (x1, x2 +x3).
1
Sć%T
2 2
Sprawdzić, że zlożenie - - - spelnia r wność [Sć%T ] = [S]·[T ].
- -
Komentarz. Okoliczność tu przedstawiona jest fundamentalna dla Analizy.
Chodzi o to, by wiedzieć kiedy lepiej jest myśleć o funkcji liniowej zamiast
o jej macierzy, a kiedy na odwr t. A i tak myślimy ciagle o jednym i tym
samym.
T
2 2
6. Niech - - bedzie określona tak: T (x, y) = (x + y, x - y).
-
Należy: (a) sprawdzić, że T jest bijekcja, (b) znalez
ć funkcje odwrotna
-1 -1
T , (c) sprawdzić, że [T ] = [T ]-1.
n
2. jako przestrzeń unormowana
Uwaga. Jeśli nie powiemy inaczej, to symbol x oznacza norme
euklidesowa.
7. Pokazać, że w nie ma innych norm niż normy postaci x = a |x|,
gdzie a > 0.
3
8. Niech x, y " , gdzie x = (1, 0, 2) i y = (3, -1, 1). Sprawdzić, że
2 2 2 2
zachodzi x + y + x - y = 2 x + 2 y .
9. Pokazać, że r wnós´ r wnoleg oboku
c
2 2 2
x + y + x - y = 2 x + 2 y 2
n
zachodzi dla wszystkich x, y " .
T1,T2
n m
10. Funkcje liniowe - - sa r wne wtedy i tylko wtedy, gdy sa
-
n
r wne na kuli Br(¸) lub sferze Sr(¸) = {x " : x = r}.
Komentarz. Identyczność funkcji na podzbiorze implikuje r wność na calej
dziedzinie. Rzadka to rzecz. Pokazuje, jak prosta jest liniowość.
n
11. Niech x, y " . Sprawdzić, że
n
ds(x, y) = |xi - yi| oraz dm(x, y) = max |xi - yi|
1d"id"n
i=1
n
sa metrykami w z dodatkowymi wlasnościami (napisanymi tu za
pomoca wsp lnej litery d):
(a) d(x + z, y + z) = d(x, y),
(b) d(ax, by) = |a| d(x, y).
2
12. Napisać wzory na normy · oraz · zdefiniowane przez metryki ds
s m
n
oraz dm. Na przykladzie konkretnych x, y " pokazać, że żadna z
tych norm nie spelnia r wności r wnolegloboku.
Uwaga. Wiadomo, że norma spelnia r wność r wnolegloboku wtedy i tylko
wtedy, gdy pochodzi od iloczynu skalarnego (ż7 wyklad w). Zatem te dwie
normy nie pochodza od żadnych iloczyn w skalarnych. Stad wynika wyższość
normy euklidesowej nad tymi dwiema, mimo że obie sa o wiele prostsze od
normy euklidesowej.
n
13. [W] Obliczyć wyr żnik " tr jmianu kwadratowego (aix + bi)2 e"
i=1
0, by otrzymać nier wnós´ Cauchy ego-Schwarza:
c
n n n
aibi d" a2 · b2.
i i
i=1 i=1 i=1
Wyprowadzić z niej nier wność silniejsza, a mianowicie
n n n
|aibi| d" a2 · b2.
i i
i=1 i=1 i=1
Co to znaczy, że jakaś nier wność jest s absza lub silniejsza od innej?
14. [W] Z nier wnoÅ›ci Cauchy ego-Schwarza wyprowadzić nier wnós´ Min-
c
kowskiego: dla ai, bi " zachodzi
n n n
|ai + bi|2 d" a2 + b2.
i i
i=1 i=1 i=1
Nier wność ta jest tym samym, co nier wność tr jkata x + y d"
x + y .
n n
15. Niech x = x2, x = |xi| oraz x = max1d"id"n |xi|
i=1 i s i=1 m
n n
dla x " . Pokazać, że dla każdego x " mamy:
"
(1) x d" x d" n x ,
m m
(2) x d" x d" n x ,
m s m
1
(3) x d" x d" x .
s s
n
n
3. Topologia w : zbieżność, ciag ość i granice funkcji
3
n n n
16. Mamy kule w ( , · ), w ( , · ) i w ( , · ). Pokazać, że
s m
każdy punkt kuli w jakimkolwiek z tych trzech sens w jest środkiem
jakiejś kuli (w każdym z trzech sens w) zawartej w kuli wyjściowej.
[Wskaz wka. Dlaczego bez straty og lności możemy ograniczyć sie do
przypadku y = x = ¸ ?]
prj
n n
17. Rzutowania - - sa funkcjami otwartymi, tj. jeśli U ą" jest
-
zbiorem otwartym, to zbi r prj(U) jest otwarty w .
a2k 2
18. Obliczyć granice ciagu xk = (kak, ) w , gdzie |a| d" 1.
k!
"
k
1 k+1 4
19. Obliczyć granice ciagu xk = (1 - )k, , 2k + sin k, 1 w .
k k
n
20. Normy · oraz · w sa  z definicji  r wnoważne, gdy daja te
1 1
sama zbieżność, tj.
" " ( xk - x 0 Ô! xk - x 0) .
1 2
(xk)‚" n x"
Pokazać, że nastepujace warunki sa r wnoważne:
(1) · oraz · sa r wnoważne,
1 1
(2) " " a x d" x d" b x ,
1
a,b>0 x" n 1 2
(3) " " c x d" x d" d x .
2
c,d>0 x" n 2 1
[Komentarz. Wywnioskować, że te trzy normy sa r wnoważne. Oczy-
wiście jest to jasne bez zadania 20, bo latwo sprawdzić, że zbieżność
wzgledem obu norm · i · jest zbieżnoÅ›cia po wsp lrzednych, co
s m
daje r wnoważność tych norm. Zachodzi:
n
Twierdzenie. Wszystkie normy w sa r wnoważne.
n
Czyli jest tylko jedna analiza matematyczna w (o ile zbieżność ma
być w sensie normy).]
f,g
xy
2
21. Niech {(0, 0)} - - , gdzie f(x, y) = oraz g(x, y) =
-
x2 + y2
xy
. Pokazać, że f ma, a g nie ma granicy w (0, 0). [Wskaz wka:
x2 + y2
|a|
g(x, ax) = oraz xy d" x2 + y2.]
1+a2
4
f
x2y2
2
22. Niech {(0, 0)} - - , gdzie f(x, y) = . Pokazać,
-
x2y2 + (x - y)2
że:
(1) limx0(limy0 f(x, y)) = 0 = limy0(limx0 f(x, y)),
(2) funkcja f nie ma granicy w punkcie (0, 0).
f
3
23. Dlaczego ciagla jest funkcja - - określona wzorem f(x, y) =
-
x2y + sin(xy + x + y) + 1 ?
f
3 3
24. Dlaczego ciagla jest" - - określona wzorem f(x, y, z) =
funkcja -
(x sin z, x + y + z, 1 + z2) ?
f
2
25. Czy istnieje granica funkcji - - ,
-
x2-y2
dla (x, y) = (0, 0),

