WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
Modelowanie matematyczne
Prowadzący : mgr inż. Kapałka Michał
Grupa: I7X3S1
Wykonawca: A
ukasz Kołodziejski
1. Opis werbalny problemu
Pewna firma dostała zlecenie na wykonanie modeli graficznych do gry komputerowej.
Wraz ze zleceniem otrzymała szkice jak mają wyglądać poszczególne modele. Ponieważ mają one być
zaawansowane graficznie, każdy z modeli został podzielony na elementy, natomiast każdy z elementów
musi spełniać odpowiednie cechy przypisane do danego modelu.
Następnie firma ogłosiła konkurs na zrobienie każdego modelu graficznego - konkurs obejmował zlecenia
na poszczególne elementy. Do konkursu przystąpiło wiele zespołów. Każdy z nich może wykonać
poszczególny model w różnym czasie i przy różnych kosztach.
Przy wykonywaniu rożnych elementów z tego samego modelu przez różne zespoły potrzebny jest kontakt
między tymi zespołami. Potrzeba kontaktu między poszczególnymi zespołami zwiększa koszt całkowity
wykonania modelu graficznego w którym ten kontakt jest potrzebny.
Zadanie polega na dobraniu/wybraniu zespołów do poszczególnych modeli i/lub elementów modeli
tak aby firma zrealizowała zlecenie w czasie, a zysk firmy był jak największy.
2. a) matematyczny opis cech istotnych
L  liczba pracowników zatrudnionych w firmie
p
Z  zbiór numerów pracowników zatrudnionych w firmie
p
L
m  liczba modeli graficznych do zrobienia
Z  zbiór numerów modeli graficznych do zrobienia
m
Le
i  liczba elementów na jakie został podzielony model graficzny o i-tym numerze
śą gdzie i"Z źą
m
Ze  zbiór numerów elementów na jakie został podzielony model graficzny o i-tym numerze
i
śą gdzie i"Z źą
m
śą gdzie i"Z źą
Lc  liczba cech przypisanych do i-tego modelu graficznego
i
m
śą gdzie i"Z źą
Zc  zbiór numerów cech przypisanych do i-tego modelu graficznego
i m
L  liczba zespołów przystępujących do konkursu
z
Z  zbiór numerów zespołów przystępujących do konkursu
z
Zp  zbiór numerów pracowników należących do i-tego zespołu przystępującego do konkursu
i
śą gdzie i"Z źą
z
L  liczba specjalności potrzebnych do wykonania zlecenia
s
Z  zbiór numerów specjalności potrzebnych do wykonania zlecenia
s
śą gdzie i"Z źą
Ls  liczba specjalności potrzebnych do wykonania i-tego modelu graficznego
i m
Zs  zbiór numerów specjalności potrzebnych do wykonania i-tego modelu graficznego
i
śą gdzie i"Z źą
m
śą gdzie i"Zc źą
Zsc  zbiór numerów specjalności potrzebnych do wykonania i-tej cechy
i j
śągdzie i"Z źą
Lz  liczba zespołów wykonujących i-ty model graficzny
i
m
śą gdzie i"Z źą
Zz  zbiór indeksów zespołów wykonujących i-ty model graficzny
