MATEMATYKA BUDOWNICTWO - 4
ZADANIA: RÓWNANIA RÓśNICZKOWE CZ
STKOWE
2
1. Sprawdzić, czy funkcja u(x,t) = x3 + 27xt + 2xt + t + xt3 spełnia równanie utt - 9uxx = 6xt z
u(x,0) = x3
warunkami .
ut (x,0) = 2x +1
5
2. Sprawdzić, czy funkcja u(x,t) = 5x2 + y2 spełnia równanie z podanymi warunkami
4
uxx - 3uxy - 4uyy = 0, u(x,0) = 5x2 , uy (x,0) = 0 .
3. Rozwiązać równania
"2u 4
a) + y3 = 0
"x"y 3
"2u
y
b) = y3 + x cos y gdzie u(x,0) = (x +1)2 , u(0, y) = e .
"x"y
"2u
c) = 2xsin y gdzie u(x,0) = x2 , u(0, y) = sin y .
"x"y
"2u "u
d) - 3x2 = 0 gdzie u(x,0) = 5x4 , u(0, y) = y .
"x"y "y
"2u "u
e) - - y = 0
"x2 "x
4. Wyznaczyć zbiór, w którym równanie jest typu hiperbolicznego, parabolicznego , eliptycznego.
Narysować dane zbiory.:
(x2 + y2 )uxx - 2uxy + uyy - 2xux = 0
a.
(1+ y )uxx + (1- y)uyy + 4 = 0
b.
uxx - 3yuxy + (9 - x2)uyy + xux = 0
c.
sin2 xuxx - 2ysin xuxy + y2uyy + u = 0
d.
(1+ x2)uxx + (1+ y2)uyy + yuy = 0
e.
5. Metodą Fouriera rozwiązać równanie :
"u "2u
a) = 4 z warunkami brzegowymi u(0,t) = 0,u(l,t) = 0,l > 0 i warunkiem początkowym
"t "x2
u(x,0) = �(x)
"2u "2u
b) = a2 , a " R z warunkami brzegowymi u(0,t) = 0,u(Ą ,t) = 0 i warunkami początkowymi
2
"t "x2
1
u(x,0) = sin x,ut (x,0) = 0
2
"2u 1 "2u
6. Rozwiązać równanie metodą Fouriera oraz d Alemberta : - = 0 z warunkami brzegowymi
2
"x2 4 "t
1
u(0,t) = 0,u(Ą ,t) = 0 i warunkami początkowymi u(x,0) = sin x, ut (x,0) = 0 .
2
7. Stosując przekształcenie Laplace a rozwiązać równanie ró\
niczkowe zwyczajne (dotyczące niewiadomej funkcji
2
jednej zmiennej) w (t) - 5w(t) = a z warunkiem w(0+ ) = c (gdzie a, c  dane stałe, nie zale\
ą od t ).
"2u "u
Następnie wykorzystać to, aby rozwiązać równanie ró\
niczkowe cząstkowe - 5 �" = x .
"y2 "y
1
8. Struna nieograniczona opisana równaniem uxx - utt = 0 drga swobodnie. Znalez
ć wzór opisujący te drgania
a2
u(x,0) = cos x
je\
eli .
ut (x,0) = 2x