Szeregi Fouriera Next: Przekształcenia całkowe Up: Zadania z matematyki dla Previous: Równania różniczkowe   Contents Szeregi Fouriera Znajdź iloczyny skalarne funkcji , gdzie
(a)
(b) .

Dlaczego odwzorowanie
nie jest normą gdy jest zbiorem
funkcji R-całkowalnych w przedziale , a jest normą gdy
?

Oblicz normy kwadratowe funkcji

i odległości kwadratowe pomiędzy
a , w przedziale .

Wykaż, że ciąg funkcyjny w przedziale jest
zbieżny przeciętnie z kwadratem do każdej z funkcji:
Skomentuj!

Rozwiń w szereg Fouriera funkcje:


Rozwiń funkcję

(i) w szereg kosinusów w przedziale
(ii) w szereg sinusów w przedziale
(iii) w szereg Fouriera w przedziale Narysuj wykresy funkcji i wykresy sum ich szeregów Fouriera.
Korzystając z otrzymanych wyników oblicz sumy szeregów:

,

.

Znajdź wielomian stopnia taki, aby
(przy dowolnie ustalonych i )
dla dowolnego wielomianu stopnia niższego
niż zachodziła równość
Wskazówka: Potraktuj wielomian jako pochodną rzędu
pewnego wielomianu stopnia spełniającego warunki:


Udowodnij, że ciąg wielomianów Legendre'a
jest układem ortogonalnym funkcji w przedziale . Wskazówka: Skorzystaj z zadania poprzedniego.
Next: Przekształcenia całkowe Up: Zadania z matematyki dla Previous: Równania różniczkowe   Contents