320 Szeregi o wyrazach dowolnych
Twierdzenie o zbie\
ności szeregów bezwzględnie zbie\
nych
Szeregi bezwzględnie zbie\
ne sÄ… zbie\
ne.
Dowód
Przekształcenie Abela
Oznaczmy
à = 0 , dla 1 d" k d" m ,
m+1,k
à = bm+1 + bm+2 + ... + bk , gdy k > m .
m+1,k
Wtedy dla dowolnych liczb naturalnychn > m
n n -1
bk = anà + - ak )à .
"ak m+1,n "(ak +1 m+1,k
k =m+1 k =m +1
Dowód
Kryterium Abela
Je\
eli
ciÄ…g an e" 0 jest monotoniczny i ograniczony,
szereg jest zbie\
ny,
"bn
to szereg bn jest równie\
zbie\
ny.
"an
Dowód
Kryterium Dirichletta
Je\
eli
ciÄ…g an e" 0 jest nierosnÄ…cy, ograniczony i an 0 ,
ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony,
"bn
to szereg bn jest równie\
zbie\
ny.
"an
Dowód
Przykład
"
"sinnx jest zbie\
ny dla wszystkich x " R
n
n=1
1
Definicja
n+1 n
Szeregi postaci
"(-1) an lub "(-1) an , gdzie an > 0 oraz ciÄ…g (an )
maleje monotonicznie do zera, nazywamy szeregami naprzemiennymi.
Kryterium Leibnitza
Szeregi naprzemienne sÄ… zawsze zbie\
ne.
Dowód
Przykład
n
"
1
Szereg anharmoniczny
"(-n) jest warunkowo zbie\
ny.
n =1
Twierdzenie o szacowaniu reszty szeregu naprzemiennego
"
m -ta reszta szeregu naprzemiennego rm = spełnia warunek
"ak
k =m+1
| rm |d" am+1.
Dowód
Przykład
1 1 1 1
Obliczyć wartość sumy 1 - + - + ... z dokładnością do .
2 3 4 1000
2