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0),
w punkcie (0, 0)?
f
2
26. Pokazać, że funkcja - - określona wzorem
-
x2y
dla (x, y) = (0, 0),

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0)
jest ciagla.
4. Pojecie pochodnej w n
n m
27. Co jest pochodna funkcji stalej z do ?
T
n m
28. Sprawdzić, że jeśli funkcja - - jest liniowa, to T (x) = T dla
-
n
każdego x " .
f
2 3
29. Niech - - , f(x, y) = (x2, 2xy, y2). Znalez
ć pochodna funkcji
-
f w punkcie x0 = (a, b) przez wydzielenie cześci liniowej i reszty oraz
sprawdzenie, że limh¸ r(x0,h) = 0.
h
5
f,g
n m
30. Niech ‡" U - - beda r żniczkowalne w punkcie x " U. Niech
-
f,g
U - - bedzie określona wzorem f, g (x) = f(x), g(x) (iloczyn
-
skalarny). Pokazać, że
f, g (x) = f (x), g(x) + f(x), g (x) .
f
2
n
31. Niech - - danej bedzie wzorem f(x) = x . Sprawdzić, że
-
jej pochodna w punkcie a jest f (a)(h) = 2 a, h .
5. Pochodne czastkowe a istnienie pochodnej
f
"f "f
2
32. Niech - - . Obliczyć pochodne czastkowe (1, 1) oraz (1, 1),
-
"x "y
gdy:
(1) f(x, y) = 3x2 - y2 + 4xy - x + 7y,
(2) f(x, y) = 3x2y - xy4,
(3) f(x, y) = x sin(x2 + y2),
(4) f(x, y) = xex+y.
f
2
33. Sprawdzić, że funkcja - - określona wzorem
-
x2y
dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0)
jest ciagla w (0, 0), ma pochodna pochodne czastkowe w (0, 0), ale nie
ma pochodnej w punkcie (0, 0).
34. Zbadać ciaglość, istnienie pochodnych czastkowych i r żniczkowalność
w punkcie (0, 0) funkcji
1
x sin dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0).
35. Zbadać ciaglość, istnienie pochodnych czastkowych i r żniczkowalność
w punkcie (0, 0) funkcji
"x|y| dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0).
6
f
2
36. Niech - - , f(x, y) = x2 + y4. Zbadać jakich punktach ist-
-
nieja pochodne czastkowe funkcji f.
f
2
37. Niech funkcja - - bedzie określona wzorem
-
a(|x|+|y|)
"
dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
b dla (x, y) = (0, 0).
Dla jakich liczb a and b funkcja f ma pochodne czastkowe w (0, 0) ?
f
n
38. Znalez
ć pochodna funkcji - - danej wzorem f(x1, . . . , xn) =
-
n
x4.
j=1 j
f
2
39. Zbadać, czy funkcja - - dana wzorem f(x, y) = |xy| ma
-
pochodna w punkcie (0, 0).
f f
2 2
40. Niech - - bedzie ciagla, a " oraz - - niech bedzie
- -
x+y
dana wzorem f(x, y) = g(t)dt. Obliczyć pochodna f (x, y).
a
f
2
41. [W] Niech - - bedzie określona wzorem
-
2
1
x sin dla x = ¸

