[e-mail]
Wydz. Inżynierii Środowiska
Politechniki Warszawskiej
hasło: 2011wmimb
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW I MECHANIKA BUDOWLI
Wykład 4
Więzy nieidealne, tarcie
1. Tarcie poślizgowe - definicja, podział, prawa tarcia, modele tarcia
2. Tarcie toczne - definicja, podział, prawa tarcia
3. Analiza stanu równowagi granicznej układów z tarciem
Opracowanie : dr inż. Szymon Imiełowski
prof. Zbigniew Kowalewski
1
Więzy nieidealne, tarcie
W przypadku gdy więzy nie są powierzchniami idealnie gładkimi (więzy nieidealne), z więzami
stowarzyszona jest składowa styczna siły reakcji - siła tarcia.
Podstawowe przypadki tarcia
- tarcie poślizgowe
- tarcie toczne
- tarcie cięgiem o krążek
F1 `" F2
2
Tarcie Poślizgowe
µ2
µ1
Q - ciężar
- siła zewnętrzna
F
P = F +Q - wypadkowa sił czynnych
- wypadkowa sił reakcji
R = T + N
N - składowa normalna siły nacisku równa sile reakcji w przypadku więzów idealnych
- siła tarcia poślizgowego, jest opisana wektorem stycznym do powierzchni więzów
T
üÅ‚
X2 = N -Q = 0, N = Q
"
ôÅ‚
= P - R = 0
"µ1
żł
X1 = F -T = 0, T = F (*)
ôÅ‚
"
þÅ‚
3
Typy tarcia poślizgowego
" Tarcie suche:
występuje w przypadku, gdy powierzchnie trące stykają się ze sobą bez pośrednictwa
rozdzielającej jej warstwy smarów
" Tarcie płynne:
występuje w przypadku, gdy pomiędzy stykającymi się ciałami znajduje się warstwa smaru
(ciecz)
" Tarcie półpłynne:
jest przypadkiem pośrednim między wyżej wymienionymi typami tarcia poślizgowego
4
Podział tarcia poślizgowego ze względu na możliwość ruchu ciał
v
Analiza zachowania ciała przy wzrastającej wartości siły zewnętrznej F
R
N
1. Tarcie statyczne  ciało pozostaje w spoczynku
F
T
siła tarcia statycznego równoważy składową styczną obciążenia,
T
P
Q
przeciwdziała możliwemu ruchowi ciała;
jej zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora możliwego przesunięcia;
jej wartość i wartość graniczna zależą od aktualnej wartości obciążenia i rodzaju podłoża
fS - jest wyznaczanym doświadczalnie
0 < T d" Tgr = fsN
współczynnikiem tarcia statycznego
2. Tarcie kinetyczne  ciało porusza się
siła tarcia przyjmuje stała wartość równą fk - jest wyznaczalnym doświadczalnie
współczynnikiem tarcia kinetycznego
T = Tgr = fk N
zwrot wektora siły tarcia kinetycznego jest przeciwnym do zwrotu wektora prędkości
Założenie: Wartości współczynników tarcia fs i fk zależą tylko od rodzaju powierzchni tnących,
nie zależą od: wartości siły nacisku N;
wielkości powierzchni trących;
prędkości poślizgu; 5
Prawa tarcia - określają wartość siły tarcia statycznego i kinetycznego
1. Więzy punktowe
0 d" T d" Tgr = fsN
a) Siła tarcia statycznego
równanie jest również warunkiem stanu równowagi (spoczynku) ciała
T = Tgr = fk N
b) Siła tarcia kinetycznego występuje podczas ruchu ciała
gdzie: fS, fK  współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego, N  siła nacisku
2. Więzy ciągłe (powierzchniowe lub liniowe)
- Siły tarcia są siłami ciągłymi o intensywności t.
- Prawa tarcia mają postać:
0 d" t d" tgr = fsn
tarcie statyczne
tarcie kinetyczne
t = tgr = fk n
gdzie: n  intesywność (gęstość) sił nacisku [ N / m ]
t - intesywność (gęstość) sił tarcia [ N / m ]
6
Przypadek rozwiniętej siły tarcia
N i T są składowymi siły R,
R
wypadkowej siły tarcia
N R
N
Ä…
v
T
T
üÅ‚
T
tg Ä… =
ôÅ‚
Ò! f = tg Ä…
N
żł
Ä„
ôÅ‚
T = fN
þÅ‚
- Miejscem geometrycznym położeń reakcji R w granicznym położeniu równowagi jest pole powierzchni
bocznej stożka zwanego stożkiem tarcia,
- W przypadku gdy reakcja R znajduje się wewnątrz stożka tarcia mamy zachowany stan równowagi,
- Gdy natomiast reakcja R leży na powierzchni bocznej stożka tarcia otrzymujemy graniczny przypadek
równowagi.
