1 1. Który zapis macierzowy jest poprawny:
a) A(m,n) x B(m,k) = C(m,k)
>>b) A(m,n) x B(n,k) = C(m,k)
c) A(m,n) x B(k,n) = C(m,n)
d) A(m,n) x B(m,n) = C(m,n)

2 Jak definiuje się algebraiczne dopełnienie A(i,j) elementu a(i,j) macierzy A:
a) A(i,j) = M(i,j) ; M (i,j) - minor elementu a(i,j)
b) A(i,j) = det(A) / a(i,j)
>>c) A(i,j) = -1^(i+j) x M(i,j)
d) A(i,j) = a(i,j) x M(i,j)

3 Jak definiuje się, defekt macierzy A(m,n) :
a) d=R(A)-m
b) d=R(A)-n
c) d=n-R(A)
>>d) d=min(n,m)-R(A)

4 Macierz ortogonalna musi spełniać warunek:
>>a) AAt = AtA = E ; E - macierz jednostkowa
b) AAt = (AAt)^-1
c) AAt = AtA = A
d) AAt =/= AtA = D ; D - macierz diagonalna

5 Zakładając, że istnieje jednoznaczny rozkład macierzy A na czynniki trójkątne A Ht x G, można wyznaczyć odwrotność macierzy A według zależności:
a) A^-1 = (Ht)^-1 x G^-1
>>b) A^-1 = G^-1 x (Ht)^-1
c) A^-1 = G x (Ht)^-1
d) A^-1 = Ht x G^-1

6 Dane są dwie macierze kwadratowe stopnia 8. Macierz A jest obarczona defektem d=3 , natomiast
macierz B - defektem d=4 . Iloczyn tych macierzy obarczony będzie defektem większym niż:
a) 3
>>b) 4
c) 5
d) 7

7 Macierz modalna jest to macierz utworzona na podstawie:
a) wartości własnych macierzy
>>b) wektorów własnych macierzy
c) wartości bezwzględnych poszczególnych elementów macierzy
d) odwrotności macierzy

8 Jaki warunek muszą spełniać zdarzenia niezależne:
a) P(AxB) = P(A) x P(B\A)
b) P(AxB) = P(B) x P(A\B)
>>c) P(AxB) = P(A) x P(B)
d) P(AxB) = P(A) + P(B) - P(AuB)

9 Które z charakterystyk liczbowych jednowymiarowej zmiennej losowej są miarą rozrzutu jej wartości:
a) wartość przeciętna
>>b) wariancja
c) współczynnik asymetrii
d) współczynnik skupienia

10 Jakim wzorem opisana jest funkcja prawdopodobieństwa w rozkładzie dwumianowym:
>>a) P(k,n,p)= (n k )*p^k*q^(n-k)
b) P(k,n,p)= nkp^k*q^(n-k)
c) P(k,n,p)= ((n-k)! / k! ) * p^k*q(n-k)
d) P(k,n,p)= (n! / k! ) * p^k*q^(n-k)

11 Funkcja gęstości rozkładu normalnego posiada maksimum dla:
a) x = sigma
>>b) x = u
c) x = 2 sigma
d) x = u/2sigma

12 Przyrost dystrybuanty rozkładu normalnego w przedziale x +- sigma wynosi:
a) 0.50
>>b) 0.68
c) 0.85
d) 0.95

13 Wartość przeciętna rozkładu chi-kwadrat o k stopniach swobody wynosi:
a) k-1
>>b) k
c) 2k
d) k/k-2

14 Wariancja rozkładu Studenta o k stopniach swobody wynosi:
a) k
b) 2k
c) k/k-1
>>d) k/k-2

15 Rozkład brzegowy składowej X dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y), która przyjmuje
skończoną liczbę par wartości xi , yk , wyraża się wzorem:
a) P(X=xi) = pik
>>b) P(X=xi) = E(k) pik
c) P(X=xi) = E(i) pik
d) P(X=xi) = pik + pki

16 Wartość przeciętna zmiennej losowej X z zaobserwowanej próby X {1, 2, 4, 5} wynosi:
>>a) E(X) = 3
b) E(X) = 2
c) E(X) = 2.5
d) E(X) = 4

17 Odchylenie standardowe zmiennej losowej X {1, 2, 4, 5} wynosi:
a) pierw(17/3)
>>b) pierw(10/3)
c) pierw(14/3)
d) pierw(8/3)

18 Jaki parametr zmiennej losowej definiuje moment absolutny 1 rzędu:
a) odchylenie standardowe
>>b) wartość przeciętną
c) medianę
d) gęstość prawdopodobieństwa

19 Jak definiuje się kowariancję dwóch zmiennych losowych:
>>a) cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
b) cov(X,Y) = E(X^2)+E(Y^2)
c) cov(X,Y) = E(X,Y)-E(X)-E(Y)
d) cov(X,Y) = E(X,Y)^2

