Instr Cw2 2016CS odblokowany

WYDZIAA ETI PG
Katedra Systemów Elektróniki Mórskiej
Technika obliczeniowa i symulacyjna
- laboratorium
Numeryczne rozwiązywanie równań liniowych
MATLAB i SPICE jako narzędzia do obliczania
prądów, napięć i mocy w obwodzie elektrycznym
Odsłona 1: Rozwiązywanie w MATLAB-ie równań opisujących obwód. Przypadek
oczkowego opisu obwodu liniowego i stałych pobudzeń (prądy, napięcia, moce na ele-
mentach, zródła zastępcze Thevenina i Nortona). Micro-Cap analiza Dynamic DC
(Materiały dó ćwiczenia nr 2)
Opracówał: Witóld Szkudlinski
Adaptacja: Czesław Stefański
Gdansk 2016
2
1. Wstęp
W prostym obwodzie elektrycznym, na przykład składającym się z podobnej liczby elementów jak w ob-
wodzie przedstawionym na rys. 1a, poszukiwanie takich podstawowych wielkości elektrycznych jak natężenie
prądu (prąd) 5؊�, czy też różnica potencjałów (napięcie) 5�
�, może być względnie łatwym zadaniem.
Uznajemy, że dla obwodów z rys. 1 jest to szczególnie łatwe również z tego względu, że mamy w tym
przypadku do czynienia z tak zwanymi liniowymi obwodami prądu stałego.
u u
1 1
i i
1 1
i i J
R i 3 3 4
2
1 2 R i
1
i i
0 0
u u u u u u u
0 2 3 0 2 3 4
E E
0 0
R R
3 3
i
4
R R
2 2
Rys. 1a. Prosty obwód prądu stałego Rys. 1b. Przykład strzałkowania skojarzonego
u
1
i
1
i J
R i 3 4
2
1
i
0
u u u u
0 2 3 4
E
0
R
3
i
4
R
2
Rys. 1c. Przykład strzałkowania dwuskojarzonego (zródłowo-odbiorczego1)
Dla obwodu z rys. 1a, opierając się na regułach analitycznych opracowanych przez żyjących w XIX wieku
Georga Ohma, Wernera von Siemensa oraz Gustawa Kirchhoffa otrzymujemy prądy oraz napięcia:
5�8�
5�:�2 5�:�3
5�V�1 = ,
5�V�2 = �" 5�V�1 , 5�V�3 = �" 5�V�1, 5�V�0 = -5�V�1 ,
1
5�E�1 +
5�:�2 + 5�:�3 5�:�2 + 5�:�3
(1)
5�:�2+5�:�3
5�b�1 = 5�E�1 �" 5�V�1 , 5�b�2 = 5�E�2 �" 5�V�2 , 5�b�3 = 5�E�3 �" 5�V�3 , 5�b�0 = 5�8�,
gdzie
1 1
5�:�2 = i 5�:�3 = .
5�E�2 5�E�3
Do wzorów (1) trzeba dodać, że zwrot spadku napięcia na każdym z elementów obwodu z rys. 1a jest
przeciwny do kierunku przepływającego przez ten element prądu. Sytuacja taka ma miejsce, gdy stosujemy
tzw. strzałkowanie skojarzone prądów i napięć na dwójnikach obwodu (na rys. 1b też mamy strzałkowanie
skojarzone).
Gdy na wszystkich dwójnikach obwodu, za wyjątkiem wszystkich niezależnych zródeł napięciowych i prą-
dowych, zastosowano strzałkowanie skojarzone, będziemy mówić o strzałkowaniu dwuskojarzonym . Nie-
którzy autorzy wolą mówić o strzałkowaniu zródłowo-odbiorczym1. Taką sytuację mamy na rysunku 1c.
Bywa, że rachując na papierze, strzałkujemy oszczędnie , to znaczy dla zmniejszenia liczby niewiado-
mych rezygnujemy z wielokrotnego oznaczania w istocie tego samego prądu, czy napięcia, np. dla rysunków
1a, b, c na zródłach niezależnych zrezygnowalibyśmy z oznaczania dodatkowo prądu 5�V�0 zródła napięciowego
5�8�0 i odpowiednio napięcia 5�b�4 zródła prądowego 5�=�4, czy też z oznaczania jednego z napięć 5�b�2, 5�b�3 albo 5�b�4
(np. gdyby na rysunku 1c nie oznaczono prądu 5�V�0, to jako prąd zródła 5�8�0 można byłoby traktować prąd 5�V�1).
1
Stanisław Bolkowski, Elektrotechnika, WSiP, Warszawa 2005
3
Przy tworzeniu algorytmów analizy automatycznej (komputerowej) wygodnie jest trzymać się zasady, że
każdy dwójnik ma swój prąd i swoje napięcie, przeciwnie względem siebie zastrzałkowane (przypomi-
namy, że jest to tzw. strzałkowanie skojarzone). Przez to algorytmy stają się bardziej jednorodne i dzięki temu
zwykle są szybsze mimo większej niż przy strzałkowaniu oszczędnym liczby niewiadomych.
Ze wzrostem liczby i różnorodności elementów tworzących strukturę obwodu stopniowo zmniejsza się
możliwość czy też opłacalność ręcznego (analitycznego) poszukiwania prądów i napięć gałęziowych.
Omawiane ćwiczenie jest poświęcone wdrożeniu umiejętności obliczania prądów i napięć w obwodzie
przy wykorzystaniu narzędzia MATLAB z jego algorytmami numerycznego rozwiązywania układów równań
liniowych.
