BADANIA OPERACYJNE II - PROGRAMOWANIE SIECIOWE
Przygotował: mgr inż. Piotr Betlej
Ćwiczenia 1
1.0. Wprowadzenie do przedmiotu
2.0. Historia zarzÄ…dzania projektami
3.0. Klasyfikacja i zastosowania metod programowania sieciowego
4.0. Podstawowe pojęcia
5.0. Założenia modelu sieciowego
6.0. Etapy konstrukcji sieci
7.0. Ćwiczenia z konstrukcji sieci
1.0. Wprowadzenie do przedmiotu
Efektywne planowanie nie jest domeną współczesnego managera. Poganiani przez
konkurencję i rosnące wymagania rynku pospiesznie przechodzimy bezpośrednio od
pomysłów do ich realizacji. Ta swoista "pułapka aktywności" wiele nas kosztuje. Bez
dobrego planu żaden projekt nie zakończy się sukcesem.
AlarmujÄ…ce statystyki
Współczesne zarządzanie projektami datuje się od roku 1958, kiedy wynaleziono dwie
metody sieciowego planowania zadań: PERT i CPM. Zapoczątkowało to na całym świecie
dynamiczny rozwój domeny Project Management. Kierownicy projektów zaczęli
tworzyć coraz bardziej skomplikowane sieci zadań i coraz doskonalsze modele
wykorzystania zasobów. Wraz z doskonaleniem metod zarządzania projektami
dokonywał się błyskawiczny postęp technologiczny, który wraz ze wzrostem
konkurencyjności na globalnych rynkach tworzył coraz bardziej złożone i zmienne
otoczenie dla realizowanych projektów. Pośpiech stał się podstawowym imperatywem
decyzji managerów: zdążyć przed konkurencją, za wszelką cenę osiągnąć cel taniej i
w krótszym czasie. Szczególnie łatwo podejście to przyjęło się w naszym kraju,
mającym chlubne tradycje spontanicznych decyzji i wielkich zrywów i mniej chlubne -
działania bez wyznaczonych celów i spójnego planu.
Uznane organizacje badające projekty realizowane na świecie, takie jak amerykańskie
komisje Packarda i Heartha, Standish Group i AMR Research, publikujÄ… dziÅ› alarmujÄ…ce
statystyki o wielkich kosztach niepowodzeń projektów, zwłaszcza realizowanych w
obszarze nowych technologii. Tylko mniej niż jedna trzecia projektów IT osiąga
wyznaczone cele w planowanym czasie i budżecie. Przystępowanie do projektów z
góry skazanych na niepowodzenie przynosi w skali globalnej gospodarki straty trudne do
oszacowania. Wskazuje się na różne przyczyny tej sytuacji, ale problemem
podstawowym, rodzącym kolejne, jest z pewnością brak odpowiedniej analizy
projektu na etapie inicjacji i powierzchowne traktowanie etapu planowania.
Takie podejście na starcie projektu czyni bezużytecznymi najbardziej nawet
zaawansowane narzędzia zarządzania harmonogramem, czy procedury zarządzania
zmianą. Kosztownym błędem okazuje się powszechna dziś praktyka
rozpoczynania projektu od przydzielania zadań i przystępowania do ich
realizacji. Planuj, potem działaj - tą z pozoru oczywistą zasadę dziś przychodzi nam
odkrywać na nowo.
Projekty rozpoczynajÄ… siÄ™ od idei
Analizy przeprowadzonych projektów wskazują, że im bardziej przejrzysta i
lepiej opisana jest wizja tego, co chcemy osiągnąć, tym większe są szansę na
osiągnięcie celu. Na etap planowania powinna przypadać ponad połowa wysiłku w
projekcie - twierdzą kierownicy projektów, którzy na własnych błędach przekonali się o
słuszności tej tezy. Przystąpienie do realizacji projektu musi być poprzedzone analizą
alternatywnych rozwiązań w zakresie struktury prac, definicji celów i kryteriów sukcesu
planowanego przedsięwzięcia. Udziałowcy projektu muszą najpierw uzgodnić (i
potwierdzić!) wspólną wizję celu i dróg do jego osiągnięcia. Przyjęcie optymalnych
rozwiązań na starcie nie jest możliwe bez zespołowego wysiłku, trudnych kompromisów i
wyrzeczeń, ale tylko taka droga pozwoli w znaczny sposób ograniczyć ryzyko klęski
projektu.
