MATEMATYKA BUDOWNICTWO - 5
ZADANIA: Rachunek tensorowy  część 2
1. W punkcie P znajduje się masa m , wykorzystując tensor bezwładności obliczyć moment
bezwładności tej masy względem prostej przechodzącej przez początek układu
r
współrzędnych i równoległej do wektora a :
3 3 2
�ł łł �ł łł �ł łł
r r r
�ł0śł �ł2śł �ł-1śł
a) P(-1,1,2), m = 1kg,a = b) P(1,1,0),m = 2kg,a = c) P(2,2,-1),m = 1kg, a =
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł śł
2
�ł1śł �ł1śł �ł �ł
�ł �ł
.
2. W punktach P1(1,1,0), P2 (-1,-1,0), P3 (2,-2,0), P4 (-2,2,0) są rozmieszczone odpowiednio masy
m1 = 3kg,m2 = 3kg, m3 = 1kg, m4 = 1kg :
a) Wyznaczyć tensor bezwładności dla danego układu mas,
b) Napisać równanie kwadryki tensorowej i określić jaką powierzchnię ona przedstawia,
c) Wyznaczyć bazę, w której tensor bezwładności jest macierzą diagonalną,
2
d) Podać macierz przejścia z bazy � do bazy � ,
2
e) Podać tensor bezwładności w bazie � ,
f) Wyznaczyć prostą względem której moment bezwładności jest największy, podać
2
równanie prostej w bazie � i � ,
g) Wyznaczyć moment bezwładności tej masy względem prostej przechodzącej przez
0
�ł łł
r
�ł0śł
początek układu współrzędnych i równoległej do wektora a = .
�ł śł
�ł
�ł1śł
�ł
3. W punktach P1(0,0,0), P2 (3,0,0), P3 (0,1,0)są rozmieszczone odpowiednio masy
m1 = 1kg, m2 = 2kg, m3 = 3kg . Napisać równanie kwadryki tensorowej i określić jaką jest
powierzchnią. Wyznaczyć równania prostych przechodzących przez początek układu
współrzędnych, względem których moment bezwładności jest największy i najmniejszy.
Podać jego wartość.
1
4. Masa o gęstości �(x, y, z) = jest rozło\
ona w sześcianie o krawędzi 2. Wyznaczyć
xy
współrzędną tensora bezwładności stojącą w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie.
5. Wyznaczyć tensor bezwładności podanej bryły o danej gęstości
V = {(x, y, z) " R3 : 0 d" x d" 1,0 d" y d" 2,0 d" z d" 3}, �(x, y, z) = 1.
6. Dla pewnego układu mas tensor bezwładności jest reprezentowany w bazie � przez macierz
2
�ł -1 -1
łł
r
�ł-1
2
B = 4 -1śł . Wyznaczyć macierz diagonalną � i wyznaczyć wektor e2 ' bazy � .
'
�ł śł
�ł-1 -1 4
śł
�ł �ł
Obliczyć moment bezwładności tego układu mas względem prostej przechodzącej przez
punkt (0,0,0)i równoległej do wektora własnego odpowiadającego wartości własnej równej
5.