Ponadto ćwiczący nabiera obycia w korzystaniu z symulacyjnego narzędzia Micro-Cap (jedna z odmian
SPICE a). Narzędzie to, po narysowaniu obwodu w jego oknie graficznym przez użytkownika, potrafi auto-
matycznie, acz bez ujawniania ich użytkownikowi, utworzyć odpowiednie równania opisujące obwód, roz-
wiązać je (podobnymi jak MATLAB algorytmami) i udostępnić rozwiązania między innymi we wspomnianym
oknie z obwodem.
2. Poszukiwanie prądów, napięć i mocy w rozbudowanym obwodzie elektrycznym
Podczas tych (i następnych) zajęć obiektem naszej uwagi będzie obwód prądu stałego przedstawiony na
rysunku 2a. Naszym zadaniem będzie dokonać w miarę wszechstronnej analizy tego obwodu, to jest wyzna-
czyć prądy i napięcia, a także moce na każdym z jego elementów oraz porównać wyniki naszej analizy z wy-
nikami symulacji przeprowadzonej narzędziem Micro-Cap, a także sprawdzić bilansowanie się mocy.
Zacznijmy od tego, że chociaż w strukturze badanego obwodu mamy łącznie 11 elementów, to tylko
oznaczone symbolem 5�8�1 napięciowe zródło niezależne albo niezależne zródło prądu 5�=�3 jest niezbędne, aby
uzyskać przepływ jakiegokolwiek prądu. Usunięcie obu tych elementów lub jednoczesne wyzerowanie 5�8�1 i 5�=�3
implikuje wyzerowanie wszystkich prądów i napięć w obwodzie.
I
I 6 R
6
3
R m�
3
U
6
U
3 U
9
I
9
J
3
J
6
R
4
U
4
5�<�6
I
o4
I
o3
5�<�3
I
4
R
2
I
2
I
7
R
7
U Iin U
2 ZPSN 7
j� k l
I
1
R R
5 8
U
1
Uin
ZPSN
I I
U U
o1 5 o2 8
I
5
R
1
I
8
5�<�1 5�<�5
E
1
5�H�1
Rys. 2a. Badany obwód prądu stałego
5�M�5�A�5�F�5�C�
5�V�5�[�
5�M�5�C�5�F�5�A�
5
5�M�5�A�5�F�5�C�
5�V�5�[�
9
5��
5�\�5�b�5�a�
5�<� = 5�q� = 5�<�
= 5�T� �" 5�H�
5�H�
= 5�H�
4
Oprócz zródeł niezależnych 5�8�1 i 5�=�3 jest w obwodzie zależne (sterowane) zródło wytwarzające prąd 5�<�9
liniowo zależny od napięcia 5�H�5 (czyli ZPSN zródło prądowe 5�=�6 sterowane napięciem 5�H�5).
Na rysunku 2a zaznaczono prądy gałęziowe (5�<�1, 5�<�2, & , 5�<�9) i na początek niech to one stanowią poszuki-
wane wielkości obwodowe. Ogólnie rzecz biorąc, aby znalezć 9 niewiadomych trzeba ułożyć 9 równań, jednak
w tym przypadku, w oparciu o koncepcję tzw. prądów oczkowych (5�<�5�\�1, 5�<�5�\�2, 5�<�5�\�3, 5�<�5�\�4), potrzebujemy tych rów-
nań tylko 4.
Podobnie w oparciu o koncepcję tzw. potencjałów węzłowych możemy też, w tym przypadku, ułożyć
tylko cztery równania z niewiadomymi potencjałami 5�I�1, 5�I�2, 5�I�3, 5�I�4 i za ich pomocą wyznaczyć wszystkie napię-
cia i prądy na elementach obwodu. To będzie stanowić materiał na kolejne zajęcia. Ale po kolei!
Metoda prądów oczkowych
Klasyczna, niezmodyfikowana metoda prądów oczkowych nienawidzi sytuacji, gdy w obwodzie wystę-
pują inne elementy, niż w tym zdaniu wymienione, czyli: niezależne zródła napięciowe, zródła napięciowe
sterowane prądem oraz rezystory.
Mając powyższe na uwadze przekształcamy niezależne rzeczywiste zródło prądowe {5�q�5�Ń� 5�y�5�Ń�} w rzeczy-
wiste zródło napięciowe {5�l�5�Ń�=5�=�35�E�3Ś 5�y�5�Ń�} oraz rzeczywiste zródło prądowe sterowane napięciem
{5�q�5��=5�T�5�|�5�Ó� 5�y�5��} w rzeczywiste zródło napięciowe sterowane napięciem {5�l�5��=5�T�5�E�65�|�5�Ó� Ś 5�y�5��}, a to z kolei już
łatwiutko w rzeczywiste zródło napięciowe sterowane prądem {5�l�5��=5�T�5�E�55�E�65�p�5�Ó� Ś 5�y�5��}, bo 5�H�5 = 5�E�5 �" 5�<�5.
Obwód po przekształceniach pokazano na rys. 2b.