Dlaczego więc tak mało wysiłku poświęca się zbudowaniu szczegółowego planu?
2.0. Historia zarzÄ…dzania projektami
Działalność nosząca cechy projektów prowadzona była od początku cywilizacji. Z braku
wiedzy o stosowanych sposobach zarządzania tymi pierwotnymi, choć wcale
niebanalnymi, projektami nie można wskazać początku rozwoju tej dziedziny.
Główne etapy rozwoju zarządzania projektami tworzą następującą historię:
" Przyjęto umownie, że pierwszym projektem, zarządzanymi zgodnie ze
współczesnym pojęciem zarządzania projektami, była budowa kolei
transkontynentalnej w USA (1870+).
" Na przełomie XIX i XX wieku Frederick Taylor badając i optymalizując wydajność
pracowników doszedł do wniosku, że każdą pracę można podzielić na mniejsze
elementy, a najmniejszym z nich jest pojedynczy ruch.
" W tym samym okresie (przełom XIX i XX w.) Henry Gantt opracował sposób
graficznej prezentacji wielu różnych działań, wykonywanych w różnym czasie i
składających się na złożone przedsięwzięcie - projekt.
" W okresie II wojny światowej skutecznie zastosowano metody matematyczne
do optymalizacji (metoda SIMPLEX) złożonych systemów i projektów
militarnych oraz cywilnych. Metody te zostały po wojnie powszechnie stosowane w
wielu zagadnieniach, stanowiÄ…c podstawÄ™ nowej dziedziny: badania operacyjne.
" W 1958 roku opracowano w USA dwie ważne metody sieciowego planowania
projektów:
DuPont Inc. - metoda ścieżki krytycznej (CPM = Critical Path Method) stosowana
do harmonogramowania projektów o zdeterminowanym czasie realizacji zadań
składowych,
Lockheed Corporation - metoda PERT (Programm Evaluation and Review
Technique), stosowana do harmonogramowania projektów z uwzględnieniem
losowości czasu realizacji zadań składowych, stosowana początkowo do projektów
badawczo-rozwojowych w sektorze militarnym (projekt rakiet balistycznych
POLARIS).
" Metody CPM i PERT zostały następnie rozwinięte i opracowano ogólniejsze
modele planowania projektów metodami sieciowymi, na przykład metodę GERT
(Graphical Evaluation and Review Technique).
W 1969 roku powstał w USA Project Management Institute (PMI), organizacja
zrzeszająca profesjonalistów z zakresu zarządzania projektami. Jednym z
celów PMI jest promowanie, doskonalenie i certyfikacja adeptów nowej profesji:
kierownika projektów.
" Wiele organizacji (NASA, IBM, RAND Corporation, Bell Labs, DoD) zarządzało
dużymi i złożonymi projektami, stosując i rozwijając różne metody. Uogólnienie
tych doświadczeń pozwoliło wypracować metodykę postępowania zalecanego
zwłaszcza dla dużych projektów. Projekty te zarządzane były przez nielicznych
wówczas specjalistów, często zmieniających miejsce zatrudnienia.
" Obecnie, oprócz dużych projektów (również o skali globalnej), występuje bardzo
duża liczba projektów małych i średnich. Wynika to stąd, że współczesne organizacje,
działając w warunkach dynamicznego i konkurencyjnego rynku, podejmują
samodzielnie liczne projekty o bardzo zróżnicowanej wielkości. Projektami
takimi muszą, z konieczności, zarządzać pracownicy danej organizacji. W ostatniej
dekadzie zaobserwowano znaczący popyt na kierowników projektów i wzrost
zainteresowania zarzÄ…dzaniem projektami.
