101 ż�
Płynący w obwodzie prąd o chwilowej wartości natężenia i(t) wywołuje

na każdym opo e odpowiedni spadek napięcia.
ć w i c z e n i e 10
Na rezystancji R spadek napięcia zgodnie z prawem Ohma wynosi
(10.1)
uR = Ri.
DRGANIA W L IOWYCH OBWODACH ELEKTRYCZNYCH.
Spadek napięcia na cewce zależy od prędkośCi zmian prądu
ANALOG ELEKTROMECHANICZNE
di
= (10.2)
UL L
.
dt
Celem ćwiczenia jest wykazanie podobieństwa pewnych cech układów
mechanicznych i elektrycznych oraz przedstawienie możliwości modelowania Spadek napięcia na kondensatorze jest
dynamicznych układów mechanicznych p ez odpowiednio dobrane obwody
elektryczne.
u = ' (10.3)
c C
W ćwiczeniu na prostym p ykładzie omówiono sposób wykorzystania
elektrycznego obwodu rezonansowego w badaniu drg mechanicznych.
gdzie:
'I"
q(t) - zmienny w czasie ładunek elektryczny na płytkach kondensatora.
t
.
I
hw"ową w tość natężenia prądu możemy przedstawić jako prędkość
ż�
I
10.1. Wprowadzenie teoretyc e zmian ładunku
I
z -. (IOA)
=
dt
Analogia obejmuje wiele zjawisk zachodzących w przyrodzie. Podstawą
teorii alogii jest stwierdzenie, że przebiegami różnych zjawisk rządzą po�
A ż�tem, gromadzący się na płytkach kondensatora ładunek jest określany
dobne prawa. OznacZa to, że zjawiska te mogą być opisane matematycznie
następującą całką
identycznymi równaniami algebraicznymi, trygonometrycznymi, różniczkowy�
mi lub innymi.
(10.5)
q = Jidt.
Wez
my pod uwagę obwód elektryczny składający się ze z
ródła prądu
zmiennego o sile elektromotorycznej E(t) = Eos vt, o amplitudzie Eo
i częstości v, opo ika o rezystancji R, cewki o indukcyjności L oraz kon�
Zgodż�ie z ?rugim prawem Kirchhoffa suma spadków napięć na elementach
.
densatora, którego pojemność jest równa C. Wszystkie elementy obwodu są
obwodu Jest równa sile elektromotorycznej z
ródła
połączone szeregowo (rys. 10.1). Obwód taki nazywamy szeregowym obwo�
dem rezonansowym.
(10.6)
Uwzględniając zależności (10.1), (10.2), (10.3) oraz (10.5), otrzymujemy
równanie różniczkowe
I
di
( 0.7)
L- + 1+-Jl t = Eo s vt 1
R' �d
dt
C
[
opisujące zmiany prądu w obwodzie.
Wyko ystując związek między natężeniem prądu i ładunkiem (10A),
Ue
wprowadzamy do równania (10.7) zmienną q(t) zamiast i(t). Wówczas
Rys. lO. l. Szeregowy obw rezonansowy
103
102
Wyko ystując zależność między napIęciem u(t) a st mieniem magnety�
cznym (t) cewki
vt
= Eos .
Ld2q +Rdq + q
d
dt2
(10.14)
u =
'
Jest to równanie różniczkowe przedstawiające zmiany ładunku w funkcji
. czasu w szeregowym obwodzie rezonansowym.
możemy równaniu (10.13) nadać postać
.
+ d +
(10.15)
I
= osmvt.
ie
dt L
dt2 R
iR
Jest to równanie ró iczkowe opisujące zmiany st mienia magnetycznego
L w funkcji czasu, w równoległym obwodzie rezonansowym.
i (II = losinż�t
P eanalizujmy teraz ch liniowego układu
mechanicznego o jednym stopniu swobody,
którego schemat pokazano na rys. 10.3. Układ
ten stanowi ciało o masie m, zawieszone na
sprężynie o sztywności k. Siły opo reprezentu�
je tłumik wiskotyczny scharakteryzowany stalą