E =gR R I =gR R (I )
6 5 6 5 5 6 o1-I
o2
E =R J
3 3 3
R
6
m�
R
3
U U (=U )
3 6 9
R
4
U
4
5�<�6
I
o4
5�<�3
I
o3
I
4
R
2
I
2
I
7
R
7
U U
2 I 7
5
j� k l
I
1
R
1
R R
5 8
U
1
I I
U U
o1 5 o2 8
I
8
5�<�1
5�<�5
E
1
5�H�1
Rys. 2b. Badany obwód prądu stałego dostosowany do metody prądów oczkowych
Dla obwodu z rysunku 2b algorytm układania równań według metody prądów oczkowych prowadzi do
następującego układu równań
5
R1 +� R2 +� R5 -� R5
�� -� R2 0 ł� Io1 E1 E1 ł�
�� ł� �� ł� ��
ę� ś�
ę�I ś� ę� ś� ę� ś�
0 0
-� R5 R5 +� R7 +� R8 0 -� R7 ś� ę� o2 ś� ę� ś� ę�
ę�
ś�
�� =� =� (2)
ę�
ś�
-� E3ś� -� J3R3
-� R2 0 R2 +� R3 +� R4 -� R4 ś� ę�Io3 ś� ę� ę�
ę� ś�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
E6 gR5R6Io1 -� gR5R6Io2ś�
ę� 0 -� R7 -� R4 R4 +� R6 +� R7ś� ę�Io4ś� ę� ś� ę�
��
��
Po przesunięciu z prawej na lewą stronę składowych z prądami oczkowymi otrzymujemy
R1 +� R2 +� R5 -� R5
�� -� R2 0 ł� Io1
�� ł� E1
�� ł�
ę� ś�
ę�I ś�
-� R5 R5 +� R7 +� R8 0 -� R7 ś� ę� o2 ś� ę�0 ś�
ę�
ę� ś�
�� =�
(3)
ę�
J3R3ś�
-� R2 0 R2 +� R3 +� R4 -� R4 ś� ę�Io3 ś� ę�-�
ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
ę� -� gR6 ��R5 -� R7 +� gR6 ��R5 -� R4 R4 +� R6 +� R7 ś� ę�Io4ś� ę� ś�
�� 0 ��
��
Wracając do prądów gałęziowych (5�<�1, 5�<�2, . . . , 5�<�9), można je wyrazić przez otrzymane z równania (3) prądy
oczkowe. Mamy bowiem (w zgodzie z rysunkami 2a i 2b):
5�<�1 = -5�<�5�\�1, 5�<�2 = 5�<�5�\�3 - 5�<�5�\�1, 5�<�3 - 5�=�3 = 5�<� 3 = 5�<�5�\�3, 5�<�4 = 5�<�5�\�3 - 5�<�5�\�4, 5�<�5 = 5�<�5�\�1 - 5�<�5�\�2,
5�<�6 + 5�<�9 = 5�<� 6 = 5�<�5�\�4, 5�<�7 = 5�<�5�\�4 - 5�<�5�\�2, 5�<�8 = 5�<�5�\�2, 5�<�9 = 5�q�5�� = 5�T�5�E�55�p�5�Ó�.
Organizując obliczenia na podstawie powyższych wzorów i równania (3), na przykład w MATLAB-ie, po-
winniśmy trzymać się zasady, że do programu kierowane są dane nieprzetworzone, a obliczenia są realizo-
wane w programie. Zatem w tym przypadku jako dane do programu powinny posłużyć wartości parametrów
elementów obwodu, na przykład zadane jako R1=& , R2=& , & , g=& , E1=& , J3=& . Instrukcje obli-
czeniowe natomiast powinny być realizacją zależności (3) oraz po niej następujących zależności na prądy.
Bilans mocy w obwodzie
Bilans mocy w obwodzie układamy przyjmując, że iloczyn prądu i napięcia przy przeciwnej orientacji
napięcia na dwójniku i płynącego przez ten dwójnik prądu oznacza moc traconą na tym dwójniku; zawsze na
rezystorach moc tak liczona jest dodatnia, zaś bardzo często liczona w ten sam sposób moc na zródłach jest
ujemna; ujemną moc traconą należy interpretować (po zmianie znaku) jako dodatnią moc dostarczoną. Dla
przykładowego obwodu z rysunku 2a mamy
8 8
tracona
2
(10a)
"5�C� = " 5�<�5�X� �" 5�H�5�X� = " 5�E�5�X� �" 5�<�5�X� .
rezystorów
5�X�=1 5�X�=1
Moc dostarczana przez zródła (jest równa minus mocy traconej przez zródła):
dostarczana
(10b)
) )
"5�C� = -( - 5�=�3 �" 5�H�3 + 5�<�9 �" 5�H�9 = -( - 5�=�3 �" 5�<�3 �" 5�E�3 + 5�<�9 �" 5�<�6 �" 5�E�6 .
5�<�1 �" 5�8�1 5�<�1 �" 5�8�1
zródeł
Bilans mocy winien być oczywiście zerowy (moc dostarczona moc tracona = zero):
dostarczana tracona
"5�C� - "5�C� = 0. (11)
zródeł rezystorów
Koncepcja zródeł zastępczych Thevenina i Nortona
Jeżeli nasze potrzeby ograniczają się do znalezienia prądu (napięcia, mocy) tylko w kilku zgrupowanych
elementach (w skrajnym przypadku w jednym elemencie) obwodu, to całą pozostałą część struktury możemy
zastąpić tzw. zródłem Thevenina lub zródłem Nortona. Przyjmując, że wybranym ważnym elementem jest
rezystor R , możemy zgodnie z powyższą koncepcją wieloelementowy obwód zredukować do jednej z przed-
5
stawionych na rysunku 3a,b postaci.
a)
b) c)
RT k
(x)
k
I5 I5 q
E J Obwód liniowy
T -U
5 N-I
5
I
zastępowany
U5 U5
zródłem
q
RN R5
R5
ET
J U
N Thevenina
lub Nortona
i i
(y)
obwodu, q=1 lub 2
q-ty wariant obciążenia
6
Rys. 3. Obwód zastępczy Thevenina a), obwód zastępczy Nortona b), schemat ogólny do wyznaczania parametrów obwodu za-
stępczego c).
Poza 5�E�5, parametry pozostałych elementów z rysunków 3a,b muszą zostać dopiero obliczone na tej pod-
stawie, że przez rezystor 5�E�5 winien przepływać taki sam prąd 5�<�5, jaki przepływał przez ten element w ramach
obwodu z rysunku 2a.
