Zadania.
1. Prosz¸ obliczyć pola zbiorów ograniczonych nast¸ ¸ krzywymi:
e epujacymi
a) y2 = 2x, y = x,
b) y = x3 + x2 - 2x, y = 0, x " (-2, 2),
c) y = x2, y2 = x,
d) y = x3, y = 4x,
e) y = x2 - x - 6, y = -x2 + 5x + 14,
f) y2 = 8x, 8y = x2,
g) y = x2, 2x - y + 3 = 0,
h) y = x2, 2y = x2, y = 3x,
i) y = 2x - x2, x + y = 0,
j) xy = 4, x + y = 5,
k) y = xe-2x, x " (0, 1/2),
l) y = x sin (4x), x " (0, 1/8Ä„).
2. Prosz¸ rozwiazać nast¸ ace równania różniczkowe:
e ¸ epuj¸
a) y = (2x + y - 3)2 - 4x - 2y + 5,
b) y = x + y + 3,
c) y = 5x - 3y + 7,
4
d) y = ,
(x+y)2
e) xy = x + y,
f) x + y + xy = 0,
g) (x + y)y - y = 0,
h) y + 2y = x2,
i) y + y = 5 sin (3x),
j) y + 2y = 25x2ex,
k) y - 4y + 4y = 8x3 - 36x,
l) y + 4y = sin (2x),
m) y + 9y = x cos x.
3. Prosz¸ obliczyć pochodne cz¸ do rz¸ drugiego nast¸ ¸ funkcji:
e astkowe edu epujacych
a) f(x, y) = xy3 - x sin y,
b) f(x, y) = exy - tan xy,
x
c) f(x, y) = ,
y
3
d) f(x, y) = ex-y sin (x - y),
x3y
e) f(x, y) = xy - ,
x-y
f) f(x, y) = arcsin (x + y).
1
2
Odpowiedzi:
1.
2 37 1 243 64 32 27 9 15 1 e-1 1
a) , b) , c) , d) 8, e) , f) , g) , h) , i) , j) - 8 ln 2, k) - , l) .
3 6 3 3 3 3 2 2 2 4 2 16
2.
1
a) podstawienie: u = 2x + y - 3, odp. y = -2x + 4 - ,
x+C
b) podstawienie: u = x + y, odp. y = Cex - x - 4,
5-eC-3x
c) podstawienie: u = 5x - 3y, odp. 5x - 3y + 7 = ,
2
1
d) podstawienie: u = x + y, odp. x + y = 2 tan (C + y),
2
y
e) podstawienie: u = , odp. y = x ln |x| + Cx,
x
y
C-x2
f) podstawienie: u = , odp. y = ,
x 2xx
y
g) podstawienie: u = , odp. y = Cey ,
x
h) rozwiazania szukać postaci: y = ax2 + bx + c,
¸
i) rozwiazania szukać postaci: y = a cos (3x) + b sin (3x),
¸
j) rozwiazania szukać postaci: y = (ax2 + bx + c)ex,
¸
k) rozwiazać najpierw równanie jednorodne, a potem szukać rozwiazania szczególnego równania
¸ ¸
niejednorodnego w postaci: y = ax3 + bx2 + cx + d,
l) rozwiazać najpierw równanie jednorodne, a potem szukać rozwiazania szczególnego równania
¸ ¸
niejednorodnego w postaci: y = a sin (2x) + b cos (2x),
m) rozwiazać najpierw równanie jednorodne, a potem szukać rozwiazania szczególnego równania
¸ ¸
niejednorodnego w postaci: y = (ax + b) sin x + (cx + d) cos x.