" Znaczenie projektów w pracy dynamicznych organizacji i konieczność stosowania
szczególnych metod zarządzania akcentuje się współcześnie pojęciem
"zarządzanie przez projekty". Oznacza to zupełnie nowe podejście, polegające na
stosowaniu metod typowych do zarządzania projektami również w
organizacjach o przewadze działań operacyjnych.
3.0. Klasyfikacja i zastosowania metod programowania sieciowego
Metody programowania sieciowego to techniki planowania przedsięwzięć
zapewniajÄ…ce sprawny przebieg ich wykonania. Obecnie istnieje wiele takich metod,
często znacznie się od siebie różniących. Ze względu na strukturę logiczną metody
sieciowe można podzielić na: sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej (sieci typu
DAN  Deterministic Analysis Network) i stochastycznej (sieci typu GAN  Generalized
Analysis Network).
Do typowych zastosowań planowania sieciowego przedsięwzięć zalicza się
projektowanie zamierzeń na wielką skalę (programy kosmiczne, zbrojeniowe,
uprzemysłowienia kraju itd.), oraz na mniejszą skalę  planowanie i kontrola prac
budowlanych, remontowych, prac badawczych itp.
Deterministyczne metody - czasy trwania czynności są określone jednoznacznie.
Stochastyczne - czasy trwania czynności można określić tylko z pewnym
prawdopodobieństwem.
4.0. Podstawowe pojęcia
ZarzÄ…dzanie projektem jest to proces planowania, organizacji oraz zarzÄ…dzania
zadaniami i zasobami (ludzkimi, materiałowymi, sprzętowymi, finansowymi) w celu
osiągnięcia zdefiniowanego celu, zwykle w ramach ograniczeń czasu, zasobów lub
kosztu.
Projekt (przedsięwzięcie) - składa się z serii połączonych ze sobą czynności
wykonywanych w celu uzyskania określonego celu, zwykle w ramach ograniczeń: czasu,
zasobów i kosztu. Elementami składowymi projektu są zdarzenia i czynności.
Zdarzenie  w modelu sieciowym oznacza osiągnięcie stanu zaawansowania pracy
przy realizacji projektu. Jest to moment rozpoczęcia lub zakończenia jednej lub kilku
czynności. Zdarzenia przedstawiamy przy pomocy okręgów, prostokątów lub innych figur
geometrycznych. Przykładowo:
i
i
t i L i T i
t i T i
L i
Gdzie:
i  numer zdarzenia, i = 1, 2, 3, ...
t i  najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia i
Ti  najpóz
niejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia i
L i - zapas czasu dla zdarzenia i
Czas najkrótszy (najwcześniejszy moment zaistnienia zdarzenia o numerze 'i') , jest to
najdłuższy czas przejścia od zdarzenia pierwszego do zdarzenia 'i'-tego.
Czas najdłuższy (najpóz
niejszy moment zaistnienia zdarzenia), jest to różnica
pomiędzy czasem krytycznym a najdłuższym czasem przejścia od tego zdarzenia do
zdarzenia końcowego.
Czynność  dowolnie wyodrębniona część projektu charakteryzująca się czasem
trwania i zużywaniem środków. Czynności przedstawiamy przy pomocy strzałek
(wektorów) łączących zdarzenia. Kierunek strzałki przedstawia zależności między
czynnościami. Czynność charakteryzuje para wskaz
ników i-j, gdzie i jest numerem
zdarzenia, w którym czynność się rozpoczyna, a j  numerem zdarzenia w którym
czynność się kończy.
Czynność pozorna  szczególny typ czynności, które nie zużywają czasu (jej czas
trwania jest równy zeru) ani środków. Służą jedynie do przedstawienia zależności między
czynnościami. Czynności pozorne przedstawiamy przy pomocy strzałek (wektorów)
przerywanych.
5.0. Założenia modelu sieciowego
A. Zdarzenia początkowe nie mają czynności poprzedzających.
B. Zdarzenia końcowe nie mają czynności następujących po nich
C. Wykres sieciowy może mieć kilka początkowych i kilka końcowych zdarzeń i
wówczas łączy się je czynnościami pozornymi w jedno zdarzenie początkowe i
jedno zdarzenie końcowe.