Rys. 10.2. Równoległy obwód rezonansowy
tłumienia c.
Oprócz siły restytucyjnej i siły tłumienia
Jeżeli te same elementy, tzn. kondensator o pojemności C, opo ik o rezy-
niech na ciało działa okresowo zmienna siła
, ,
stancji R oraz cewkę o indukcyjności L pOłączymy równ?legle ze zrodłem
wymuszająca p = Pos vt o amplitudzie Po
.
=
prądu zmiennego i(t) lo sin vt (rys. 10.2), to zgodme z pIerwszym prawem Rys. 10.3. Schemat układu
i częstości v.
mechanicznego
Kirchhoffa otrzymamy zależność
Różniczkowe równanie chu rozważanego
układu ma postać
(10.16)
mx+ci+kx Pos vt,
gdzie:
x - wychylenie układu z położenia równowagi.
=
i c
Porównując równania (l0.8), (10.15) oraz (10.16), możemy stwierdzić, że
zmiany ładunku w szeregowym obwodzie rezonansowym oraz zmiany
q(t)
u
(10.11)
st mienia magnetycznego (t) w równoległym obwodzie rezonansowym są
R'
opisane matematycznie identycznymi równaniami różniczkowymi, jak prze�
mieszczenia x(t) ciała w przedstawionym układzie mechanicznym. Jest to
ąfudt. dowód na podobieństwo omówionych zjawisk elektrycznych i mechanicznych.
A zatem, między parametrami charakteryzującymi układ mechaniczny, takimi ż�
jak masa, stala lłumienia i stała sprężystości, a parametrami odpowiedniego
Podstawiając powyższe zwi zki do wa nku (10.9), otrzymujemy równanie
układu elektrycznego w postaci indukcyjności, rezystancji i pojemności, wy�
zmian napięcia
stępuje ścisła odpowiedniość. Zestawienie wielkości mechanicznych i odpo�
wiadających im wielkości elektrycznych podano w tabl. LO.l .
Wiemy, że rozwiązaniem równania drgań wymuszonych układu o jednym
dt R L
stopniu swobody (10.16) jest funkcja okresowa
\
105
Tab I iea 10.1
zatem wielkości te możemy przedstawić jako
Wielkości mechaniczne i ich odpowiedniki elektryczne
wektory o długości równej amplitudzie prędkości v
Drgania elekt oraz amplitudzie przysp!eszenia v2 x ' obrócone
o
D ania m an e
w stosunku do wektora X odpowiednio o 90
o
szeregowy wód rez anso ró ob z ansowy
.\
i 1800 w kierunku ruchu. Na rys. 10.4 wektory te
elko o aczenie elkość oznaczenie e ość o aczenie
I
zaznaczono liniami prZerywanymi.
strumień e-
Siły w układzie są rep zentowane więc nastę�
enie x ładunek q = fldt - f udt
t:-pIrf pującymi wektorami:
siła sprężystości - wektor przeciwny do wy-
d
v. dx natężenie prądu
ż�
Prędkość I pi ie Uż�-
chylenia. o module równym amplitudzie tej siły
dt dt dt
kx '
o
ż� I
siła tłumienia - wektor przeciwny do prędko-
prę ość zm n
ż� x
dv d2 prędkość zmian du d2
= Ry s. 10.4. Wektory sil działa-
P ysp szen
ści, O module równym cvx '
dt prądu dt pięcia " o
dt2 dt2
jących w układzie mecha-
siła bezwładności - wektor przeciwny do nieznym
przyspieszenia, o module równym mv2 xo'
Masa m indukcyjność L j ść C ż�i
l
Siła wymuszająca P s vtwyp d przemieszczenie x = x s (vt-9)
o o
I o dodatni kąt 8. Na rys. 10.4 wektory sił z naczono liniami ciągłymi.
1
-
Sta t m ia C rezysta ja R prze no
R Zg nie z zasadą d' Alemberta suma wszystkich sił zewnętrznych i sił
