Zastosowanie Matematyki w Technice  2012/2013, Energetyka, sem. III
przygotował: A
ukasz Hirt
Zad1. Dla funkcji ( ) przedstawionej poniżej oblicz współczynniki , , . W przypadku, gdy
wszystkie współczynniki są niezerowe, wybierz jeden i oblicz jego wartość dla dowolnego , należy
obliczyć w każdym przypadku. W przypadku, gdy jakikolwiek współczynnik będzie się zerował wyjaśnij
dlaczego  bez jego obliczania.
Grupa A  Obliczyć współczynnik , ,
Odpowiedzi
( )
= +
2
A B
1 1
2
1 cos 2 sin 2
= Å" 1 - cos 2
2 2
= Å" - -
( )2
2 2
0
( )
Zad2. Dla funkcji ( ) przedstawionej poniżej oblicz współczynniki , , . W przypadku, gdy
wszystkie współczynniki są niezerowe, wybierz jeden i oblicz jego wartość dla dowolnego , należy
obliczyć w każdym przypadku. W przypadku, gdy jakikolwiek współczynnik będzie się zerował wyjaśnij
dlaczego  bez jego obliczania.
( ) = Å" | | +
- ,
Odpowiedz
:
= Å" +
2
2
) )
= Å" ((-1 - 1
= 0
Zad3. Współczynnik podany w postaci jak poniżej przedstawić w formie, w której da się wyróżnić
część rzeczywistą i urojoną.
= Å"
-
= 3, = 2, = 2, = 5
Odpowiedz
:
2
( )( ) ( ) (-5 )
= - cos 6 + 3 + sin 6 + 3
( )
25 + 9
Zad4. Wyznacz odwrotnÄ… transformatÄ™ Laplace a funkcji ( ).
a)
5 + 14 - 4
( ) =
( + 4)( - 1)
Odp. ( ) = 1 + + 3
b)
3 - 2 + 4
( ) =
( - 1)( + 4)
( ) ( )
Odp. = 2 cos 2 +
c)
4 + 3
( ) =
(2 - 1)
. .
( )
Odp. = + + ( )
d)
4 + 4 + 3
( ) =
( - 2 ( + 2)
)
( )
Odp. = - ( 2 ) + 2 " ( 2 ) +
" " "
Zad5. Dla funkcji czasu f(t) wyznacz transformatÄ™ Laplace a F(s)
ID ( ) ( )
+ 2
1 ( ( ) ( ))
+ sin Å" ( )
+ 1
- 2
2 ( ( ) )
+ e Å" ( )
- 3
7 + 5 + 12 + 4
3 (1 + 2e + 4cos (2t)) Å" ( )
(1 + )( + 4)
+ 2 + 1 +
4 ( + e + ´(t) Å" ( )
)
(1 + )
Zad6. Dana jest zależność w dziedzinie Laplace a:
( ) =
( + !)( + + )
Która w ogólnym przypadku może opisywać transformatę odpowiedzi pewnego układu
dynamicznego, tj.
( ) = ( )
Gdzie = ( ) jest rozwiązaniem określonego równania różniczkowego.
Wiedząc, że wymuszenie dane jest funkcją okresową typu przedstawić równanie
różniczkowe takiego układu.
Proszę poczynić odpowiednie założenia co do:
" Częstości wymuszenia
" Wartości warunków początkowych
Zadania rozwiÄ…zane krok po kroku
Przykład 1. Dla funkcji ( ) przedstawionej poniżej oblicz współczynniki , , . W przypadku, gdy
wszystkie współczynniki są niezerowe, wybierz jeden i oblicz jego wartość dla dowolnego , należy
obliczyć w każdym przypadku. W przypadku, gdy jakikolwiek współczynnik będzie się zerował wyjaśnij
dlaczego  bez jego obliczania.
( ) = Å" +
0,
RozwiÄ…zanie
2
= , =
1 1 1
= f(t)d = Å" + d = Å" d + d =
1 1
= Å" d + d = Å" - 1 +
!
2 2 2
( )
= cos ( ) = Å" + Å" cos =
2 2
= Å" + Å" cos =
2 2 2
2 2 2 hcos +
= Å" cos = Å" Å" =
2
! +
2
Å" hcos 2 + 2 2 =
=
2
Å" ! +
2h Å" cos 2 = 2h
= Å" - 1
2 2
Å" ! + Å" ! +
2 2 2
( )
= sin ( ) = Å" + Å" sin =
2 2
= Å" + Å" sin =
2 2 2
2 2 2 hsin -
= Å" cos = Å" Å" =
2
! +
2
Å" hsin 2 - 2 2 =
=
2
Å" ! +
2 2
2 2
- cos 2 = -
= - 1 =
2 2
Å" ! + Å" ! +
4 4
= - - 1 = - - 1
! + 4
2
Å" ! +
Przykład 2. Wyznaczyć współczynniki oraz dla postaci wykładniczej szeregu Fouriera, dla funkcji
przedstawionej poniżej.
( ) = +
,
RozwiÄ…zanie:
2
= - , =
1 1 1

= = ( + )d = Å" + =
1 1 1 1
( ) - + Å" =
= Å" - + Å" = Å" ( )
1
( ) ( )
= Å" - 1 + Å" = - 1 +
1 1
( ) ( )
= = + =
1
= + =
1
= ( ) + =
1 1
( )

= + =
- + -
1 1
( )

= + =
- + -
1 1
= ( ( )( ) ( ) ) + ( ( )
- - ) =
- + -
1 ( ) ( )
= ( - 1) + ( - 1) =
- + -
1
= ( ( ) - 1) + ( - 1) =
- + -
1
= ( - 1) + ( - 1) =
- + -
( ) ( )
= = cos 2 - 2 = 1
2 2
( ) ( )
= cos - = cos -
= ( - 1) =
- +
( - 1) ( - 1) 1
= = =
- + - +
1 1 +
Å" Å" = Å" Å" Å" =
- + - + +
+
= Å" Å" = Å" Å" +
+
Gdzie
( - 1)
=
=
+
2 2
( )
= Å" cos - + =
2 2 2 2
Å" Å" cos + Å" + Å" cos -
( )
Przykład 3  Oblicz transformatę odwrotną Laplace a dla funkcji = .
( )
RozwiÄ…zanie
- 1 +
( ) = = +
( )
+ 4 + 4
( )
Å" + 4 + + = - 1
Z tego wynika że:
+ = 1
= 0
1
= -
4
Wówczas:
5
= 1 - =
4
- 1 + 1 5 1 1 5 2
( ) = = + = - + = - +
( ) ( ) ( )
+ 4 + 4 4 4 + 2 4 8 + 2
Wówczas:
1( ) 5
( ) - + sin (2 )
=
4 8