i m
B  budżet zlecenia
K  koszt wykonania i-tego elementu z j-tego modelu graficznego przez k-ty zespół
i j k
śą gdzie i"Zei , j"Zm , k "Z źą
z
K  koszt kontaktu między dwoma zespołami wykonującymi elementy do tego samego modelu
k
C  czas jaki posiada firma na zrealizowanie zlecenia
T  czas wykonania i-tego elementu z j-tego modelu graficznego przez k-ty zespół
i j k
śą gdzie i"Zei , j"Zm , k "Z źą
z
śą gdzie i"Z źą
S  zbiór numerów specjalności i-tego pracownika
i p
K  koszt wykonania zlecenia
T  czas wykonania zlecenia
Z  zysk firmy wykonującej zlecenie
2. b) Matematyczny opis istotnych związków między wybranymi cechami
Z  związek kosztów wykonania zlecenia przez firmę
1
L e Lm Lz Lm Lm Lm
j j
)# K , {{{K } } } ,{Z ei} , Z ,{Zzi } , {Lz } , K *#
Y =
1 i j k m i k
i=1 j=1 k =1 i=1 i=1 i=1
Lm Lz Lm Lm Lm
j m
j
R = { śąk , {{{ki j k }L e j} } , {z e } , zm ,{zzi } , {lzi} , k k źą"!2�ąśąL ej�"Lm�"Lz źą�ąLm�śą 2!źą2�"L �ą1:
1
i
i=1 j=1 k=1 i=1 i=1 i=1
ki j k�ąk k�"śąlz -1źą=k
" " "
j
}
j" zm i" z ej k" z z
j
Z  związek nie przekroczenia budżetu zlecenia przez firmę
2
)# B , K*#
Y =
2
R = {śąb, kźą"!2 :kąąb }
2
Z  związek czasu wykonania zlecenia przez firmę
3
Lm Lz Lm Lm
j
)#T , {{{T }L e j} } ,{Z ei} , Z , {Zzi} *#
Y =
3 i j k m
i=1 j=1 k =1 i=1 i=1
Lm Lz Lm Lm
j j m
j
śąt ,{{{ti j k }L e j} } ,{z ei} , zm ,{zzi } źą"!1�ąśą Le �"Lm�"Lz źą�śą 2!źą2�"L �ą1:
R = {
3
i=1 j=1 k=1 i=1 i=1
ti j k=t
" " "
}
j" zm i" z ej k" z z
j
Z  związek nie przekroczenia czasu jaki posiada firma na zlecenie
4
)#C ,T *#
Y =
4
R = {śą c, tźą"!2:tąąc}
4
Z  związek przynależności pracownika do danego zespołu
5
Lz
)# Z , Z ,{Zpi} *#
Y =
5 p z
i=1
Lz
z
{)#z , zz ,{zpi} *#"śą 2!źąL �ą2 : "j zpi)" zpj="}
p
R =
5
i`"
i=1 zpi�"z
p
i , j" z
z
Z  związek przynależności pracownika do zespołu wykonującego element modelu graficznego
6
Lzi Lp Lm Lm
j
=
)#{Zpi} , {Si} ,{Zzi } , Z , {Zsi} *#
Y
6 m
i=1 i=1 i=1 i=1
" : sk)"zsi`""
Lzi Lp Lm Lm
m j
j
k " zp
{)#{zpi } , {si} ,{zzi } , zm , {zsi} *#"śą2!źąL �"śąLp �"Lzi�ą1źą�ą1:i" " j }
R =
6 " zm j "zzi
i=1 i=1 i=1 i=1
*" : sk�" zsi
k "zp
j
Z  związek odpowiednich specjalności posiadanych przez pracownika
7
L
p
)# Z , {Si} , Z ,*#
Y =
7 s p
i=1
L
j
p
{)#zs ,{si } , z ,*#"śą2!źąLp �ą2:i*" si�"zs}
R =
7 p
"z
p
i=1
Z  związek dobrania odpowiednich specjalności do wykonania cech przypisanych do modelu
8
graficznego
Lc Lm Lm
j
)#{Zsci } , {Zci} , Z ,{Zsi} *#
Y =
8 m
i=1 i=1 i=1
Lc Lm Lm
m j
j
{)#{zsci} ,{zci} , zm , {zsi} *#"śą2!źąL �"śąLc �ą2 źą�ą1 : " *" zscią"zs }
R =
8 j
j "Z i" Zc
m j
i=1 i=1 i=1
Z  związek poprawności występowania cech Z , Z , Ze , Zc , Z , Z , Zs , Zz
