dr hab. inż. prof. WAT i WWSI Andrzej B. Chojnacki
[e-mail]
konsultacje: dowolny termin po uprzednim umówieniu się
Czas trwania przedmiotu: sem. VI
Liczba godzin:
" studia stacjonarne: 28 w. + 14 ćw.
" studia niestacjonarne: 16 w. + 8 ćw.
Punkty ECTS:
" ćw. 1
" egz. 2
Forma zaliczenia:
" zaliczenie ćwiczeń na podstawie zasad ustalonych przez
osobę prowadzącą ćwiczenia
" przedmiot kończy się egzaminem
" warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest uzyskanie
pozytywnej oceny z zaliczenia ćwiczeń
" egzamin ma charakter testu teoretycznego bez
możliwości wykorzystywania materiałów  może po nim
nastąpić część ustna w przypadku trudności
z dokonaniem oceny; decyzjÄ™ w tej sprawie podejmuje
egzaminator
" w teście oceniane są odpowiedzi poprawne, brak
odpowiedzi poprawnych oraz odpowiedzi błędne
" wymagania egzaminacyjne: znajomość treści wykładów
i wskazanych tematów z literatury podstawowej
LITERATURA
Podstawowa
1. Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz: Badania operacyjne
w przykładach i zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006
2. T. Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem. PWE,
Warszawa 2008
Uzupełniająca
1. W. Sikora i inni: Badania operacyjne. PWE, Warszawa 2008
2. R.J. Wilson: Wprowadzenie do teorii grafów. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 2007
TREŚĆ PRZEDMIOTU
" modelowanie matematyczne w badaniach operacyjnych
" zadania optymalizacyjne
" liniowe programowanie matematyczne
" metoda graficzna rozwiÄ…zywania zadania LPM
" idea metody simpleks
" zadanie transportowe
" przepływy w sieciach skierowanych
" liniowe programowanie całkowitoliczbowe
" liniowe programowanie binarne
" drzewa ekonomiczne
" zagadnienia przydziałów
" programowanie dynamiczne
" drogi ekstremalne w acyklicznych sieciach
skierowanych
" metody CPM i PERT
" systemy masowej obsługi
SZCZYPTA HISTORII BADAC

OPERACYJNYCH
STAROŻYTNOŚĆ
Aleksander Wielki  falanga
Archimedes  obrona Syrakuz
PÓy
NIEJ
Lanchester  równania walki
Edison  walka z okrętami podwodnymi
Taylor  wymiary łopaty (twórca zasad naukowej
organizacji pracy)
Levison  handel wewnętrzny
Erlang  centrale telefoniczne
POWSTANIE BADAC
OPERACYJNYCH
Bawdsey Research Station  1939  stacje rlok
Grupa BO przy dowództwie LM w Stanford  1940 -
rok powstania BO
Cyrk Blacketta  sierpień 1940: 3 fizjologów,
3 fizyków, 2 matematyków, astronom i oficer
Udział: GB  365 osób, USA  400 osób
PO WOJNIE
Ocena wkładu nauki: 1. radar, 2. sonar, 3. BO
I międzynarodowa konferencja BO  2-7.09.1957
Oxford (Oderfeld + Rajski z IM PAN)
RAND Corporation  Bellman, Danzig, Teller i wielu
innych
ETAPY BADAC
OPERACYJNYCH
I. Określenie obiektu zainteresowań
(obiektu rzeczywistego)
II. Określenie potrzeby modelowania
matematycznego (formalnego)
i konkretyzacja celu modelowania
III. Budowanie modelu matematycz-
nego (formalnego) uwzględniającego Dokonywanie
cel modelowania poprawek
IV. Formułowanie zadania optymaliza-
cyjnego w języku modelu
V. Rozwiązywanie sformułowanego
zadania optymalizacyjnego
VI. Analiza uzyskanego rozwiÄ…zania
VII. Opracowanie projektu
oddziaływania na rzeczywistość
- kolejność podstawowa
- stwierdzenie potrzeby dokonania poprawek
- wprowadzanie poprawek na odpowiednich etapach
Przykład
Określenie obiektu zainteresowań
Należy zorganizować akademicką sieć bezprzewodową dla
ustalonych stacjonarnych użytkowników wykorzystując
potencjalne miejsca na umieszczenie stacji dostępowych.
