1
Zadanie 1.
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest średnią
arytmetyczną drugiej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. Oblicz sinusy
kątów ostrych tego trójkąta.
Zadanie 2.
Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116. Oblicz pole tego trapezu, jeśli
długości ramienia i podstaw trapezu są (w podanej kolejności) trzema
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego oraz długość odcinka łączącego
środki ramion trapezu wynosi 41.
Zadanie 3.
Udowodnij, że jeżeli cztery liczby dodatnie i są kolejnymi wyrazami
ciągu geometrycznego, to .
Zadanie 4.
Dane są dwa różne ciągi: arytmetyczny i geometryczny. Każdy z nich składa
się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze i ostatnie wyrazy tych ciagów są
równe. Suma wyrazów którego ciągu jest większa?
Zadanie 5.
Wykaż, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego zachodzi
równość , gdzie oznacza sumę początkowych wyrazów
ciągu.
Zadanie 6.
Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem dla .
Sprawdz
, którym wyrazem ciągu jest liczba .
Wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu są wyrazy będące
liczbami całkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów.
Zadanie 7.
Udowodnić, że w dowolnym trójkącie prostokątnym, w którym długości
boków tworzą ciąg arytmetyczny, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
jest równy różnicy ciągu długości jego boków.
Zadanie 8.
Ciąg określony jest w taki sposób: , zaś -ty wyraz ciągu ,
gdy , jest największym dzielnikiem liczby mniejszym od . Ile wyrazów
ciągu jest równych 2? Odpowiedz
uzasadnij.
Zadanie 9.
Ciąg arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o
numerach parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach
nieparzystych jest równa 240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu.
Witek