bezwładności musi być w każdej chwili równa zeru. Rzutując wektory sił na
Sta sprętysto- odwrotność - tnoŚĆ I
1
kierunek pionowy i poziomy, ot ymujemy równania
k
ś jemności duk jno
xo - mv2x
k o - Po 9 = o:)
sż�a elektromo�
natężenie
(l 0.20)
Si u aląca Posłnvt 
slnvt slnvt
loryczna prądu
cvxo-Pos 8 = O.
(10.17)
x = Xo s (vt - 8),
Z równań tych możemy wyznaczyć stałe i 8.
Po przekształceniach o zymujemy wyrażenie na amplitudę drgań
gdzie:
X amplituda drgań ciała o masie (m) .
o -
8 - kąt przesunięcia fazowego między siłą wymuszającą a przemiesz�
czeniem x. (10.2 1)
Rozwiązanie to p edstawia drgania harmoniczne o częstości v, a zatem
wszystkie siły występujące w równaniu (10.16) zmieniają się harmoriicznie.
Wykorzystując wektorową interpretację drgań, siły działające w układzie
oraz wyrażenie określające kąt przesunięcia fazowego
mechanicznym możemy przedstawić za pomocą wektorów obracających się
z flrędkością kątową równą częstości wymuszenia v (rys. 10.4)_
cv
=
Wychylenie jest reprezentowane przez wektor o wartości równej amplitu-
tg 8
(10.22)
k-mv2
dzie X skierowany pionowo w górę. Ponieważ prędkość przyspieszenie
o
układu są określane równaniami
gdzie:
(10_18)
i = vXo cos(vt - 8),
c
h - względny współczynnik tłumienia; h
(10.19) 2m'
x = -v2xo s (vt - 8),
m
107
Zmiany amplitudy zależnie od częstości siły wymuszającej, dla różnych
Xo
=
'
wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia y h/wo' ilustruje wy�
y= -
I; Po
kres krzywych rezonans,
(rys, 10.5).
T
Otrzymane rozwiązanie i jego , aliza są słuszne również w odniesieniu do
5,0
różniczkowych równa,
zmi ,ładunku w szeregowym obwodzie rezonanso�
w
ym oraz zmi strumienia magnetycznego w obw zie równoległym.
W matematycznym opisie porównyw ych zjawisk zmieniają się jedynie para�
'i
4
,5
metry - zależne od różnych wielkości fizycznych. Korzystając z tab!. 10.1.
Wo możemy z łatwością p ejść od jednego przypadku drg do drugiego.
!
Przykładowo p alizujmy zmiany ładunku w szeregowym obwodzie
I
rezonansowym. Na rys. 10.6 przedstawiono wektorowy wykres spadków na�
-I
,0
4
I
pięć. A
adunek elektryczny, zmieniający się wg równania
I
(10.23)
q = % s (vt - a),
I
-'
1
jest reprezentowany pionowym' wektorem skierowanym w górę, o wartości
= 15 I
;
równej amplitudzie ładunku %. Pozostałe wektory oznaczają amplitudy spad�
ków napięć odpowiednio na: pojemności - wektor (l/C)%. rezystancji _
wektor Rv%. indukcyjności - Lv2%. oraz siłę elektromotoryczną z
ródła
3,0
o amplitudzie Eo przesuniętą o dodatni kąt a w stosunku do ładunku .
. 1
Porównując wykresy wektorowe sił (rys. 10.4)
I
I i napięć (rys . 10.6), możemy stwierdzić, że sile
2,5 sprężystości w układzie mechanicznym odpowia�
I
da w szeregowym obwodzie rezon sowym spa�
i
dek napięcia na kondensato e o pojemności C,
sile tłumienia - spadek napięcia na oporniku o
l::
2,0
rezystancji R, a sile bezwładności - spadek
=
25
napięcia na cewce o indukcyjności L.
" ___
.
Amplitudę ładunku określamy analogicznie jak
qo
amplitudę przemieszczenia daną równaniem
=O,5