7
Modele tarcia poślizgowego
1. Stała wartość współczynnika tarcia - w przypadku, gdy ciała są nieruchome (tarcie statyczne)
oraz w ruchu przypadek a) i b)
2. Współczynnik tarcia zmienia się i zależy od prędkości względnego przemieszczenia się ciał,
gdy ciała przesuwają się względem siebie (tarcie kinetyczne)  przypadek c)
a) b)
c)
8
Tarcie toczne
Siła tarcia tocznego T występuje podczas toczenia bryły po powierzchni (bryle)
" Wektor siły jest równoległy do wektora prędkości, zwrot przeciwny
" T powoduje odchylenie od kierunku prostopadłego wektora reakcji
v
" przy modelu idealnie sztywnego podloża nie jest spełnione równanie równowagi:
X2 = N -Q = 0
"
X1 = F -T = 0
"
= Tr `" 0
"MA
" dlatego w analizie uwzględnia się odkształcalność podłoża poprzez przesunięcie wektora
siły reakcji o odcinek  k
9
" długość odcinka k [m] jest nazywana współczynnikiem tarcia tocznego
Tarcie toczne
v
 siły tarcia tocznego  analiza styczna (spoczynek)
" zwiększenie obciążenia powoduje zwiększenie wartości siły tarcia
F T
" koło pozostaje w spoczynku dopóki
T < TGR
" mimośród przyłożenia siły AA wzrasta, aż osiągnie wielkość graniczną k [m]
 siły tarcia tocznego  analiza kinematyczna (toczenie)
" wartość siły tarcia T i współczynnika tarcia k są stałe
10
Tarcie toczne
X1 = F -Tk = 0 , X2 = N -Q = 0
" "
k
= Tkr - Nk = 0 , Tk = N
"MA
r
Opór toczenia jest wprost proporcjonalny do współczynnika tarcia k oraz odwrotnie proporcjonalny
do promienia koła r .
Uwaga: Analogicznie rozważania można prowadzić w przypadku
obciążenia momentem skupionym
(momentem napędowym M) zaczepionym w środku koła
11
Przypadki szczególne tarcia
Uwaga 1.
Siła tarcia poślizgowego jako składowa reakcji wewnętrznej
Możliwość ruchu krążka powoduje, że w miejscu kontaktu powstaje
składowa styczna reakcji wewnętrznej  siła tarcia
12
Przypadki szczególne tarcia
Uwaga 2.
Stan równowagi granicznej rozumiemy jako stan przejścia z położenia równowagi do stanu
ruchu może być osiągnięty wskutek:
- osiągnięcie przez siły tarcia wartości granicznej (warunek statyczny)
T d" T
gr
- utratę stateczności (warunek geometryczny)
gdy pion wyprowadzimy ze środka ciężkości bryły sztywnej wychodzi poza pole
powierzchni podstawy
a
tgÄ… =
Qsin Ä… = Tgr = fsN
b
13
Przypadki szczególne tarcia
Uwaga 3. W zadaniach statystyki, w których uwzględniono siły tarcia, stan równowagi jest możliwy gdy
siły tarcia T d" Tgr - układ jest stacjonarny (nie ma możliwości ruchu) . Jest to możliwe gdy
a) obciążenie Q nie przekracza wartości granicznej Qmin < Q < Qmax
b) nachylenie równi pochyłej ą nie przekracza wartości granicznej ąmin < ą < ąmax
(w ogólnym przypadku ą jest parametrem geometrycznym opisującym położenie układu)
Ad a) obciążenie Q wzrasta od zera ale nie przekracza wartości granicznej 0 < Q < Qmax
Etap 1. Położenie równowagi gdy T = Qsiną < Tgr 2 r.r.
SN = LNS  LRR = 2  2 = 0 .
Etap 2. Stan graniczny dla Q = Qgr oraz T = Qsiną = Tgr . Należy
uwzględnić dodatkowe równanie, prawo tarcia (PT). Gdy T > Tgr
ciężarek zsuwa się po równi (układ geometrycznie zmienny)
2 r.r. + prawo tarcia
SN = LNS  (LRR+PT) = 2  (2+1) = -1 .
Aby rozwiązać zadanie do niewiadomych statycznych należy
dodać 1 parametr geometryczny (LNG) kąt ą wtedy :
2 niewiadome statyczne:T N - ?
,
SN = (LNS+LNG)  (LRR+PT) = (2+1) - 3 = 0 .
14
Przypadki szczególne tarcia
Ad b) kąt ą wzrasta ale nie przekracza wartości granicznej O d" ą d" ągr
Ä… Ä… Ä…
Ä… Ä… Ä…
Ä… Ä… Ä…
Siły tarcia występują w punktach A i B : TA i TB .
Etap 1. Położenie równowagi gdy obydwie siły tarcia
T < Tgr 3 r.r (płaski dowolny uklad sił),
SN = LNS  LRR = 4  3 = 1 ,
układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Etap 2. Jedna z sił tarcia osiągnie wartość graniczną TA = Tgr
lub TA = Tgr . Należy uwzględnić jedno dodatkowe równanie,
prawo tarcia (PT), wtedy układ jest statycznie wyznaczalny
4 niewiadome statyczne:
SN = LNS  (LRR+PT) = 4  (3+1) = 0 .
RA,RB,TA,TB - ?
Etap 3. Obydwie siły tarcia osiągną wartość graniczną dla ą = ągr . Należy uwzględnić dwa
dodatkowe równania prawa tarcia. Dla ą > ągr pręt zsuwa się (układ geometrycznie zmienny)
3 r.r + 2 prawa tarcia SN = LNS  (LRR+PT) = 4 - ( 3 + 2) = -1 .
Aby rozwiązać zadanie do niewiadomych należy dodać 1 parametr geometryczny kąt ą wtedy :
SN = (LNS+LNG)  (LRR+PT) = (4+1) - (3+2) = 0 .
15
Przypadki szczególne tarcia
Wniosek :
Przy określaniu stopnia statycznej niewyznaczalności równanie prawa tarcia może
być uwzględnione jako dodatkowe równanie równowagi w przypadku
- zadań statyki przy określaniu stanu granicznego równowagi
- zadań dynamiki przy uwzględnieniu rozwiniętej siły tarcia kinetycznego
16