20 Macierz wariancyjno- kowariancyjną dla zmiennej dwuwymiarowej definiuje się za pomocą:
a) momentów zwykłych pierwszego rzędu
b) momentów centralnych pierwszego rzędu
>>c) momentów centralnych drugiego rzędu
d) momentów zwykłych drugiego rzędu

21 Jaką wartość ma współczynnik korelacji r dla macierzy cov(X,Y) = [2 1 || 1 4]
a) 1/4
b) 1/2
>>c) 1/pierw(8)
d) 2

22 Dla rozkładu wariancji z próby zmiennej losowej X estymator nieobciążony definiuje się wzorem:
a) sigma^2 = (1/n) $E [Xi - E(X)^2]^2
>>b) sigma^2 = (1/n-1) $E [Xi -E(X)]^2
c) sigma^2 = $E [Xi - E(X)^2]^2
d) sigma^2 = n $E [Xi - E(X)^2]^2

23 Waga zmiennej losowej X definiuje się wzorem:
a) pi = sigmai^2
b) pi = 1/sigmai
>>c) pi = 1/sigmai^2
d) pi = sigmai

24 Kwantyl zmiennej losowej rozkładu normalnego określony jest przez:
a) liczbę obserwacji
b) liczbę stopni swobody
>>c) poziom ufności
d) gęstość prawdopodobieństwa

25 Zmienna losowa X ma rozkład N(u, sigma) przy czym u i sigma są nieznane. Przedział ufności dla wartości przeciętnej jest określany :
a) z rozkładu normalnego
>>b) z rozkładu t-Studenta
c) z rozkładu chi-kwadrat
d) z rozkładu dwumianowego

26 Zmienna losowa X ma rozkład N(u, sigma) przy czym sigma jest znane. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że zmienna losowa znajdzie się w przedziale X [E(X)+-2sigma]
a) 0.68
b) 0.75
>>c) 0.95
d) 0.98

27 Co zawiera macierz sigma^2G w modelu (L, AX, sigma^2G):
a) wagi
b) wariancje
>>c) wariancje i kowariancje
d) współczynniki korelacji

28 Dla modelu (L, AX, sigma^2G) kryterium MNK ma postać (przy czym G^-1=P)
a) (L-AX)t x P^-1 (L-AX) = min
>>b) (L-AX)t x P (L-AX) = min
c) (L-AX)t x (L-AX) = min
d) (L-AX)^2 = min

29 W trójkącie o znanych i bezbłędnych współrzędnych dwóch punktów pomierzono trzy kąty z jednakową
dokładnością, wynoszącą +- 10 [cc]. Współrzędne trzeciego punktu wyrównano metodą pośredniczącą.
Obliczono poprawki do wartości kątów pomierzonych. Ile wynosi odchylenie standardowe sumy kątów
w trójkacie po wyrównaniu? :
a) 30 [cc]
b) 10 [cc]
>>c) 0 [cc]
d) > 30 [cc]

30 Dla modelu (L, AX, sigma^2G) estymator wariancji resztowej ma postać ( V=AX-L
n
liczba obserwacji
u- - liczba niewiadomych ):
a) sigma^2 = VtP^-1V / n-u
>>b) sigma^2 = VtPV / n-u
c) sigma^2 = VPV / n-u
d) sigma^2 = PVV / n-u

31 Dla modelu (L, AX, sigma^2G) macierz A musi być zawsze:
a) prostokątna pozioma
>>b) prostokątna pionowa
c) kwadratowa symetryczna
d) symetryczna

32 Dla modelu (L, AX, sigma^2G) macierz L stanowi:
a) wartości obserwowane
b) wartości przybliżone
>>c) różnica wartości obserwowanych i przybliżonych
d) różnica wartości przybliżonych i obserwowanych


33 W modelu (L, AX, sigma^2G) wektor niewiadomych stanowi (?) :
a) odchyłki losowe do wielkości obserwowanych
>>b) przyrosty do przybliżonych parametrów
c) przyrosty do wielkości obserwowanych
d) odchylenie standardowe

34 W jakim przypadku macierz G w modelu (L, AX, sigma^2G) będzie macierzą jednostkową :
a) gdy obserwacje są jednego rodzaju, na przykład obserwowane są tylko przewyższenia
b) gdy układ jest mieszany , na przykład sieć kątowo-liniowa
c) gdy obserwacje są niezależne
>>d) gdy obserwacje są niezależne i są wykonane z jednakową dokładnością

35 Układ obserwacji d + AX = L zapisany dla 18 wielkości obserwowanych zawiera 12 niewiadomych.
Jaki jest stopień swobody tego modelu:
a) 12
b) 18
>>c) 6
d) 15

36 Jaka jest postać równania obserwacji dla przewyższenia h ( delta z1-2 - to różnica przybliżonych
wysokości reperów 1 i 2)
a) dh + dz2 - dz1 = h
b) dh + dz2 - dz1 = delta z1-2
>>c) dh + dz2 - dz1 = h - delta z1-2
d) dh + dz2 - dz1 = h + delta z1-2