Wprowadzone przez Thevenina oraz Nortona definicje dają nam następujące zapisy, które odnoszą się
do rysunku 2a i rysunków 3a,b:
5�8�5�G�
5�8�5�G� = 5�H�5| 5�E�5" , 5�=�5�A� = 5�<�5| 5�E�5=0 , 5�E�5�G� = 5�E�5�A� = . (12a)
5�=�5�A�
Inaczej sprawę ujmując, prąd Nortona otrzymamy na podstawie rozwiązania równań (3) po wyzerowa-
niu oporności R w macierzy współczynników z (3). W tej sytuacji wymaga to tylko zmiany wartości elementu,
5
bez zmiany kształtu równania (3).
Napięcie Thevenina otrzymujemy wtedy, kiedy w obwodzie z rysunków 2 usuniemy element R (odpo-
5
wiada to przyjęciu, że 5�E�5 "). To niestety wymaga przekonstruowania równań typu (3) opisujących metodą
oczkową obwód (bowiem, na skutek usunięcia opornika 5�E�5, liczba oczek zmniejszyła się o jedno). Natomiast
napięcie 5�H�5, gdy już nie ma opornika 5�E�5, musimy składać jako sumę napięć na innych elementach.
Na szczęście do wyznaczenia parametrów zródeł Thevenina i Nortona można podejść bardziej jednolicie,
mianowicie parametry te można obliczyć z ogólniejszych zależności, przy oznaczeniach z rysunku 3c:
2 2 1
5�<� �"15�H� -15�<� �"25�H� 5�H� �"15�<� -15�H� �"25�<� 5�H� -25�H�
5�8�5�G� = , 5�=�5�A� = , 5�E�5�G� = 5�E�5�A� = (12b)
2 2 2
5�<� -15�<� 5�H� -15�H� 5�<� -15�<�
1 2
Przyjmując, że pierwszy wariant obciążenia obwodu to 5�E�5 = 5�E�5, a drugi to 5�E�5 = 5�E�5 oraz uwzględnia-
5�^� 5�^�
jąc, że 5�^�5�H� = 5�E�5 �" 5�<� możemy dla obwodu z rysunków 2 przepisać wzory (12b) w postaci:
2 2 1
5�<� �"15�<� 5�<� �"15�<� 5�E�5�"15�<� -25�E�5�"25�<�
(1 2 ) (2 1 )
5�8�5�G� = �" 5�E�5 - 5�E�5 , 5�=�5�A� = �" 5�E�5 - 5�E�5 , 5�E�5�G� = 5�E�5�A� = . (12c)
2 2 2
5�<� -15�<� 5�E�5�"25�<� -15�E�5�"15�<� 5�<� -15�<�
Gdyby dodatkowo założyć, że 25�E�5 = 0, co odpowiada obciążeniu obwodu zwarciem, to uzyskalibyśmy,
że:
2 1
5�<� �"15�<� 5�<�
1 2 1
5�8�5�G� = �" 5�E�5 , 5�=�5�A� = 5�<� , 5�E�5�G� = 5�E�5�A� = �" 5�E�5 . (12d)
2 2
5�<� -15�<� 5�<� -15�<�
Oznacza to, że aby wyznaczyć parametry zródeł zastępczych wystarczy policzyć lub pomierzyć prąd 5�^�5�<�
(5�^� = 1, 2) płynący przez obciążenie w warunkach dwóch znanych i różnych obciążeń i skorzystać ze wzoru
(12c) (albo (12d), gdy drugie z obciążeń było zwarciem).
Do wyznaczenia zródeł Thevenina lub Nortona, gdy korzystamy z wzorów (12b-c) wystarczy manipulo-
wać obciążeniem (byleby było niezerowe i skończone), a nie strukturą całego obwodu. Wzór (12d) też ma te
zalety, ale tylko przy analizie metodą oczkową (jak się pózniej okaże w metodzie węzłowej przyjęcie, że
oporność obciążenia wynosi zero powoduje zmianę struktury obwodu, bo z punktu widzenia metody
skleja ze sobą dwa węzły w jeden).
Zanim skupimy się na rozwiązywaniu równań w MATLAB-ie policzymy jeszcze moce w obwodach 3a-b.
Moce (liczone jako tracone (!!!)) w obwodzie z rysunku 3a
2
tracona
( )
5�C�rezystorów = 5�E�5�G� + 5�E�5 �" 5�<�5 ,
(13)
tracona
5�C�zródła napięciowego = -5�<�5 �" 5�8�5�G� .
Moce (liczone jako tracone (!!!)) w obwodzie z rysunku 3b
2
tracona
( )2
5�C�rezystorów = 5�E�5�A� �" 5�=�5�A� - 5�<�5 + 5�E�5 �" 5�<�5 ,
(14)
2 2
5�=�5�A� 5�=�5�A� 5�E�5�A�5�E�5
tracona
5�C�zródła prądowego = - = - .
5�:�5�A�+5�:�5 5�E�5�A�+5�E�5
Warto zastanowić się, czy (i dlaczego) suma mocy traconych na wszystkich, oprócz opornika 5�E�5, elemen-
tach obwodu 2a jest równa sumie mocy traconych na wszystkich, oprócz opornika 5�E�5, elementach obwodu
z rysunku 3a, jak i 3b.