D. Dane zdarzenie nie może nastąpić, dopóki nie zakończą się wszystkie czynności
prowadzące do niego i warunkujące zajście tego zdarzenia.
E. Żadna kolejna czynność nie może się rozpocząć, dopóki nie zaistnieje zdarzenie
kończące czynności poprzedzające.
F. Wektory czynności powinny być skierowane z lewej strony do prawej
G. Wykres sieciowy nie powinien mieć obiegów zamkniętych, tj. pętli łączących
dwukrotnie te same zdarzenia.
H. Strzałki obrazujące czynności nie powinny się przecinać.
I. Dwa zdarzenia mogą być połączone tylko jedną czynnością. Jeżeli kilka czynności
wykonywanych jest równolegle pomiędzy dwoma zdarzeniami to należy
wprowadzić czynności pozorne.
J. Zdarzenia i czynności powinny być odpowiednio uporządkowane, tzn. każdy
poprzednik ma mieć mniejszy numer lub wcześniejszą literę od następnika (zatem
numerując zdarzenia należy zwracać uwagę na to, by zdarzenie wcześniejsze
miało mniejszy numer i < j). Wymóg ten wyklucza wystąpienie cyklu (tzn.
sytuacji, gdy wychodząc z jednego wierzchołka i poruszając się po krawędziach,
można do tego samego wierzchołka wrócić.
6.0. Etapy konstrukcji sieci
1. Zdefiniowanie celu projektu i czasu jego realizacji
2. Wyodrębnienie listy czynności
" Ustalenie logicznego następstwa poszczególnych czynności
" Określenie parametrów czynności (czas, nakład, itp.)
Czynność Poprzednik Czas trwania
a 1
b 2
c a, b 3
hd a, b 4
e c, d 2
f e 3
g e 1
3. Wygenerowanie wykresu Gantta (graficznej interpretacji listy czynności).
4. Budowa diagramu sieciowego
5. Wyznaczenie ścieżki krytycznej.
6. Interpretacja wyników
" Najkrótszy czas realizacji projektu.
" Najpóz
niejszy możliwy termin rozpoczęcia i zakończenia zadań .
" Zapas czasu - slack (ilość czasu, z jaką wykonanie danej czynności może być
opóz
nione bez wywierania wpływu na datę zakończenia całego projektu).
" Oczekiwany czas trwania czynności.
7. Obliczamy prawdopodobieństwo, że projekt zostanie ukończony zgodnie
z wyznaczonym czasem.
7.0. Ćwiczenia z konstrukcji sieci
Ćwiczenie 1
Na podstawie poniższych tabel narysować wykresy Gantta oraz sieciowe:
a)
Czynność Poprzednik Czas trwania
a 2
b a 4
c b 2
b)
Czynność Poprzednik Czas trwania
a 2
b 2
c a 2
d b 3
e c, d 5
Ćwiczenie 2
Firma PLANETA przenosi swojÄ… siedzibÄ™ z Warszawy do Rzeszowa. Koordynacja tego
przedsięwzięcia nie jest prosta, gdyż firma składa się z wielu działów. Należy określić,
którzy pracownicy z Warszawy przeniosą się do Rzeszowa, jak wielu nowych
pracowników należy zatrudnić, kto ich przeszkoli.
