WYPUKA
OŚĆ ORAZ WKL
SA
OŚĆ FUNKCJI
Twierdzenie 4
'
Niech funkcja f będzie określona na (a,b) oraz posiada skończoną pochodną f na (a,b).
Na to by funkcja f była wypukła (*") lub wklęsła ()") na (a,b) potrzeba i wystarcza, by
"" ""
" f (x) e" 0 (*") " f (x) d" 0 ()")
x"(a,b) x"(a,b)
Definicja: Mówimy, że punkt P = P(x0 , f (x0 )) jest punktem przegięcia krzywej y = f (x) ,
która jest wykresem funkcji ciągłej y = f (x) , jeżeli w punkcie x0 zmienia się charakter
wypukłości funkcji f . Tzn. w x0 funkcja f z wypukłej staje się wklęsła i na odwrót.
Uwaga: Jeżeli w otoczeniu punktu x0 "(a,b) dla funkcji f : (a,b) ! , która posiada
"" "" ""
skończoną pochodną f (x ) , w tym otoczeniu f (x0 ) = 0 , zmienia się znak f (x ) to w
x0 istnieje punkt przegięcia wykresu funkcji f .
Uwaga:Niech funkcja f bÄ™dzie okreÅ›lona na niepustym podzbiorze X ‚" ! = {- ",+"}
Obok punktów zbioru X , w którym funkcja f posiada maksimum lokalne lub minimum
lokalne, mogą w dziedzinie X , istnieć punkty, w których funkcja f przyjmuje wartość
najmniejszą lub wartość największą.
ASYMPTOTY Niech bÄ™dzie dana krzywa y = f (x) , okreÅ›lona i ciÄ…gÅ‚a na x " X ‚" ! o
wartościach rzeczywistych.
Jeżeli odległość punktu krzywej od pewnej prostej dąży do zera, oraz jest różna od zera przy
- +
oddalaniu siÄ™ punktu do + " lub - " tzn. przy x +"(-") lub przy x x0 (x x0 ) to
prosta ta nazywa siÄ™ asymptotÄ… krzywej y = f (x) .
RODZAJE ASYMPTOT
a) na to by przy x +"(-") prosta y = b była asymptotą krzywej ciągłej y = f (x) ,
potrzeba i wystarcza, by granica lim f (x) - b = 0 oraz f (x) `" b co jest równoznaczne
xÄ…"
warunkowi lim f (x) = b oraz f (x) `" b
xÄ…"
Wtedy prosta y = b nazywamy asymptotÄ… poziomÄ… krzywej y = f (x) x " X
b) niech funkcja rzeczywista f będzie określona w pewnym otoczeniu
x0 " ! (x0 - ´ , x0 + ´ ), ´ > 0 z wyjÄ…tkiem x0
lub w przedziale (x0 - ´ , x0 )
lub w przedziale (x0 , x0 + ´ )
Mówimy, że krzywa y = f (x) ma asymptotę pionową x = x0 gdy:
lim f (x) = +" lub lim f (x) = -"
xx0 xx0
lewostronnÄ… asymptotÄ™ pionowÄ…
lim f (x) = +" lub lim f (x) = -"
- -
xx0 xx0
prawostronnÄ… asymptotÄ™ pionowÄ…
lim f (x) = +" lub lim f (x) = -"
+ +
xx0 xx0
Krzywa y = loga x ma asymptotÄ™ pionowÄ… x=0 . Jest to asymptota
prawostronna.
c) niech funkcja rzeczywista f będzie określona dla x > x0 x < x0 x0 " !
Mówimy, że prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną krzywej y = f (x) przy x +"
x -" gdy: lim ( f (x)- ax - b) = 0 x > x0 , lim ( f (x)- ax - b) = 0 x < x0
x+" x-"
Oraz f (x) `" ax + b x > x0 , f (x) `" ax + b x < x0
Twierdzenie 1
Niech funkcja rzeczywista f będzie określona dla x > x0 x0 " ! .
Prosta y = ax + b jest ASYMPTOT
UKOÅšN
krzywej y = f (x) przy x +" wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica
f (x)
lim = a oraz lim ( f (x)- ax) = b
x+" x+"
x
Uwaga: Twierdzenie to zachodzi również gdy, x -" x < x0