3. Wspomagane programem MATLAB rozwiązywanie układu równań liniowych
7
Zajmiemy się teraz szczegółami numerycznego poszukiwania rozwiązania układu równań liniowych na
przykładzie poniższego układu równań zamieszczonego w materiałach pomocniczych1 do wykładu MATLAB-a
5�e�1 28
2 -3 4 5
5�e�
-4]
[4 4 -8 2] �" [5�e�2] = [ . (15)
3 -3 -4 2 3 -7
5�e�4 -13
2 -2 3 -5
W uogólnionym zapisie (przy notacji bez nawiasów kwadratowych) równanie to wygląda następująco
5�h� " 5ؙ� = 5؃� (16)
W tym przypadku rozwiązanie jest w naszym zasięgu nawet bez wspomagania komputerowego, przy
czym często korzystamy z przejrzystych zapisów metody Cramera
"1 "2 "3 "4
5�e�1 = , 5�e�2 = , 5�e�3 = , 5�e�4 = , " `" 0 . (17)
" " " "
gdzie " jest wyznacznikiem macierzy 5�h�, zaś każdy z "5�[� to wyznacznik macierzy powstałej z 5�h� przez zastąpienie
w niej wektorem b kolumny o numerze 5�[�-tym .
Rozwiązanie analityczne (a więc dokładne) równania (15) metodą Cramera daje wyniki
1450 2900 4350 5800
5�e�1 = = 1, 5�e�2 = = 2, 5�e�3 = = 3, 5�e�4 = = 4 (18)
1450 1450 1450 1450
Współcześnie, spośród wielu opracowanych metod numerycznego rozwiązywania układów równań li-
niowych, duże znaczenie mają różne warianty metody eliminacji Gaussa. Algorytm tej metody prześledzimy
po uogólnieniu zapisu równania (15). Otrzymujemy
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & . 5�N�15�A� 5�e�1
5�O�1
5�N�21 5�N�22 5�N�23 & . 5�N�25�A� 5�e�2 5�O�2
5�N�31 5�N�32 5�N�33 & 5�N�35�A� �" 5�e�3 = 5�O�3
(19)
& & & & & &
&
[5�N�5�A�1 5�N�5�A�2 5�N�5�A�3 & 5�N�5�A�5�A�] [5�e�5�A�]
[5�O�5�A�]
Eliminacja niewiadomych w wyrażeniu (19) przebiega następująco.
�� W pierwszym kroku od wierszy 2, 3, & . , 5�A� odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez taki
współczynnik, który zapewnia jako wynik odejmowania nowy wiersz nie zawierający już niewia-
domej 5�e�1 Po pierwszym kroku (krok 5�`� = 1; ang.: step) otrzymujemy
.
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & 5�N�15�A� 5�e�1
5�O�1
(1) (1) (1)
(1)
0 5�N�22 5�N�23 & 5�N�25�A� 5�e�2 5�O�2
(1) (1) (1)
(1)
0 5�N�32 5�N�33 & 5�N�35�A� 5�e�3 5�O�3
�" = (20a)
& & & & &
&
&
(1) (1) (1)
(1)
0 5�N�5�A�2 5�N�5�A�3 & 5�N�5�A�5�A�
[ ] [5�e�5�A�]
5�O�5�A�
[ ]
gdzie
5�N�5�V�1
(1) (
5�N�5�V�5�X� = 5�N�5�V�5�X� - 5�Y�5�V�1 �" 5�N�15�X� , 5�O�5�V� 1) = 5�O�5�V� - 5�Y�5�V�1 �" 5�O�1, przy 5�Y�5�V�1 = oraz 5�V�, 5�X� = 2, 3, & , 5�A�
5�N�11
�� W drugim kroku od wierszy 3, 4, & . , 5�A� odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez taki współ-
czynnik, który zapewnia jako wynik odejmowania nowy wiersz nie zawierający już niewiadomej
5�e�2 Po drugim kroku (krok 5�`� = 2) otrzymujemy
.
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & 5�N�15�A� 5�e�1
5�O�1
(1) (1) (1)
(1)
0 5�N�22 5�N�23 & 5�N�25�A� 5�e�2 5�O�2
(2) (2)
(2)
0 0 5�N�33 & 5�N�35�A� 5�e�3
5�O�3
�" = (20b)
& & & & &
&
&
(2) (2)
(2)
0 0 5�N�5�A�3 & 5�N�5�A�5�A�
[ ] [5�e�5�A�]
5�O�5�A�
[ ]
gdzie
(1)
(2) (1) ( ( ( ( 5�N�5�V�2
1
5�N�5�V�5�X� = 5�N�5�V�5�X� - 5�Y�5�V�2 �" 5�N�25�X�) , 5�O�5�V� 2) = 5�O�5�V� 1) - 5�Y�5�V�2 �" 5�O�21), przy 5�Y�5�V�2 = oraz 5�V�, 5�X� = 3, 4, & , 5�A�
(1)
5�N�22
1
R. Salamon: MATLAB. Podstawy i zastosowania. PGWETI KSEM Gdańsk 2008
8
�� Powyższe postępowanie stosujemy do otrzymanego w drugim kroku równania (20b) i kolejno w
następnych krokach do następnych równań ze zwiększającą się ilością zer pod przekątną główną
przetwarzanej macierzy; po (N-1) krokach otrzymujemy
5�N�11 5�N�12 5�N�13 & 5�N�15�A� 5�e�1 5�O�1
(1) (1) (1)
(1)
0 5�N�22 5�N�23 & 5�N�25�A� 5�e�2
5�O�2
(2) (2)
(2)
0 0 5�N�33 & 5�N�35�A� 5�e�3
5�O�3
�" = (21)
&
& & & & &
&
(5�A�-1)
(5�A�-1)
0 0 0 & 5�N�5�A�5�A� [5�e�5�A�]
[ ] 5�O�5�[�
[ ]
gdzie
( ( ( ( ( (
5�`� 5�`�-1 5�`�-1
5�N�5�V�5�X�) = 5�N�5�V�5�X� ) - 5�Y�5�V�5�`� �" 5�N�5�`�5�X� ) , 5�O�5�V� 5�`�) = 5�O�5�V� 5�`�-1) - 5�Y�5�V�5�`� �" 5�O�5�`�5�`�-1) ,
(
5�`�-1
5�N�5�V�5�`� )
(
0
przy 5�Y�5�V�5�`� = , 5�`� = 1, 2, & , 5�A�-1, 5�V� = 5�`�+1, 5�`�+2, & , 5�A�, 5�X� = 5�V�-1, 5�V�, & 5�A� (przy czym 5�N�5�]�5�^�) = 5�N�5�]�5�^�).