Czas
Czynność Opis czynności Poprzednik
trwania
a
wybranie miejsca na biuro 3
b
stworzenie planu finansowego i organizacyjnego 5
c
określenie potrzeb personalnych b 3
d
projekt wnętrza a, c 4
e
określenie ilości potrzebnego wyposażenia d 8
f wybór personelu przeniesionego do nowego
oddziału c 2
g
zatrudnienie nowych pracowników f 4
h
przeniesienie kluczowych pracowników do Rzeszowa f 2
i zawarcie umów finansowych z osobą wynajmującą
biura w Rzeszowie b 5
j przeszkolenie nowego personelu e, f, g 3
Polecenia:
1. Ustalić czas realizacji projektu
2. Narysować wykres Gantta
3. Narysować diagram sieciowy
4. Wyznaczyć ścieżkę krytyczną
5. Zinterpretować wyniki
RozwiÄ…zanie
Wykres Ganita
Diagram sieciowy
Ćwiczenie 3
Uzupełnij diagram (numery zdarzeń, najwcześniejsze, najpóz
niejsze możliwe terminy
zaistnienia zdarzeń, zapas czasu dla zdarzeń i czynności) oraz wyznacz ścieżkę
krytycznÄ…:
2 ( ) 5 ( )
4 ( )
3 ( )
2 ( ) 4 ( )
3 ( ) 4 ( )
2 ( )
Ćwiczenia dodatkowe
1. Na podstawie poniższej tabelki utwórz szkic diagramu sieciowego i wykres Gantta:
Czynność Poprzednik
a
b
c a, b
d a, b
e c, d
f e
g e
2. Na podstawie poniższej tabelki utwórz szkic diagramu sieciowego i wykres Gantta:
Czynność Poprzednik
a
b a
c a
d b
e b
f c, d, e
g f
h f
Ćwiczenia 2
Metoda CPM
Ćwiczenie - rozwiązywanie zadania metodą CPM
Metoda PERT
Ćwiczenie - rozwiązywanie zadania metodą PERT
Ćwiczenia dodatkowe
Metoda CPM
Metoda CPM (Critical Path Method), zwana po polsku metodą drogi lub ścieżki
krytycznej, pozwala na przeprowadzanie analiz czasów trwania oraz kosztów
poszczególnych czynności wchodzących w skład danego projektu.
Typowy problem rozwiązywany metodą CPM polega na tym, że całe przedsięwzięcie
należy wykonać po ustalonych kosztach w jak najkrótszym czasie. Jeżeli zachodzi
potrzeba ukończenia projektu wcześniej, można tego dokonać ponosząc dodatkowe
koszty. Problemy tego typu można rozwiązywać ręcznie lub dowolnym programem
komputerowym szukania najdłuższej drogi.
Zdarzenie:
i
i
t i L i T i
t i T i
L i
Gdzie:
i  numer zdarzenia, i = 1, 2, 3, ...
t i  najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia i
Ponieważ zdarzenie można uznać za zrealizowane dopiero wówczas, gdy zostaną
zakończone wszystkie prowadzące do niego czynności, dlatego w przypadku gdy do
zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, najwcześniejszy możliwy moment
zaistnienia tego zdarzenia jest równy maksymalnej z tak obliczonych wielkości, czyli:
t = maxi{ti + ti- j}
j
Ti  najpóz
niejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia i
Po wyznaczeniu najwcześniejszych możliwych momentów zaistnienia poszczególnych
zdarzeń obliczamy najpóz
niejsze dopuszczalne momenty zaistnienia
poszczególnych zdarzeń, zaczynając od zdarzenia końcowego i poruszając się w
kierunku przeciwnym ze zwrotem strzałek. Aby przedsięwzięcie zrealizować w
najkrótszym możliwym czasie przyjmuje się, że najpóz
niejszy dopuszczalny moment
zaistnienia zdarzenia końcowego jest równy najwcześniejszemu możliwemu terminowi
jego zaistnienia Tn = tn . Wielkość tę wpisujemy arbitralnie w prawej ćwiartce zdarzenia
końcowego, a następnie wyznaczamy najpóz
niejsze dopuszczalne terminy dla wszystkich
pozostałych zdarzeń. Najpóz
niejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia
poprzedniego (i) obliczamy odejmując od najpóz
niejszego dopuszczalnego terminu
zdarzenia następnego (j) czas trwania czynności i-j. Jeżeli do zdarzenia dochodzi więcej
niż jedna czynność, wybieramy wielkość najmniejszą, czyli:
Ti = min {Tj - ti- j}
j
L - zapas czasu dla zdarzenia i
i
Po wyznaczeniu najwcześniejszych możliwych i dopuszczalnych momentów zaistnienia
zdarzeń (t oraz T), obliczamy zapasy czasu dla poszczególnych zdarzeń:
Li = Ti - ti
Zapas czasu zdarzenia jest różnicą między najpóz
niejszym dopuszczalnym a
najwcześniejszym możliwym terminem jego zaistnienia.