Użytkownicy powinni mieć dostęp do sieci za pośrednictwem
dowolnej ze stacji dostępowych. Organizacja sieci polega na
ustaleniu, w których potencjalnie możliwych miejscach należy
rozmieścić stacje dostępowe. Ze względów ekonomicznych
rozmieszczonych stacji dostępowych powinno być jak najmniej.
KONSTRUOWANIE MODELU MATEMATYCZNEGO
OPIS CECH
M  liczba cech
xm  symbol zmiennej m = 1,M
=
=
=
Xm  zbiór możliwych wartości zmiennej
0
{ }
= < x1, X1 >,... ...,< xM, XM >
X
Przykład (cd)
Wybór cech istotnych z punktu widzenia celu modelowania
Cel modelowania: Opracowanie metody wyznaczania najbardziej
ekonomicznej organizacji sieci, tzn. takiej, przy której zapewnia się dostęp
wszystkich użytkowników do sieci z wykorzystaniem minimalnej liczby
stacji dostępowych.
Należy zorganizować akademicką sieć bezprzewodową dla
ustalonych stacjonarnych jednorodnych użytkowników wykorzystując
potencjalne miejsca na umieszczenie jednorodnych stacji dostępowych.
Użytkownicy powinni mieć dostęp do sieci za pośrednictwem dowolnej ze
stacji dostępowych. Organizacja sieci polega na ustaleniu, w których
potencjalnie możliwych miejscach należy rozmieścić stacje dostępowe. Ze
względów ekonomicznych rozmieszczonych stacji dostępowych powinno
być jak najmniej.
Cechy istotne
1. liczba użytkowników
2. liczba potencjalnych miejsc rozmieszczenia stacji dostępowych
3. użytkownicy mający dostęp do sieci za pośrednictwem konkretnej
stacji dostępowej
4. ustalone miejsca rozmieszczenia stacji dostępowych
5. liczba rozmieszczonych stacji dostępowych
PrzyporzÄ…dkowanie symboli zmiennych
1. N - liczba użytkowników
2. M - liczba potencjalnych miejsc rozmieszczenia stacji
dostępowych
3. Om - zbiór numerów użytkowników mających dostęp do sieci
za pośrednictwem konkretnej stacji dostępowej nr m
(m = 1,M)
=
=
=
4. X - zbiór numerów ustalonych miejsc rozmieszczenia stacji
dostępowych
5. L - liczba rozmieszczonych stacji dostępowych
Czyli występują M+4 zmienne
Ustalenie zbiorów możliwych wartości zmiennych
1. N " P - liczba użytkowników
"
"
"
2. M " P - liczba potencjalnych miejsc rozmieszczenia stacji
"
"
"
dostępowych
3. Om ‚" P czyli Om " 2P \ {Åš} - zbiór numerów użytkowników
‚" " Åš
‚" " Åš
‚" " Åš
mających dostęp do sieci za pośrednictwem stacji
dostępowej nr m (m = 1,M)
=
=
=
4. X ‚" P czyli Om " 2P \ {Åš} - zbiór numerów ustalonych miejsc
‚" " Åš
‚" " Åš
‚" " Åš
rozmieszczenia stacji dostępowych
5. L " - liczba rozmieszczonych stacji dostępowych
"
"
"
OPIS ZWI
ZKÓW
I  liczba związków
Ái  symbol zwiÄ…zku i = 1,I
" które cechy występują w i-tym związku ?
Y = < x , x ,... ..., x >
i i i
m1 mi mP
2
i
" które wartości cech  spełniają i-ty związek?
Pi
Ri Ä…" Xm tzn. <
Ä…"
Ä…"
Ä…"
i
< >" Ô!
< e1,..., eu >" Ri Ô! Ć(e1,..., eu)
< >" Ô!
>" Ô!
X
p
p=1
=
=
=
0
{ }
R = <Á1,Y1,R1>,... ...<ÁI,YI,RI>
Przykład (cd)
Należy zorganizować akademicką sieć bezprzewodową dla
ustalonych stacjonarnych użytkowników wykorzystując
potencjalne miejsca na umieszczenie stacji dostępowych.