(10.21)
I
l
[qo
(10.24)
Rys. 10.6. Wektorowy wykres
1,0
napi w szeregowym obw zie
rezonasowym

Ponieważ jest i = %vc (vt - a), zatem mnożąc obie strony zależności
0 (10.24) p ez częstość v. otrzymujemy wyrażenie określające amplitudę natę-
,5
żenia prądu
(10.25)
5
2,0 2,
5
Rys. 10,5. Krzywe rezonansowe układu m hanicznego
108
109
Wielkość występującą w mianowniku równania (10.25) nazwano impedan�
cją (oporem pozo ym). Impedancja stanowi wypadkowy opór szeregowego
l
=
(Uo)
Ku
połączenia elementów R, L, C. Obliczamy ją, sumując geome ycznie rezys�
o
'
tancję R oraz różnicę reaktancji pojemnościowej i indukcyjnej. Należy dodać, R
że jestżnane również pojęcie impedancji mechanicznej, którą de iuje się
jako stosunek si działającej na punkt 'materialny do prędkości teg punktu.
(U amplituda napięcia zmie ona na ekranie oscyloskopu [mm],
Analizując zwi i (10.24) i (10.25), stwierdzamy, że rezonans amplitudy
podziałka napięcia
ładunku oraz amplitudy prądu w obwodzie występuje, gdy reaktancja pojem�
Uo
nościowa jest równa reaktancji indukcyjnej (p y rezonansie amplitudy ładun�
ku pomijamy wpływ rezystancji na częstość rezonansową)
R - rezystancja [O].
(10.26)
= Lv.
vC
� �
" "
Wówczas impedancja ma wartość minimalną równą rezyst cji obwodu,
D
" "
@ 00
a ładunek oraz natężenie prądu osiągają wartości największe.
o O O
Stan taki mo a ot ymać, zmieniając odpowiednio indukcyjność L lub
"
" " "
" " "
pojemność C. Trzecią możliwość stanowi regulacja częstości v napięcia
zasilającego.
Generator
Oscyloskop
Częstość rezonansowa w szeregowym obwodzie R, L, C wynika z warun�
Rys. 10.7, Schemat stanowiska miarowego
ku (10.26)
Schemat stanowiska p edstawiono na rys. 10.7. Szeregowy obwód rezo�
1
(10.27)
nansowy zestawiono z układu kondensatorów i u adu opo ików umożliwia�
jących skokową zmianę pojemności i rezystancji, oraz cewki o zmiennej
indukcyjności.
A
atwo sprawdzić, że częstość rezonansowa w równoległym obwodzie jest
Schemat zastosowanego w ćwiczeniu szeregowego obwodu rezonansowego
określona identyczną zależnością.
pokazano na rys. 10.8.
Odpowiednikiem częstości rezonansowej omówionych obwodów elek ycz�
nych jest częstość własna u adu mechanicznego zdefiniowana wzorem
(10.28)
10.2. Opis stanowiska
W stanowisku doświadczalnym wykorzystano szeregowy obwód rezonanso�
wy zasilany sinusoidalnie zmiennym napięciem z generatora o regulowanej
częstotliwości. Układ pomiarowy stanowi oscyloskop rejest jący zmiany
napięcia na rezysto e R. Ponieważ spadek napięcia na opo iku jest pż�opor�
cjonalny do natężenia p epływającego prądu, więc obraz uzyskany na ekra�
nie oscyloskopu odpowiada zmianom natężenia prądu w obwodzie.
III
10.3. Przebieg ćwiczenia
l. Wykonać połączenia wg schematu jak na s. 10.8 (zaznaczone linią
p e waną).
2. Włączyć generator i oscyloskop (220 V).
3. P yłączyć pojemność CI (wciśnięcie p ycisku Cj).
,
4. Zew eć obwód rezystancją RI (wciśnięcie p ycisku RI).


5. Dobrać wzmocnienie oscyloskopu, biorąc pod uWagę maksymalną am�
,
plitudę spadku napięcia na opo iku przy zmianie częstotliwości napięcia

zasilającego.

o
6. Ko ystając z podziałki na ekranie oscyloskopu, zmie yć amplitudy
ż�
spadku napięcia dla kilku częstotliwości napięcia generatora mniejszych i dla
:
ż�
kilku większych od częstotliwości rezonansowej oraż zmierzyć maksymalną
e

amplitudę i odpowiadającą jej częstotliwość.

7. Pomiary wskaz e w punkcie 6 powtórzyć, podłąc jąc wzr taj ące
o


rezystancje < ż� < R4'
o
S 8. Przyłączyć p ez wciśnięcie odpowiedniego przycisku dowolną rezyst �


cję Rn'
o

9. Powtó yć pomia wskazane w punkcie 6, podłąc jąc wzr tające
e

pojemności C2 < C3 < C4"

10. Wyniki zestawić w tab!. 10.2.


N
U
Tabl ica 10.2



W po arów
\
\ ż� Re stancja Poje ęstotliwość ęs10ść pf a � plituda p du

----,------
:
" u k wa
ęcia
\
1
\ .
R C I v

(UJ : (U K
\
R u
\

[Ol [IlF] [Hz] [s-II [mm] [Al
\



"
-

a
"
ti




""
a

10.4. Treść sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
I) opis i schemat stanowiska badawczego,
112
2) wykresy rezonansowe wykonane na podstawie pomiarów, których wyni�
ki należy wpisać do tabl. 10.2 (wykresy te należy wykonać we współrzędnych
lo' v - wszystkie najednym arkuszu ),
3) obliczenie indukcyjności obwodu wykonane na podstawie zmierzonych
częstości rezonansowych odpowiadających różnym wartościom pojemności,
4) wykonany na podstawie pomiarów wykres przedstawiający wpływ po�
jemności obwodu na częstość rezonansową (wykres należy wykonać we
współrzędnych C, v),
5) korzystając z przeprowadzonych pomiarów i wykonanych wykresów,
opisać wpływ poszczególnych parametrów obwodu na przebieg badanych
drgań elektrycznych; 'wskazać odpowiadający zastosowanemu w ćwiczeniu
obwodowi układ mechaniczny, zestawić analogiczne wielkości.