W celu wyznaczenia ścieżki krytycznej, należy znać także zapasy czasu dla czynności,
które wyznacza się według wzoru:
Zi- j = (Tj - ti- j )- ti
Ścieżka krytyczna jest najdłuższą drogą w sieci (wszystkie czynności muszą być
zakończone), a jej czas trwania (suma czasów kolejnych czynności leżących na ścieżce
krytycznej) jest równa terminowi końcowemu. Należy zaznaczyć, iż w sieciach może
występować więcej niż jedna ścieżka krytyczna.
Układ czynności na drodze krytycznej wskazuje, w jakiej kolejności powinny następować
czynności krytyczne, aby czas wykonania całego przedsięwzięcia był najkrótszy.
Znajomość czynności krytycznych ułatwia planowanie, kierowanie i koordynację realizacji
przedsięwzięcia, ponieważ przekroczenie terminu zakończenia którejkolwiek czynności
krytycznej powoduje opóz
nienie wykonania całego projektu.
Warto jednak zaznaczyć, iż nie można wyłączyć spod kontroli czynności leżących poza
ścieżką krytyczną. Ich opóz
nienia bowiem nie mają wpływu na termin końcowy i ścieżkę
krytyczną tylko wówczas, gdy opóz
nienia te mieszczÄ… siÄ™ w granicach posiadanych
zapasów czasu. Jeżeli natomiast zniknie zapas czasu dla jakiegokolwiek ciągu czynności
niekrytycznych, natychmiast pojawi się nowa ścieżka krytyczna, która będzie wpływać na
termin realizacji przedsięwzięcia. Ciągi czynności niekrytycznych, wykazujące nieznaczne
zapasy czasu, określane są jako drogi podkrytyczne i przy analizie sieci czynności
wymagają również szczególnej uwagi.
Ćwiczenia rozwiązywania zadań metodą CPM
Ćwiczenie 1
Na podstawie poniższej tabelki utwórz sieć przedstawiającą poniższy projekt i wykres
Ganita, podaj ścieżkę krytyczną, najkrótszy czas trwania inwestycji
Czynność Czas Poprzednik
trwania
A X (1) -
B 3 A
C 7 A
D 4 B
E 2 D
F 5 C
G 2 C
H 1 C
I 3 F, G, H
J 1 E, I
SIECI PERT
Metoda PERT (Program Evaluation and Review Technique) jest stochastycznÄ… wersjÄ…
metody CPM. Oznacza to, że czasy wykonywania poszczególnych czynności oraz
czas realizacji całego przedsięwzięcia są zmiennymi losowymi. Przyjmuje się, że
czasy te mają rozkład normalny. Ponieważ uzyskanie informacji ile wynoszą parametry
rozkładu normalnego dla każdej czynności byłoby trudne, parametry te oblicza statystyk
(lub komputer) przy użyciu następujących wzorów i na postawie następujących danych
dostarczonych przez technologów:
- średni (oczekiwany) czas wykonania czynności:
a + 4m + b
te =
6
- wariancja czasu trwania czynności:
2
b
îÅ‚ - a
Å‚Å‚
2
à =
ïÅ‚ śł
6
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie:
a  czas optymistyczny trwania czynności (najkrótszy możliwy czas wykonania
czynności),
b  czas pesymistyczny trwania czynności (najdłuższy przewidywalny czas wykonania
czynności),
m  czas modalny, najbardziej prawdopodobny.
Parametry rozkładu czasu realizacji całego przedsięwzięcia (Te , à ) oblicza się
przez sumowanie po ścieżce krytycznej, wykorzystując twierdzenia o sumowaniu
niezależnych zmiennych losowych (wolno sumować średnie i wariancje).
Średni czas realizacji danego przedsięwzięcia Te obliczamy sumując średnie czasy
wykonania czynności znajdujących się na ścieżce krytycznej, którą znajdujemy
analizując sieć i wyznaczając najdłuższą trasę z węzła początkowego do końcowego.