Użytkownicy powinni mieć dostęp do sieci za pośrednictwem
dowolnej ze stacji dostępowych. Organizacja sieci polega na
ustaleniu, w których potencjalnie możliwych miejscach należy
rozmieścić stacje dostępowe. Ze względów ekonomicznych
rozmieszczonych stacji dostępowych powinno być jak najmniej.
1. Do rozmieszczenia stacji można wykorzystać tylko potencjalnie
możliwe miejsca:
X Ä…" {1, 2,... ...,M}
Ä…"
Ä…"
Ä…"
2. Każda stacja dostępowa  obsługuje tylko rozpatrywanych
użytkowników:
Om Ä…" {1, 2,... ...,N} (m = 1,M)
Ä…" =
Ä…" =
Ä…" =
3. Wszyscy użytkownicy muszą mieć zagwarantowany dostęp do
sieci:
Om = {1, 2,... ...,N}
=
=
=
*"
*"
*"
*"
m"X
"
"
"
4. Liczba rozmieszczonych stacji dostępowych jest równa liczbie
miejsc ich rozmieszczenia:
L = X
=
=
=
5. Należy rozmieścić jak najmniej stacji dostępowych:
L çÅ‚çÅ‚çÅ‚
çÅ‚çÅ‚çÅ‚
min

çÅ‚çÅ‚çÅ‚
çÅ‚çÅ‚çÅ‚


X
Czyli występuje M+4 związków
MODEL MATEMATYCZNY
0 0 0
1 - 1
-
-
-
f : ( *"
*"
*"
*"
A X R)
0
- zbiór nazw cech i związków
A
0 0
< , >
X R
lub
KLASYFIKACJA MODELI
MATEMATYCZNYCH
modelowanie decyzja skutki
t
d o p Å‚ y w i n f o r m a c j i
Podział cech z punktu widzenia ich znajomości przez
decydenta przed podjęciem decyzji:
znane rozłączne
nieznane:
o wpływają na nie inni decydenci
o losowe (z ryzykiem) nie
o rozmyte muszÄ…
o niepewność być
o przybliżone roz-
takie, na które decydent ma wpływ: łącz-
o są treścią decyzji (zmienne decyzyjne) ne
o ważne dla celu modelowania (kryteria)
o inne
MODELE  kto decyduje
strategiczne (growe)  sÄ… inni decydenci
optymalizacyjne  nie występują inni decydenci
MODELE OPTYMALIZACYJNE  co decydent będzie
wiedział
deterministyczne (twarde)
probabilistyczne/losowe/stochastyczne (w warunkach
ryzyka))
rozmyte (rozmytość)
w warunkach niepewności (niepewność)
ze zbiorami przybliżonymi (przybliżoność)
mieszane
MODELE OPTYMALIZACYJNE  właściwości cech
ciągłe
dyskretne
mieszane
czasowe
MODELE OPTYMALIZACYJNE  właściwości związków
liniowe
nieliniowe
wypukłe
kwadratowe
dynamiczne
inne
MODELE OPTYMALIZACYJNE  język modelu
analityczne
graficzne
wariacyjne
teorii sterowania
grafowe
sieciowe
genetyczne
neuronowe
inne
Powyższe klasyfikacje nie stanowią podziałów!
FORMUA
OWANIE ZADANIA
OPTYMALIZACYJNEGO
wszystkie cechy
0
X
zbiory listy
, x , w , a
X X
dec wsk
X
dane
zmienne decyzyjne kryteria dane
ZD  cecha, która jest treścią decyzji  decydent ustala jej
wartość bezpośrednio
K  cecha, na którą decydent wpływa pośrednio (poprzez
ustalenie wartości zmiennych decyzyjnych) i na wartości
której mu zależy
D  cecha, która nie jest ani zmienną decyzyjną, ani kryterium
Przykład (cd)
Podział zmiennych na grupy (ZD & K & D)
1. X ZMIENNA DECYZYJNA (zbiór numerów ustalonych miejsc
rozmieszczenia stacji dostępowych)
2. L KRYTERIUM (liczba rozmieszczonych stacji dostępowych)
3. N DANA (liczba użytkowników)
4. M DANA (liczba potencjalnych miejsc rozmieszczenia stacji
dostępowych)
5. Om DANA (zbiór numerów użytkowników mających dostęp do sieci za
pośrednictwem stacji dostępowej nr m (m = 1,M))
=
=
=
Czyli: a =< N,M, O1, O2,... ..., OM >
=< >
=< >
=< >
x =< X >
=< > ??? pomija siÄ™
=< >
=< >
w =< L > ??? pomija siÄ™
=< >
=< >
=< >
0
E : W (a ) 0 , 1



{ }
{ }
{ }
zwiÄ…zki { }
R
a
funkcja oceny osiągnięcia
celu
A
W(a,x)
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
x"&!(a)
"
"
"
&!(a)
&!