(
5�`�-1
5�N�5�`�5�`� )
W przypadku macierzy z przykładu liczbowego (15) po kroku pierwszym, drugim i trzecim otrzymujemy
kolejno:
2 2
5�e�1 28 -3 4 5 5�e�1 28 -3 4 5 5�e�1 28
2 -3 4 5
0 10 -16 -8 5�e�2 -60 0 10 -16 -8 5�e�2 -60 0 10 -16 -8 5�e�2 -60
�" = , �" = , �" = .
38 43 38 43
3 11
5�e�3 -49 0 0 - - 5�e�3 -40 0 0 - - 5�e�3 -40
0 - -10 -
5 10 5 10
2 2
3 46 725 725
[0 1 -1 -10] [5�e�4] [-41] [5�e�4] [-35] [5�e�4]
[0 0 - ] [0 0 0 - ] [- ]
5 5 76 19
(22)
Równanie skalarne reprezentowane przez ostatni wiersz ostatniego z równań macierzowych (22) jest
725 725
równaniem z jedną niewiadomą (konkretnie równaniem - 5�e�4 = - ), co pozwala na łatwe obliczenie wiel-
76 19
kości 5�e�4 i następnie wdrożenie procedury wstecznego obliczania kolejno 5�e�3, 5�e�2, 5�e�1. Jednak zajmiemy się dalej
pewnym wariantem metody Gaussa noszącym nazwę metody LU. Polega ona na przyjęciu lewostronnej ma-
cierzy ze wzoru (21) jako macierzy 5�|� (trójkątna górna) i utworzeniu dodatkowej macierzy 5�s� (trójkątnej dolnej)
zbudowanej ze współczynników 5�Y�5�V�5�`� . Dla przypadku macierzy o wymiarach 4x4 (5�A� = 4) otrzymujemy
5�N�11 5�N�12 5�N�13 5�N�14
1 0 0 0
(1) (1) (1)
0 5�N�22 5�N�23 5�N�24
5�Y�21 1 0 0
5�|� = , 5�s� = (23)
(2) (2)
0 0 5�N�33 5�N�34
5�Y�31 5�Y�32 1 0
(3)
0 0 0 5�N�44
[ ]
[5�Y�41 5�Y�42 5�Y�43 1]
Macierze te oprócz intrygującej formy graficznej mają następujące pożyteczne właściwości
| | | | | |
5�s� " 5�|� = 5�h�, 5�s� = 1, 5�h� = 5�|� (24)
Wzory (23) i (24) wskazują na korzystniejszy od tradycyjnego sposób obliczania wyznacznika macierzy 5�h�;
dodajmy, sposób wykorzystywany w operacji det(A) MATLAB-a.
Poszukiwanie wektora rozwiązań 5ؙ� możemy teraz przedstawić w postaci
5�s� " 5�|� " 5ؙ� = 5؃� ,
(25)
5ؚ� = 5�s�-5�� " 5؃� ,
5ؙ� = 5�|�-5�� " 5ؚ� ,
gdzie 5ؚ� to pomocniczy wektor kolumnowy w procedurze (25).
Dla rozważanego przykładu liczbowego (15) mamy
5�e�1
2 -3 4 5 28
5�e�
-4
5�h� = [4 4 -8 2], "5؃� = [ , "5ؙ� = [5�e�2], 5�h� �" 5ؙ� = 5؃�, 5�h� = 5�s� �" 5�|�, (26)
3 -3 -4 2 -7]
3
5�e�4
-13
2 -2 3 -5
9
1 3 -1 4
1 0 0 0
2 -3 4 5
2 20 19 25
1 -4 8
2 1 0 0
0 10 -16 -8 0
10 19 725
3 3
"5�|� = i 5�|�-5�� = , 5�s� = i 5�s�-5�� =
-38 -43
-5 43
1 0
0 0
0 0
2 20
5 10
38 725
1 3
-725
-76
[0 0 0 ] [1 - 1]
76
10 38
[0 0 0 ]
725
1 0 0 0
-2 1 0 0
-6 -3
1 0
5 20
-17 -17 3
1
[ ]
19 152 38
28
1
-60
5ؚ� = 5�s�-5�� " 5؃� = , 5ؙ� = 5�|�-5�� " 5ؚ� = [2]
-40
3
-725
4
[ ]
19
Wykonane w MATLAB-ie przeliczenia zgodne z (25), ale o ograniczonej dokładności, dają w rezultacie
28 1.0003
-60
5ؚ� = [ ], 5ؙ� = [2.0000]. (27)
-40 3.0001
-38.1560 3.9998
Widoczna jest niewielka różnica w porównaniu do rozwiązania (18) i (26) otrzymanego na drodze anali-
tycznej bez stosowania ograniczonej długości reprezentacji dziesiętnej ułamków.
Eliminację Gaussa prowadzącą do otrzymania macierzy LU można także zastosować nie do oryginalnego
równania (15), tylko do układu równań z przestawionymi wierszami. Najbardziej oczywista potrzeba przesta-
wienia wierszy może w ramach algorytmu eliminacji wynikać z potrzeby ominięcia sytuacji dzielenia przez
zero, ale możemy także w ten sposób zwiększać dokładność obliczeń.