2
Wariancję à czasu realizacji całego przedsięwzięcia obliczamy jako sumę wszystkich
wariancji na ścieżce krytycznej (jako sumę wszystkich czynności leżących na ścieżce
krytycznej). Następnie obliczamy odchylenie standardowe à czasu wykonania całego
2
przedsiÄ™wziÄ™cia à = à (odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi z wariancji).
Po wyznaczeniu Te oraz à możemy okreÅ›lić, jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że
przedsięwzięcie będzie zakończone w terminie Ti . W tym celu musimy rozwiązać zadanie
typu  oblicz p(X < Ti ) dla rozkładu normalnego.
Rozwiązywanie rozpoczynamy od standaryzacji rozważanej zmiennej losowej:
Ti - Te
zi =
Ã
T
Dla obliczonej statystyki zi z tablic rozkładu normalnego odczytujemy wartość
dystrybuanty zmiennej losowej. Jest to nasze szukane prawdopodobieństwo ukończenia
projektu w wyznaczonym terminie Ti .
Ćwiczenie z konstrukcji sieci PERT
Dysponując poniższymi danymi:
czynność poprzednik a m b
1 - 4 8 12
2 1 3 6 9
3 1 3 6 12
4 1 3 6 9
5 2,4 15 20 25
Zbuduj model sieciowy przedsięwzięcia, wyznacz ścieżkę krytyczną oraz znajdz

wariancję terminu końcowego.
Całe przedsięwzięcie chcemy ukończyć w terminie 32 dni. Podaj prawdopodobieństwo
przekroczenia tego terminu.
RozwiÄ…zanie
Obliczamy czas oczekiwany oraz wariancję dla każdej czynności.
Czas
najbardziej Czas
optymistyczny pesymistyczny Wariancja
czynność poprzednik prawdopodobny oczekiwany
a b
m
1 - 4 8 12 8 1,78
2 1 3 6 9 6 1,00
3 1 3 6 12 6,5 2,25
4 1 3 6 9 6 1,00
5 2,4 15 20 25 20 2,78
Rysujemy sieć czynności.
Wyznaczamy ścieżkę krytyczną: 1-2-5. Jej długość wynosi 34.
Oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia Te = 8 + 6 + 20 = 34
2
Wariancja czasu realizacji całego przedsięwzięcia wynosià = 1,78 +1+ 2,78 = 5,56
Odchylenie standardowe wynosi zatem à = 5,56 = 2,36
Obliczamy prawdopodobieństwo ukończenia do 32 dni.
P(X<32)=???
32 - 34
zi = = -0,849
2,36
Dla tej wartości statystyki zi wartość dystrybuanty o rozkładzie normalnym wynosi
0,8023.
Zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe 1 - 0,8023 = 0,197 czyli około 20%.
Ćwiczenie dodatkowe
Do wykonania przedsięwzięcia opracowano dwa warianty techniczne: A i B. Wybierz ten
wariant, który gwarantuje większą szansę dotrzymania terminu dyrektywnego td = 48
dni.
Wariant A
Czynności i-j a m b
1-2 13 14 15
1-3 5 10 15
1-4 7 10 19
2-3 2 2 2
2-5 10 10 10
3-6 20 21 22
3-7 4 16 16
4-7 5 20 23
5-8 5 8 11
6-8 12 12 12
7-8 18 18 30
Wariant B
Czynności i-j a m b
1-2 17 20 20
1-3 14 14 14
1-4 1 5 15
2-5 2 10 12
3-6 17 18 25
3-7 15 15 15
4-7 2 5 14
5-8 18 20 28
6-8 14 15 22
7-8 18 21 24
Literatura
Artykuły:
Roman Zięba - Business Mapping - Skuteczne planowanie i kontrola realizacji projektu,
Centerpoint http://www.centerpoint.pl
Roman Zięba - Historia zarządzania projektami, Centerpoint http://www.centerpoint.pl
Książki:
Zbigniew Jedrzejczyk, Jerzy skrzypek, Karol Kukuła, Anna Walkosz  Badania operacyjne
w przykładach i zadaniach, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2002