Egzamin pisemny z matematyki z elementami statystyki,
Technologia żywności i Żywienie człowieka, I termin, 29.05.2007r.

1 1
"
1. (7p.) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x) = arc cos 1 - + .
x
x2+6x+9
2. (8p.) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f(x) = 3x + arc tg x.
3. (9p.) W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie z2 - iz - 1 - i = 0.
4. (9p.) Rozwiązać układ równań wykorzystując rachunek macierzowy
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y +2z + t = 1
ôÅ‚
òÅ‚
-x + y + z -2t = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2y +3z - t = 3.

x2
5. (9p.) Obliczyć dx.
x2-4
2
6. (10p.) Rozwiązać równanie różniczkowe y - 2xy = ex z warunkiem początkowym y(0) = 3.
7. (12p.) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = ex(2x + y2).
8. (6p.) Podać wypowiedz
twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej.
9. (12p.) W celu oszacowania 90-procentowego przedziału ufności dla średniej wysokości pędu głów-

nego kukurydzy, zmierzono 12 roślin i uzyskano (w cm) x =178, s =9,5. Sprawdzić, czy próba
jest wystarczająco liczna do wyznaczenia przedziału ufności dla średniej, z maksymalnym błędem
szacunku 4 cm. Jeśli nie, określić, ile elementów należy dobrać do próby.
10. (12p.) W celu sprawdzenia, czy kłosy pewnego gatunku pszenicy mają średnią masę większą niż
30 g, pobrano z populacji 100 kłosów i obliczono: x =32,5, s2=10,3. Na poziomie istotności 0,1
przeprowadzić weryfikację.
11. (6p.) Podać wypowiedz
twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
Egzamin pisemny z matematyki z elementami statystyki,
Technologia żywności i Żywienie człowieka, I termin, 29.05.2007r.
2n
"
n-3 n
1. (7p.) Obliczyć granicÄ™ ciÄ…gu an = · 2n + 5n + 3n.
n
2. (7p.) Zbadać ciągłość funkcji
Å„Å‚
ôÅ‚
4 arc tg(x + 3) dla x < -2
ôÅ‚
òÅ‚
f(x) = arc cos(x + 1) dla x " [-2, 0]
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x2 + 1 dla x > 0.
2
3. (9p.) Dana jest pochodna f (x) = xe-x funkcji f(x). Załóżmy, że dziedzina funkcji i jej pochodnej
się pokrywają. Wyznaczyć punkty przegięcia i przedziały wypukłości/wklęsłosci funkcji f(x).
îÅ‚ Å‚Å‚

-2 -1 2
2 -1 1
ïÅ‚
4. (9p.) Obliczyć A-1Bt, jeżeli: A = 4 4 -3śł, B = .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 3 -2
1 1 -1
5. (11p.) Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami y = ln x, y = 0, x = e, x = 2e.
6. (10p.) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x2 - xy + 2y2 - x + 4y - 5.

7. (11p.) Obliczyć (1 - x) dxdy, jeśli D jest trójkątem o wierzchołkach (-1, 0), (0, 1), (1, 0).
D
8. (6p.) Podać wypowiedz
twierdzenia Fubiniego dla funkcji dwu zmiennych.
9. (12p.) Pewna zmienna losowa ciągła X ma dystrybuantę postaci
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla x < -1,
ôÅ‚
òÅ‚
F (x) = 1 - x2 dla x " [-1, 0],
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 dla x > 0.
(a) Narysować wykres F . .
(b) Znalez
ć funkcję gęstości i narysować jej wykres
(c) Na wykresie gęstości podać interpretację geometryczną P (-1 < X < 1) i obliczyć to prawdo-
2
podobieństwo.
(d) Obliczyć EX i D2X.
10. (12p.) Porównano długość śledzia bałtyckiego i atlantyckiego. Losowo wybrano 100 śledzi bałtyckich
i otrzymano: x1 = 28 cm, s1 = 3 cm, a dla 100 śledzi atlantyckich: x2 = 33 cm, s2 = 4 cm.
Zakładając, że rozkład badanej cechy w obu populacjach śledzi jest normalny, na poziomie istotności
0,01 zweryfikować hipotezę, że śledzie atlantyckie są większe.
11. (6p.) Podać wypowiedz
twierdzenia Poissona (Prawo małych liczb).