9 p m i i z s i i
Lm Lm Lm Lm Lm Lm
L , Z , Lm , Z , {L ei} ,{Zei} ,{Lci} , {Zci} , Ls , Z , Lz , Z , {Lsi} ,{Zsi}
Y = <
9 p p m s z
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
Lm Lm
{Lzi} ,{Zzi}
>
i=1 i=1
Lm Lm Lm Lm Lm Lm Lm
l , z ,lm , zm ,{l ei} , {zei} , {lci} ,{zci} , ls , zs , lz , zz , {lsi } , {zsi} , {lzi}
R = {<
9 p p
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
zp =l
#" #"
p
zm =lm
#" #"
" zei =l ei
#" #"
i "zm
" zci =l ci }
#" #"
Lm
m
{zzi} *#"!4�"L �ą4:i "zm
i=1
zs =ls
#" #"
zz =l
#" #"
z
" zsi =lsi
#" #"
i "z
m
" zzi =lzi
#" #"
i" zm
3. Zmienne decyzyjne, wskaz
niki i dane
Lm Lzi
L e Lm
{Zzi} ,{{{Ki j k} } }
x =
)# *#
i=1 j=1
i=1 k=1
W = )#Z *#
Z
Lm Lm
Lm Lm z
{Zei} {Lci}
{L ei} {Zci} {Zpi}
a = < Lp, Z , L , Z , , , , , L , Z , , L ,
p m m i=1 i=1 z z s
i=1 i=1
i=1
Lm {Zsi} Lm {Zsci} Zcj Z
Lm
p
{Lzi}
{Lsi} {Si}
Z , , , , , B , K , C , ,
s i=1 k
i=1 i=1 i=1 i=1
Lzi
L e Lm
{{{Ti j k} } }
>
i=1 j=1
k =1
4. Analiza poziomu informacyjnego dotycząca znajomości przez decydenta wartości
danych w chwili podejmowania decyzji
W chwili podejmowania decyzji decydent zna następujące dane:
Z
Lm Lm Lm Lm
z
{L ei} {Zei} {Lci} {Zci} {Zpi}
L , Z , L , Z , , , , , L , Z , ,
p p m m z z
i=1 i=1 i=1 i=1
i=1
Lm {Zsi} Lm {Zsci} Zc Z
j p
{Lsi} {Si}
L , Z , , , B, K , C, .
s s , k
i=1 i=1 i=1 i=1
Decydent nie posiada informacji o następującej danej:
Lm
{Lzi}
ponieważ nie wie ile zespołów będzie realizowało poszczególny model graficzny.
i=1
Wybór zespołów wykonujących, a przez to liczba tych zespołów będzie uzależniona od możliwych
wartości wskaz
ników osiąganych przy zmiennych decyzyjnych.
5. Zbiór poprawnych wartości danych, dopuszczalnych wartości zmiennych decyzyjnych i
możliwych wartości wskaz
ników
Lm Lm Lm Lm
{L ei} {Zei} {Lci} {Zci}
A= {< L , Z , L , Z , , , , , L , Z ,
p p m m z z
i=1 i=1 i=1 i=1
Z Lm {Zsi} Lm {Zsci} Zcj {Lzi} Lm
z
{Zpi} {Lsi}
, L , Z , , , , , B , K , C ,
s s k
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
Z Lzi
L e Lm
p
m m j p
{Si} {{{Ti j k} } }
, }
`""!L �"śąLe�"Lzi�ą4źą�ą3�śą2!źąL �"śąZc �ą3źą�ą Zz�ąZ �ą4
i=1 j=1
i=1 k=1
Lm Lzi
L e Lm
m e
)#{Zzi} , {{{K } } } ,*#"śą2!źąL �!L �"Lm�"Lzi
�(a)= {
i j k
i=1 j=1
i=1 k=1
: Ki j k�ą K k�"śą Lz -1źą= K
" " "
j
}
j "Z i "Z ej k "Z z
m j
W(a, x ) = {)#Z *#"! : Z =B-K }
DEC
6. Funkcja oceny osiągnięcia celu
1 gdy Z śą axźą= min Z śąaźą= max Z
x "�śąaźą " i" Zm
Ea śąW śąa , x źąźą=
" j "Z ei
k" Zzi
{ }
0 w przeciwnym przypadku
7. Zadanie optymalizacyjne
Dla danych wyznaczyć tak, aby W śąa , xxźą= max W śąa , xźą
a "A
xx"�śąaźą
x "�śąaźą