&!
&!
{ }
{ }
{ } a"A
{ } "
"
"
a"A
"
"
"
zbiór poprawnych zbiór dopuszczalnych zbiór przewidywanych
wartości danych wartości zmiennych wartości kryteriów
(tylko D) decyzyjnych (tylko ZD+ew.D) (W+ZD+ew.D)
gdzie: W(a) = W(a, x)
=
=
=
*"
x"&!(a)
"
"
"
Przykład (cd)
1. X Ä…" {1, 2,... ...,M} D+ZD
Ä…"
Ä…"
Ä…"
2. Om Ä…" {1, 2,... ...,N} (m = 1,M) D
Ä…" =
Ä…" =
Ä…" =
3. Om = {1, 2,... ...,N} D+ZD
=
=
=
*"
*"
*"
*"
m"X
"
"
"
4. L = X ZD+W
=
=
=
5. L çÅ‚çÅ‚çÅ‚
çÅ‚çÅ‚çÅ‚
min ZD+W

çÅ‚çÅ‚çÅ‚
çÅ‚çÅ‚çÅ‚


X
Czyli:
M
A= < >" × Åš " = Ä…"
={"P2 ×(2P \ {Åš})M :"m=1,M:Om Ä…"{1,2,... ...,N}}
= < >" × Åš " = Ä…"
= < >" × Åš " = Ä…"
m
=
=
=
&!(a) = {X " 2P : X Ä…" {1, 2,... ...,M} '" Om = {1, 2,... ...,N}}
&! = " Ä…" '" =
&! = " Ä…" '" =
&! = " Ä…" '" =
*"
*"
*"
*"
m"X
"
"
"
W(a, X) = {L " : L = X }
= " =
= " =
= " =
Å„Å‚1 gdy L* = min W(a, X) = min L(X)
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
= =
= =
= =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
X"&!(a) X"&!(a)
"&! "&!
"&! "&!
"&! "&!
Ea(L*) = gdzie: a " A
= "
= "
= "
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
w p.p.
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół0
ół
ół
ół
oraz L(X) = X
=
=
=
ANALIZA POZIOMU INFORMACYJNEGO
ai - dana (cecha niebędąca zmienną decyzyjną ani kryterium)
Xi - zbiór możliwych (fizycznie) wartości danej ai
Przed podjęciem decyzji decydent o danej ai będzie
mógł powiedzieć, że zna:
jej wartość
rozkład prawdopodobieństwa jej wartości
stopień przynależności jej wartości do zbioru Xi
tylko taki zbiór Ai, dla którego ai " Ai ą" Xi
" Ä…"
" Ä…"
" Ä…"
tylko przybliżenie zbioru Ai
x - lista zmiennych decyzyjnych (cech stanowiących treść
decyzji, decydent bezpośrednio ustala ich wartości)
Nie można mówić o znajomości wartości zmiennych
decyzyjnych przed podjęciem decyzji, gdyż jest to
treścią podejmowanej decyzji
Niech x " &!(a) - zbiór decyzji  twardych
" &!
" &!
" &!
Możliwe przypadki:
x jest decyzjÄ… dopuszczalnÄ…
x jest decyzjÄ… dopuszczalnÄ… z pewnym znanym
rozkładem prawdopodobieństwa
x jest decyzjÄ… dopuszczalnÄ… tylko w znanym stopniu
x jest nieznanym elementem znanego podzbioru
zbioru &!(a)
&!
&!
&!
zbiór &!(a) jest znany w sposób przybliżony
&!
&!
