TWIERDZENIA O WARTOÅšCI ÅšREDNIEJ
TWIERDZENIE ROLLE A
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedział domknięty a,b oraz istnieje skończona pochodna
'
f w każdym punkcie przedziału otwartego (a,b) , a ponadto wartości na końcach są równe
'
f (a) = f (b) to istnieje takie c "(a,b) , że f (c) = 0
'
Dowód: Jeżeli funkcja f jest stała na a,b to f (x) = 0 dla każdego x "(a,b)
W dalszym ciągu zakładamy, że f osiąga w a,b swoje kresy: wartość największa i
najmniejszą. Ponieważ f (a) = f (b) więc istnieje taki punkt c "(a,b) , że jest w nim
osiągnięta np. wartość największą.
Zatem dla każdego h f (c + h) d" f (c) . Ponieważ :
f (c + h) - f (c)
dla h > 0 , d" 0 oraz
h
f (c + h) - f (c)
dla h < 0 , e" 0
h
f (c + h) - f (c) f (c + h) - f (c)
'
więc f (c) = lim d" 0 oraz fl' (c) = lim e" 0
p
h0+ h0-
h h
' ' '
ze względu na to, że istnieje pochodna f (c) otrzymujemy 0 d" f (c) d" 0 czyli f (c) = 0 .
TWIERDZENIE LAGRANGE A
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedział domknięty a,b oraz istnieje skończona pochodna
' '
f w każdym punkcie przedziału otwartego (a,b) to f (b) - f (a) = f (a +Ń(b - a))(b - a)
gdzie 0 < Ń < 1 , a < a +Ń(b - a) < b
TWIERDZENIE CAUCHY EGO
Jeżeli funkcje f , g są ciągłe na przedział domknięty a,b oraz istnieją skończone
' ' '
pochodne f , g w każdym punkcie przedziału otwartego (a,b) przy czym g (x) `" 0
'
f (b) - f (a) f (a +Ń(b - a))
dla x "(a,b) to = gdzie 0 < Ń < 1
'
g(b) - g(a) g (a +Ń(b - a))
Dowód: Zauważmy, że g(b) - g(a) `" 0 gdyż gdyby g(a) = g(b) to na mocy Tw. Rolla
'
istniałby punkt c "(a,b) taki, że g (c) = 0 co jest sprzeczne z założeniem.
f (b) - f (a)
Rozważmy funkcje pomocniczÄ… F(x) = f (x) - f (a) - Å"(g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Funkcja F spełnia założenia Twierdzenia Roll a gdyż:
1
a) F jest ciągła na a,b
f (b) - f (a)
' '
b) Istnieje F (x) = f (x) - Å" g(x)
g(b) - g(a)
c) F(a) = 0 , F(b) = 0
'
Zatem istnieje takie 0 < Ń < 1 , że F (a +Ń(b - a)) stąd wynika teza.
Uwaga: Twierdzenie Lagrange a otrzymujemy jako wniosek z twierdzenia Cauchy ego
przyjmując, że g(x) = x dla x " a,b
WNIOSKI WYNIKAJ
CE Z TWIERDZEC
O WARTOÅšCI ÅšREDNIEJ
'
1) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedział domknięty a,b oraz pochodna f zeruje
się na przedziale (a,b) to funkcja f jest stała.
Dowód: Oznaczmy przez x0 , x0 + h dowolny punkt a,b , na mocy twierdzenia
f (x0 + h) - f (x0 )
'
Lagrange a mamy, = f (x0 + Ńh) , h `" 0
h
Stąd f (x0 + h) = f (x0 ) . Czyli funkcja f jest stała na a,b .
2) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedział domknięty a,b oraz istnieje skończona
'
pochodna f wszędzie w (a,b) dodatnie (ujemne) to funkcja f jest rosnąca
(malejÄ…ca) w przedziale a,b .
Dowód: Jeżeli x0 , x0 + h , h > 0 są dowolnymi punktami przedziału a,b to z
f (x0 + h) - f (x0 )
'
twierdzenia Lagrange a wynika, że = f (x0 + Ńh)
h
' '
f (x0 + h) - f (x0 ) = h Å" f (x0 + Ńh) > 0 gdy f jest dodatnie na (a,b).
Czyli f (x0 + h) > f (x0 ) funkcja f jest rosnÄ…ca na a,b .
2