x 2
f(x) =
0 dla x = ¸.
Chcemy pokazać, że funkcja ta jest r żniczkowalna w ¸, ale jej pochodne
czastkowe nie sa ciagle w ¸. Pokazuje to, że nasz warunek wystarcza-
jacy r żniczkowalności nie jest warunkiem koniecznym. W tym celu:
(1) Obliczyć pochodne czastkowe w ¸.
(2) Na podstawie warunku koniecznego istnienia pochodnej ustalić,
jak wyglada pochodna w ¸, o ile istnieje.
(3) Sprawdzić, że rzeczywiÅ›cie jest to pochodna w ¸.
(4) Obliczyć pochodne czastkowe w x = ¸.

(5) Sprawdzić, że pochodne czastkowe nie sa ciagle w ¸. W tym celu
1
"
wzia ć ciag (an, an) ¸, gdzie an = , pokazać, że f(an, an) 0.
2 Ä„n
f
2 2
42. Niech - - bedzie określona wzorem
-
1
(ex+y, x2 sin ) dla x = 0

x
f(x, y) =
(ey, 0) dla x = 0.
7
Chcemy zbadać r żniczkowalność tej funkcji oraz  w przypadku ist-
nienia pochodnej  obliczyć jej jakobian w punkcie (0, 0). W tym celu:
(1) Ustalić skladowe f1 oraz f2 funkcji f.
(2) Zbadać ciaglość pochodnych czastkowych obu skladowych.
"f2
(3) Ponieważ nie jest ciagla w (0, 0), nie możemy korzystać z
"x
warunku dostatecznego istnienia pochodnej funcji f2, toteż sprawdz-
imy za pomoca definicji pochodnej, czy
"f2 "f2
T (h1, h2) = (0, 0)h1 + (0, 0)h2
"x "y
jest pochodna f2 w (0, 0).
(4) Ponieważ test z punktu (3) wypadl pozytywnie, możemy zapisać
macierz Jacobiego [f (x, y)].
(5) Wreszcie możemy obliczyć Jf (0, 0).
f
2
43. Niech funkcja - - bedzie dana wzorem
-
xy(x+y)
dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0).
2
(1) Czy f jest ciagla w ?
"f "f
(2) Obliczyć (0, 0) oraz (0, 0).
"x "y
(3) W jakich punktach funkcja f jest r zniczkowalna?
f
n
44. Niech - - spelnia warunek: istnieje stala M > 0 taka, że
-
2
|f(x)| d" M x . Pokazać, że f (¸)(h) = 0.
6. Pochodna z ożenia funkcji i regu y ańcuchowe
f,g
n
45. Niech - - beda określone wzorami f(x) = x, x (iloczyn
-
skalarny) oraz g(x) = x . Obliczyć pochodna funkcji g w punkcie
x = ¸ dwoma sposobami:

(1) najpierw obliczyć pochodna funkcji f za pomoca warunku dostate-
cznego istnienia pochodnej,
"
(2) potem bliczyć g = f za pomoca wzoru na pochodna funkcji
x,h
zlożonej; uzyskać wynik h (x)(h) = .
x
8
f f
2 2
46. Niech - - bedzie ciagla, a " oraz - - niech bedzie
- -
xy
dana wzorem f(x, y) = g(t)dt. Obliczyć pochodna f (x, y).
a
47. Obliczyć pochodne czastokowe funkcji określonych wzorami (zakladamy,
że wszystkie funkcje maja wszystkie możliwe pochodne):
(1) f : , gdzie f(x) = G(x, h(x)),
2
(2) Õ : , gdzie Õ(x, y) = h(f(x, y), g(y)),
2
(3) F : , gdzie F (x, y) = f(x, y, h(x, y)),
2
(4) É : , gdzie É(x, y) = h(f(x, y), g(y)),
2
(5) g : , gdzie g(x, y) = f(y, f(x, y)).
7. Twierdzenia o wartości średniej
48.
9