&!
w - lista kryteriów (decydentowi zależy na wartościach tych cech i
ma na nie wpływ pośredni poprzez podjętą decyzję)
Nie można mówić o znajomości wartości kryteriów
przed podjęciem decyzji, gdyż jest to skutek
podejmowanej decyzji
W(a, x) - zbiór wartości kryteriów
Możliwe przypadki:
zbiór W(a, x) jest znany przed podjęciem decyzji i
zawiera wyłącznie jedną liczbę lub wektor liczbowy
w zbiorze W(a, x) występują znane rozkłady
zmiennych losowych
w zbiorze W(a, x) występują znane funkcje
przynależności zmiennych rozmytych
w zbiorze W(a, x) występują znane zbiory liczbowe
w zbiorze W(a, x) występują zbiory liczbowe znane
w sposób przybliżony
&!(a)
&!
&!
&!
decyzje
A W(a, x)
dane kryteria
Przykład (cd)
1. Czy decydent przed podjęciem decyzji będzie znał wartość
N? (pytanie do... przyszłego decydenta!) TAK
2. Czy decydent przed podjęciem decyzji będzie znał wartość
M? TAK
3. Czy decydent przed podjęciem decyzji będzie znał zbiory
O1, O2,... ...,OM? NIE
4. A co decydent będzie wiedział o tych zbiorach? Odp.: Dla
każdego potencjalnego miejsca rozmieszczenia stacji
dostępowej będzie wiadomo, którzy użytkownicy zawsze
będą mieli dostęp, a którzy mogą mieć dostęp przy
sprzyjajÄ…cych warunkach propagacji.
Wniosek: Nie jest precyzyjnie znany zbiór
&!(a) = {X " 2P : X Ä…" {1, 2,... ...,M} '" Om = {1, 2,... ...,N}}
&! = " Ä…" '" =
&! = " Ä…" '" =
&! = " Ä…" '" =
*"
*"
*"
*"
m"X
"
"
"
a tym samym nie wiadomo co oznacza zapis:
Å„Å‚1 gdy L* = min W(a, X) = min L(X)
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
= =
= =
= =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
X"&!(a) X"&!(a)
"&! "&!
"&! "&!
"&! "&!
Ea(L*) =
=
=
=
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
w p.p.
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół0
ół
ół
ół
W konsekwencji należy uszczegółowić cel modelowania, który
brzmiał:
Opracowanie metody wyznaczania najbardziej ekonomicznej
organizacji sieci, tzn. takiej, przy której zapewnia się dostęp
wszystkich użytkowników do sieci z wykorzystaniem minimalnej
liczby stacji dostępowych.
A może należy, ze względów oszczędnościowych, liczyć na
sprzyjajÄ…ce warunki propagacji?
Nowy cel można więc przykładowo sformułować następująco:
Opracowanie metody wyznaczania najbardziej ekonomicznej
organizacji sieci, tzn. takiej, przy której zapewnia się dostęp 80%
użytkowników do sieci i umożliwia, w sprzyjających warunkach,
dostęp wszystkim użytkowników, z wykorzystaniem minimalnej
liczby stacji dostępowych.
Wtedy:
Om,O (m = 1,M)
=
=
=
1. Zamiast cech Om (m = 1,M) występują cechy m
=
=
=
oznaczające odpowiednio zbiory numerów tych użytkowników,
którzy mają zagwarantowany dostęp ze stacji dostępowej
umieszczonej w miejscu nr m, oraz tych użytkowników, którzy
mogą mieć dostęp do sieci prze tę stację. Są to nowe dane.
2.
&!(a) = {X " 2P : X Ä…" {1, 2,... ...,M} '"
&! = " Ä…" '"
&! = " Ä…" '"
&! = " Ä…" '"
4N
'" Om e" '" O = {1, 2,... ...,N}}
'" e" '" =
'" e" '" =
'" e" '" =
m
*" *"
*" *"
*" *"
*" *"
5
m"X m"X
" "
" "
" "
3. Ponadto dochodzą oczywiste związki między nowymi danymi:
Om Ä…" O (m = 1,M)
Ä…" =
Ä…" =
Ä…" =
m
SFORMUA
OWANIE ZADANIA
OPTYMALIZACYJNEGO
SCHEMAT PRZYKA
ADOWY
Dla danych a " A
"
"
"
*
wyznaczyć takie x " &!(a),
"
"
"
aby "y " W(a, x*) : Ea(y) = 1
" " =
" " =
" " =
A - zbiór poprawnych danych
&!(a) - zbiór rozwiązań (dopuszczalnych)
W(a, x) - zbiór wartości jakie mogą przyjąć kryteria,
gdy w sytuacji opisywanej zestawem danych a " A
"
"
"
podjęta została decyzja x " &!(a)
" &!