37 Jaka jest postać równania obserwacji dla poziomej odległości między stałym punktem P a wyznaczanym punktem K:
a) delta(d) + [del X(PK) / dPK]*dxK + [del Y(PK) / dPK]*dyK = dPK
b) delta(d) + [del Y(PK) / dPK]*dxK + [del X(PK) / dPK]*dyK = dPK
>>c) delta(d) + [del X(PK) / dPK]*dxK + [del Y(PK) / dPK]*dyK = dPK - pierw[del X(PK)^2 + del Y(PK)^2]
d) delta(d) + [del Y(PK) / dPK]*dxK + [del X(PK) / dPK]*dyK = dPK - pierw[del X(PK)^2 + del Y(PK)^2]

38 Jaka jest postać równania obserwacji dla azymutu odcinka PK, w którym punkt P jest stały
a punkt K wyznaczany:
>>a) delta(alfa) + [del X(PK) / dPK]*dyK + [del Y(PK) / dPK]*dxK = alfa(obs) - alfa(przybl)
b) delta(alfa) - [del X(PK) / dPK]*dyK + [del Y(PK) / dPK]*dxK = alfa(przybl) - alfa(obs)
c) delta(alfa) + [del X(PK) / dPK]*dyK - [del Y(PK) / dPK]*dxK = alfa(przybl) - alfa(obs)
d) delta(alfa) - [del X(PK) / dPK]*dyK + [del Y(PK) / dPK]*dxK = alfa(obs) - alfa(przybl)

39 Jaka jest postać warunku dla kątów ? (lewych) w figurach otwartych o znanych
na końcach azymutach (a)lfa :
a) Edi = EBi - aP + aK -(n-1)200g
>>b) Edi = EBi + aP - aK -(n-1)200g
c) Edi = EBi + aP - aK -(n-2)200g
d) Edi = EBi + aP - aK +(n-2)200g

40 W modelu (L, IX, d^2G, Bd-t=0) macierz L oznacza:
>>a) wielkości obserwowane
b) przyrosty do współrzędnych
c) odchyłki do obserwacji
d) wielkości modelowe

41 W modelu (L, IX, d^2G, Bd-t=0) macierz X oznacza:
a) wielkości obserwowane
b) przyrosty współrzędnych
c) odchyłki do obserwacji
>>d) wielkości modelowe

42 W modelu (L, IX, d^2G, Bd-t=0) macierz d^2G oznacza:
>>a) macierz kowariancji dla wielkości obserwowanych
b) macierz kowariancji dla wielkości modelowych
c) macierz kowariancji dla współrzędnych punktów
d) macierz wag dla wielkości obserwowanych

43 W modelu (L, IX, d^2G, Bd-t=0) macierz B oznacza:
a) macierz korelacji
>>b) macierz współczynników
c) macierz odchyłek losowych
d) macierz kowariancji

44 W modelu (L, IX, d^2G, Bd-t=0) macierz d oznacza:
a) macierz poprawek do współrzędnych
>>b) macierz odchyłek losowych do wielkości obserwowanych
c) macierz współczynników
d) macierz wielkości obserwowanych

45 W modelu (L, IX, d^2G, Bd-t=0) macierz t oznacza:
a) macierz odchyłek losowych
b) macierz odchyłek losowych w warunkach funkcyjnych
>>c) macierz wyrazów wolnych w warunkach funkcyjnych
d) macierz wielkości obserwowanych

46 W sieci wysokościowej, nawiązanej do dwóch punktów stałych (przyjęte za bezbłędne), oraz trzech
punktów dla których znana jest macierz wariancyjno-kowariancyjna, wyznaczono na podstawie 10 obserwacji wys
kości trzech reperów. Ile wynosi liczba stopni swobody?
a) 2
b) 5
>>c) 7
d) 10

47 Przedział ufności dla wariancji zmiennej losowej X o rozkładzie N(u,sigma), o nieznanych u i sigma i próbie n<50 jest definiowany za pomocą rozkładu:
a) normalnego
b) Studenta
>>c) chi-kwadrat
d) Fishera

48 Jaki jest wzór na odchylenie standardowe średniej arytmetycznej rozkładu z próby o n elementach:
a) sigma n / n-1
b) sigma n / n
>>c) sigma n / pierw(n)
d) sigma n / pierw(n-1)

49 Jaki jest wzór na odchylenie standardowe wariancji rozkładu z próby o n elementach:
a) pierw (1/n-1) x sigman^2
>>b) pierw (2/n-1) x sigman^2
c) pierw (1/n) x sigman^2
d) pierw (1/n-1) x sigman

50 Jakim estymatorem jest średnia arytmetyczna:
a) obciążonym
b) obciążonym i efektywnym
>>c) nieobciążonym i efektywnym
d) nieefektywnym