Wspomnianą optymalizację dokładności obliczeń w odniesieniu do układu równań (19) otrzymujemy
w MATLAB-ie po zastosowaniu do dekompozycji funkcji lu MATLAB-a z argumentami wyjściowymi 5�s�, 5�|�, 5�w�:
[L,U,P] = lu(A). (28)
Funkcja ta w miejsce macierzy 5�h� zwraca nam trzy macierze, które możemy podstawić do równania (19). Po
podstawieniu, zapis tego równania przyjmuje postać
5�w� " 5�s� " 5�|� " 5ؙ� = 5؃� . (29)
Zawierająca informację o przestawieniach wierszy macierz 5�w� ma następujące właściwości
5�w� = 5�w�-5��, | |
5�w� = 1 . (30)
Stąd rozwiązanie równania (19) możemy w tym przypadku uzyskać na podstawie wyrażenia
5�s� " 5�|� " 5ؙ� = 5؃�5�ę� (31)
gdzie
5؃�5�ę� = 5�w� " 5؃�.
W celu ilustracji rozważań powróćmy jeszcze raz do przykładu liczbowego (15).
Po dekompozycji [L, U, P], wykonanej matlabowym poleceniem lu(A), otrzymujemy
0 1 0 0 1 0 0 0 4 4 -8 2
0 0 -6 2 0.5
5�w� = [0 0 1 0] , 5�s� = [0.75 1 ], 5�|� = [0 ].
1 0 0 0 0.5 0.83333 1 0 0 0 6.33333 3.58333
0 0 0 1 0.5 0.66667 0.89474 1 0.5 0.6667 0.89474 -9.53948
(32a)
Wtedy według równań (25) po uwzględnieniu w nich zmian (31) otrzymujemy:
10
-4
-4 1
-7
-4
5؃�5�ę� = [ ], 5ؚ�5�ę� = 5�s�-5�� " 5؃�5�ę� = [ ], 5ؙ� = 5�|�-5�� " 5ؚ�5�ę� = [2] (32b)
28 33.33333 3
-38.15790 4
-13
Zauważmy, że po porównaniu macierzy 5؃�5�ę� z macierzą 5؃� dysponujemy informacją, że w równaniu (15)
w trakcie działania procedury wiersz numer 1 został przesunięty w miejsce wiersza numer 3, co oczywiście
wynika także bezpośrednio z postaci macierzy permutacji 5�w� (ściśle rzecz biorąc, macierz ta mówi nam, w tym
konkretnym przypadku, że nowym pierwszym wierszem ma być stary wiersz drugi, nowym drugim wierszem
ma być stary wiersz trzeci, nowym trzecim wierszem ma być stary wiersz pierwszy, wreszcie nowym czwartym
wierszem ma pozostać stary wiersz czwarty).
Realizując poleceniem lu(A)opisaną powyżej procedurę stosujemy optymalizowaną dekompozycję
[L, U, P] w sposób jawny, ale oprócz tego dekompozycja taka jest automatycznie wykonywana niejawnie
w ramach następujących poleceń MATLAB-a:
�� w przypadku równania postaci (16), gdy je rozwiązujemy poleceniem
x=A\b (33)
�� w przypadku obliczania wyznacznika macierzy A
DA = det(A) (34)
4. Pliki MATLAB-a do wspomagania analizy obwodów
function [x]=cramer(A,b)
%Metoda Cramera rozwiązywania układów równań liniowych
%Zapis układu równań A*x=y
N=rank(A);
for k=1:N
K=A(:,k); % Kolumna o numerze k w macierzy A na starcie
A(:,k)=b; % Macierze A , A ,& ,A
1 2 m
DK(k)=det(A); % Wyznaczniki D , D ,& ,D
1 2 m
A(:,k)=K; %Powrót do startowej postaci macierzy A
end
D=det(A); % Wyznacznik główny
x=DK./D; % Tablicowe dzielenie wyznaczników
%Koniec cramer.m
function [LA,UA]=dekompozycja(A)
% Dekompozycja (rozkład) macierzy A na dwie macierze
% trójkątną-dolną LA i trójkątną- górną UA
N=rank(A); % Określa liczbę niezależnych równań
el=eye(N); % Generuje macierz z "jedynkami" na głównej przekątnej
a=zeros(N); % Generuje macierz wypełnioną zerami
a=A; % Przepisuje elementy macierzy
for s=1:(N-1) % Litera s oznacza numer kroku w metodzie Gaussa
% Litery i oraz k oznaczają numery wiersza i kolumny
n=s+1;
for i=n:N
el(i,s)=a(i,s)/a(s,s)
for k=s:N
a(i,k)=a(i,k)-el(i,s)*a(s,k);
end
end
end
LA=el; % Macierz trójkątna dolna
UA=a; % Macierz trójkątna górna
% Koniec dekompozycja.m
Cw2_1.m
%***Program wspomagający poszukiwanie prądów oczkowych***
%
R=[1,2,3,4,5,6,7,8];E1=10;J3=5; g=5; % dane o obwodzie (opory,zródła)
%
Roo= [R(1)+R(2)+R(5) , -R(5) , -R(2) , 0 ;
11
-R(5) , R(5)+R(7)+R(8) , 0 , -R(7) ;
-R(2) , 0 , R(2)+R(3)+R(4), -R(4) ;
-g*R(6)*R(5) , -R(7)+g*R(6)*R(5), -R(4) ,R(4)+R(6)+R(7)];
%
% Roo to macierz współczynników (macierz oporności oczkowych)
%
E=[E1;0;-J3*R(3);0]; %wektor pobudzeń (wektor prądów zródłowych)
%
Io_cramer=cramer(Roo,E) %metoda wyznaczników Cramera
%
[LRoo,URoo]=dekompozycja(Roo) %nasz wariant LU metody Gaussa
y=(LRoo^(-1))*E; %wektor pomocniczy y
Io_gauss_lu=(URoo^(-1))*y %wektor prądów oczkowych
%
Io_lup=Roo\E %matlabowy [L,U,P] wariant metody Gaussa
5. Symulacja obwodu elektrycznego za pomocą programu SPICE
W narzędziach symulacyjnych rodziny SPICE poszukiwanie rozwiązania układu równań liniowych jest