" &!
" &!
Ea(y) - funkcja określająca, czy cel został osiągnięty,
gdy skutkiem procesu decyzyjnego jest wartość
kryteriów y " W(a, x)
"
"
"
*
x - rozwiÄ…zanie optymalne
Przykład (cd)
M
M
a"A= < ,{O = >"P2 ×(2P \ {Åš})2M :
" ={" × Åš
" = < >" × Åš
" = < >" × Åš
Dla danych {O }m=1 }m=1
m
m
=
=
=
=
=
"m=1,M: Om Ä…"O Ä…"{1,2,... ...,N}}
" = Ä…" Ä…"
" = Ä…" Ä…"
" = Ä…" Ä…"
m
wyznaczyć takie X* " &!(a),
" &!
" &!
" &!
Ea(L(X*)) = 1
=
=
=
aby
gdzie:
&!(a) = {X " 2P : X Ä…" {1, 2,... ...,M} '"
&! = " Ä…" '"
&! = " Ä…" '"
&! = " Ä…" '"
4N
'" Om e" '" O = {1,2,... ...,N}}
'" e" '" =
'" e" '" =
'" e" '" =
m
*" *"
*" *"
*" *"
*" *"
5
m"X m"X
" "
" "
" "
Å„Å‚1 gdy L(X*) =
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
=
=
=
minL(X)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
X"&!(a)
"&!
"&!
"&!
Ea(L(X*)) =
=
=
=
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
w p.p.
ół0
ół
ół
ół
L(X) = X
=
=
=
Jest to zadanie odwołujące się do tzw. teorii zbiorów
przybliżonych
PROBLEMY:
pusty zbiór rozwiązań
*
zapewnienie istnienia x dla każdego a " A
"
"
"
wieloelementowy zbiór W(a,x)
elementy zbioru W(a,x) nie sÄ… uporzÄ…dkowane
ograniczenia rachunkowe (czas obliczeń, wielkość
pamięci)
brak metod rozwiÄ…zywania
koszt uzyskania rozwiÄ…zania
inne
DEFINIOWANIE FUNKCJI Ea
zał.: f&
f&im większa wartość kryterium, tym  lepiej
f&
f&
f&
f&zbiór W(a,x) jest jednoelementowy
f&
f&
W(a, x) = {K(a, x)} = {K}
= =
= =
= =
K:
liczba
wektor liczbowy
zmienna losowa
zbiór rozmyty
zbiór liczbowy
zbiór przybliżony
...
Co robić, jeśli nie chodzi o to, aby wartość kryterium wi
była jak największa?
chcemy, aby była jak najmniejsza; wtedy:
wnowy = -wi
= -
= -
= -
i
chcemy, aby wartość kryterium wi była jak najbliżej
0
ustalonej wartości wi ; wtedy:
0
wnowy = - wi - wi
= - -
= - -
= - -
i
może to być tzw. programowanie celowe
K  liczba
Å„Å‚1 gdy K * = m ax W (a)
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
=
=
=
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
*
E (K ) =
=
=
=
a
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚0 w przeciw nym przyp
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ół
ół
ół
Sformułowanie zadania ekstremalizacji
Dla danych a " A
"
"
"
*
wyznaczyć takie x " &!(a),
"
"
"
aby:
K(a, x*) = K(a, x)
=
=
=
max
x"&!(a)
"
"
"
lub: min, sup, inf, &!, K(x)
Czy warto stosować badania operacyjne?
Oferty pracy dla inżyniera informatyka po WWSI:
1. 40.000 Ź rocznie + 4.000 Ź podwyżki po
każdym roku
2. 40.000 Ź rocznie + 1.000 Ź podwyżki po
każdym półroczu
Co wybrać?
lata 2010 2011 2012 2013
półrocza I II I II I II I II
oferta 1. 20.000 20.000 22.000 22.000 24.000 24.000 26.000 26.000
razem 1.
40.000 44.000 48.000 52.000
oferta 2. 20.000 21.000 22.000 23.000 24.000 25.000 26.000 27.000
razem 2.
41.000 45.000 49.000 53.000
różnica
+1.000 +1.000 +1.000 +1.000