Algebra liniowa IS
Egzamin 10.02.2010, drugi termin
1. Podać definicję grupy i ciała
Niech S := {(t, 2t) : t " R}, S zawiera więc pary liczb rzeczywistych.
Działanie " między elementami S (x1, y1) i (x2, y2) zdefiniowane jest przez
(x1, y1)"(x2, y2) = (x1+x2, y1y2). Pokzazać, że (S, ") jest grupę przemien-
nÄ….
2. Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzie-
lenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omó-
wić znajdowanie pierwiastków liczb zespolonych.
(a) Przedstawić w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrażenie
"
( 3 - i)10
(1 - i)6
(b) Znalez
ć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby i. Wynik po-
dać w postaci algebraicznej.
3. Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Czy zbiór wek-
torów postaci (v + t, t - u, 2v + t + u), gdzie v, t, i u są liczbami rze-
czywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R3. Jaki jest jej
wymiar? Podać przekład wektorów bazowych dla tej podprzestrzeni. Za-
pisać tą podprzestrzeń w postaci V = (x, y, z) " ax + by + cz + d = 0 z
odpowiednio dobranymi a, b, c i d.
4. W bazie {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} wektro ma wspórzędne (1, 2, 3). Sprawdz
,
czy zbiór wektorów {(0, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, -1)} jest bazą i, jeżeli tak, zna-
lez
ć współrzedne podanego wektora w nowej bazie.

5. Podać definicję przekształcenia liniowego A : V V , jądra przekształce-
nia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Pokazać, że jądro prze-
kształcenia liniowego jest podprzestrzenią V , a obraz podprzestrzenią w

V .
6. Niech f : (x1, x2, x3, x4) " R4 (x1 + x3, x2 + x4) " R2. Wyznaczyć
macierz odwzorowania w bazie kanonicznej. Wyznaczyć jądro i obraz od-
wzorowania (podać wymiary i bazy Ker f, i Im f. Znalez
ć rząd odwzo-
rowania. Jaka relacja wiąże rząd odwzorowania f z dim Ker f?
7. Znajdz
macierz przekształcenia f : R4 R2 danego przez f(x, y, z, t) =
(x+3y-2z, z-y+x-t) w bazach odpowiednio {(2, 0, 1, 0), (-1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, -1, 2, 3)}
i {(1, 1), (1, 0)}.
8. Co to jest rzÄ…d macierzy? Znalez
ć rząd macierzy.
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 4
ïÅ‚ śł
1 -1 1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 1 -1
1 -1 3
1
9. Znalez
ć macierz odwrotną do
îÅ‚ Å‚Å‚
0 -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 2 -1
2 -1 0
10. Znalez
ć wyznacznik macierzy o wymiarze n × n (n 2)


a -b 0 · · · 0 0


0 a -b · · · 0 0


0 0 a · · · 0 0


. . . . .
.
. . . . . .

.
. . . . .


0 0 0 · · · a -b


-b 0 0 · · · 0 a
11. Rozwiązać układ równań korzystając z metody eliminacji Gaussa
x + 2y + 3z = 6
2x + 3y + z = 6
3x + 2y + z = 6
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
12. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy 0 1 0 i sprawdzić,czy
1 0 1
wektory własne są ortogonalne.
13. Metodą Grama-Schmidta utworzyć zbiór ortonormalny wektorów ze zbio-
ru x1, x2, x3, gdzie
x1 = (1, 1, 1), x2 = (1, 1, -1), x3 = (2, 1, 1)
.
2