oparte na tej samej metodzie numerycznej LU, która jest opisana w rozdziale 3. Jednak w odróżnieniu od
właściwości narzędzia MATLAB, nie ma w programie SPICE dla WINDOWS potrzeby zewnętrznego formuło-
wania równań opisujących obwód. Na przykład w edytorze narzędzia Micro-Cap (jest to odmiana SPICE a)
tworzymy wirtualny obwód złożony: ze zródeł niezależnych, zródeł sterowanych, rezystorów, cewek induk-
cyjnych i kondensatorów i w miarę potrzeby z innych elementów pochodzących z banku elementów tego
narzędzia. Wczesne wersje narzędzia SPICE i jego odmian do wprowadzania danych o obwodzie, w tym o
jego strukturze, zamiast edytora graficznego wykorzystywały tzw. tablicę połączeń. W ten sposób SPICE i po-
krewne jemu narzędzia w zewnętrznym oglądzie raczej symulują właściwości obwodu niż wspomagają
poszukiwanie rozwiązań równań opisujących taki obwód. Pomijamy sposób, w jaki to czynią, zauważymy
tylko, że nie wykorzystują równań oczkowych, a stosują równania węzłowe uogólnione (o czym w trakcie
następnego ćwiczenia).
Z wielu wariantów SPICE a w laboratorium jest do dyspozycji narzędzie Micro-Cap w wersjach demon-
stracyjnych 10 i 11. Obwód prądu stałego z rysunku 2a, wprowadzony do programu Micro-Cap wygląda jak na
rysunku 4.
Rysunek 2a i rysunek 4 różnią się przede wszystkim dodatkowymi fragmentami, które pojawiły się z tego
względu, że w banku elementów narzędzia Micro-Cap mamy rysunki zródeł sterowanych w postaci czwórni-
kowej. Edytor nie pozwala na wygodny sposób określania kierunków odniesienia dla przepływu prądów w ga-
łęziach oraz nadawania numerów porządkowych węzłów, jednak z tym poradziliśmy sobie, jak widać. We
wprowadzonym do edytora programu obwodzie można poprzez kliknięcie myszką w obrębie wybranego ele-
mentu zmienić w otwierającym się wtedy okienku wartość liczbową parametru (E1, J3, g, R1, R2,& , R8) (na
rysunku 4 mamy przykładowo R1=1 [�], g6= 5 [S]1).
Rys. 4. Schemat obwodu z rys. 2a utworzony w programie Micro-Cap
1
g6=5 [S] to parametr zwany transkonduktancją i oznaczany wcześniej przez g dla ZPSN, oznaczonego na rysunku 4 przez I9ofU5,
rozpiętego między zaciskami (0, 3) wejście i (4, 5) wyjście (uwaga: węzeł 0, to węzeł masy).
12
Jeżeli z kilku wariantów badania obwodu DC (prądu stałego) wybierzemy Dynamic DC otrzymamy na-
pięcia węzłowe (V1, V2, V3, V4), czyli między innymi potencjały każdego z ponumerowanych węzłów wzglę-
dem napięcia odniesienia (masa, ziemia) oraz prądy gałęziowe (I1, I2, & , I9). Jeżeli dodatkowo zrealizujemy
w polach tekstowych pewne działania arytmetyczne, możemy uzyskać zestaw wyników liczbowych, widoczny
na rysunku 4 w prawej jego części, potrzebny do sprawdzenia poprawności wyników naszych obliczeń wspo-
maganych narzędziem MATLAB.
Pytania kontrolne
1) Na czym polega tzw. metoda LU rozwiązywania układu równań liniowych?
2) Podać szczegóły tworzenia tzw. zródła Thevenina dla wieloelementowego obwodu liniowego.
3) Podać szczegóły tworzenia tzw. zródła Nortona dla wieloelementowego obwodu liniowego.
4) Podać szczegóły metody rozwiązywania układu równań liniowych związanej z nazwiskiem Cramera.
5) W jaki sposób wprowadzamy dane badanego obwodu do programu Micro-Cap?
6) Na czym polega tzw. dekompozycja LU macierzy współczynników obwodu?
7) Przez element zwierający zaciski dwójnika liniowego płynął prąd 2 A, a gdy ten element zwierający
zastąpiono opornikiem 1 �, to przez ten opornik płynął prąd 1 A. Podaj parametry zastępczego zródła
Thevenina dla tego dwójnika. Odpowiedz uzasadnij.
8) Co to jest strzałkowanie skojarzone?
9) Objaśnij jak jest rozumiane MATLAB-owe dzielenie A\b oraz objaśnij czym są (macierze, wektory,
wymiary) poszczególne elementy (A, b, wynik) tego działania.
5�e�
10) Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa równanie [1 1] �" [5�e�1 ] = [3]. Zapisz kolejne kroki obliczeń.
4 2 2 8

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Instr Cw6 16 odblokowany
Instr monma ćw2
instr wykonawcza cw2
spalanie labor instr?rodynamika
Benedykt XVI 2007 07 07 list apostolski Summorum Pontyficum instr
ZPT 03 Specyfikacja wymagan odblokowany
Rch instr
opal instr
Lab transopt instr
Auto alarm Digital Tytan DS200 instr obslugi

więcej podobnych podstron