Ćwiczenie 15
Badanie rozkładu niepewności pomiarowych w pomiarach
okresu wahań wahadła
I. Zagadnienia do samodzielnego opracowania
1. Pojęcie niepewności wyniku pomiaru i błędu pomiaru. Rodzaje niepewności
pomiarowych. Zapisywanie wyniku pomiaru z uwzględnieniem niepewności
pomiarowej.
2. Rozkład normalny (Gaussa) wyników pomiarowych. Parametry charakterystyczne
tego rozkładu. Gęstość prawdopodobieństwa i prawdopodobieństwo otrzymania
określonego wyniku pomiaru.
3. Wahadło matematyczne. Przybli\
enie małych wychyleń.
II. Wprowadzenie
Celem ćwiczenia jest zbadanie rozkładu niepewności pomiarowych przy wielokrotnym
pomiarze okresu wahań wahadła matematycznego.
Je\
eli pomiar jest wykonywany wielokrotnie bardzo dokładnym przyrządem oraz inne
błędy poza błędem przypadkowym są wyeliminowane, to rozkład wyników pomiarowych
mo\
e być opisany przy pomocy rachunku statystycznego.
Oznaczmy kolejne wyniki n-krotnie powtórzonego pomiaru przez xi, gdzie indeks i
oznacza numer pomiaru (i = 1, ...,n). Przy du\
ej liczbie pomiarów średnia arytmetyczna
xśr wyników pomiarów jest dobrym oszacowaniem (estymatorem) wartości oczekiwanej
oznaczanej symbolem µ:
n
1
xÅ›r = xi çÅ‚çÅ‚" µ
çÅ‚
"
n
n
i=1
(1)
Niepewność standardowa u(x) wyra\
a siÄ™ wzorem:
n
2
- xśr )
"(xi
i=1
u(x) = sxsr =
n(n -1)
(2)
Wielkość sxśr nazywa się odchyleniem standardowym wartości średniej. Przy zało\
eniu,
\
e wyniki kolejnych pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu (Gaussa),
prawdopodobieÅ„stwo znalezienia wartoÅ›ci oczekiwanej µ w przedziale (xÅ›r-u, xÅ›r+u)
wynosi ok. 67%. W przypadku, gdy rozkład wyników nie jest normalny nie znamy tego
prawdopodobieństwa i poprzestajemy na podaniu wyniku w formie dwóch liczb: xśr i u.
Miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest tzw. odchylenie standardowe
pojedynczego pomiaru sx (estymator odchylenia standardowego Ã) wyra\
one wzorem:
1
n
2
- xśr )
"(xi
i=1
sx = çÅ‚n" Ã
çÅ‚
çÅ‚
(n -1)
(3)
Je\
eli liczba pomiarów (n) dą\
y do nieskończoności, to wartość średnia (xśr) dą\
y do
wartoÅ›ci oczekiwanej (µ), a odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru sx dÄ…\
y do
odchylenia standardowego à rozkÅ‚adu normalnego. GÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa
rozkładu normalnego (Gaussa) wyra\
a siÄ™ wzorem:
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 (x - µ)
÷Å‚
P(x) = expìÅ‚- (4)
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ã
à 2Ą
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie wartość oczekiwana µ jest, dla tego rozkÅ‚adu, równie\
wartością najbardziej
prawdopodobną, a à jest odchyleniem standardowym. Funkcja Gaussa ma kształt
dzwonowy i jest symetryczna wzglÄ™dem µ. CaÅ‚ka tej funkcji (pole pod wykresem P(x))
liczona od x1 do x2 określa prawdopodobieństwo uzyskania wyników pomiaru w
przedziale (x1, x2). I tak, prawdopodobieństwo uzyskania wyników
w przedziale (µ-Ã, µ+Ã) wynosi ok. 67%,
w przedziale (µ-2Ã, µ+2Ã) wynosi ok. 95%,
w przedziale (µ-3Ã, µ+3Ã) wynosi ok. 99,7%.
Na rysunku l przedstawiono funkcjÄ™ Gaussa dla znormalizowanej zmiennej (x-µ)/Ã:
0,4
0,3
P
0,2
0,1
0,0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(x-µ)/Ã
Rys. 1. Rozkład normalny (Gaussa). Zale\
ność gęstości prawdopodobieństwa P od względnej odchyłki
(x-µ)/Ã, gdzie x - oznacza wynik pomiaru, µ - wartość oczekiwanÄ… (dla rozkÅ‚adu Gaussa jest to równie\

wartość najbardziej prawdopodobna), à -odchylenie standardowe rozkÅ‚adu.
2
III. Wykonanie ćwiczenia
1. Zmierzyć przy pomocy sekundomierza czas t pięciu wahnięć wahadła.
Pomiary powtórzyć 100 razy zachowując stałą wielkość wychylenia początkowego
ok. 3o, co odpowiada wychyleniu kulki o ok. 7 cm od poło\
enia równowagi.
Wyniki zapisać w tabeli:
Tabela 1.
Czas trwania pięciu okresów wahań wahadła t[s]
2. Obliczyć wartość średnią pomiarów tśr posługując się zale\
nością (1).
3. Obliczyć odchylenie standardowe wartości średniej stśr  zale\
ność (2).
4. Obliczyć odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru st zale\
ność (3).
5. Narysować na papierze milimetrowym wykres funkcji Gaussa P(t) przedstawionej
zale\
nością (4) przyjmując, \
e wykonana ilość pomiarów pozwala zało\
yć równości:
µ = tÅ›r oraz à = st .
6. Obliczyć ilość k wyników pomiarów przedstawionych w tabeli 1, przypadających na
określone przedziały o wielkości "t równej np. 0.1s rozło\
one symetrycznie
względem przedziału (tśr -0.05s, tśr +0.05s). Wyniki zapisać w tabeli 2.
7. Wyznaczyć prawdopodobieństwo p("t) otrzymania wyniku pomiaru w danym
przedziale obliczając pole pod krzywą Gaussa P(t) w tym przedziale. Wyniki zapisać
w tabeli 2.
Tabela 2
t[s] k/100
p("t)
...
...
...
tśr  0.15s, tśr -0.05s
tśr  0.05s, tśr +0.05s
tśr +0.05s, tśr +0.15s
...
...
...
3
8. Wykonać wykres (histogram) przedstawiający w postaci kolumn w poszczególnych
przedziałach wyniki zawarte w tabeli 2.
9. Obliczyć okres wahań T wahadła i niepewność standardową okresu. Obliczyć
niepewność standardową względną.
10. Obliczyć okres wahań wahadła Tm traktując je jako wahadło matematyczne.
Długość wahadła zmierzona do środka kulki wynosi (132.0 ą 0.5)cm.
Obliczyć metodą ró\
niczki zupełnej niepewność maksymalną "Tm.
11. Przedstawić własne uwagi i wnioski dotyczące otrzymanych wyników.
Literatura
C. Bobrowski, Fizyka  krótki kurs, WNT Warszawa 2003
K. Chłędowska, R. Sikora, Problemy fizyki z rozwiązaniami cz. I, Oficyna Wydawnicza
Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2001
H. Szydłowski, Pracownia Fizyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999
Fizyka  laboratorium  pod redakcją M. Leśniak, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Rzeszowskiej, Rzeszów 2002
H. Szydłowski, Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiaru, Postępy Fizyki,
Tom 51, Zeszyt 2, 2000
4