MEiL  Mathematical Methods of Mechanics II
Test 1
17th of November 2009
1. [5p] Let u(x) = (u1(x), ..., un(x)) be a vector field, with x " Rn and let U(x) = [uij(x)]i,j=1,...,n be a
matrix such that uij(x) = ui(x)uj(x). Suppose that div u = 0. Show that then div U = (u · ")u.
Notice: If
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 ... a1n div(a11, ..., a1n)
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 ... a2n ÷Å‚ div(a21, ..., a2n)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
A = is a matrix, then div A = .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
... ... ... ...
an1 ... ann div(an1, ..., ann)
2. [5p] Let A ‚" R and
1, if x " A
ÇA(x) =
0, if x " A.
/
(a) [2p] Compute Ç[0,1].
Ć
(b) [3p] Compute (Ç[0,1] Ç[0,1])Ć.
3. [5p] Let u be a solution to the heat equation with Neumann boundary conditions
ut(t, x) = uxx(t, x), t > 0, x " (0, 1)
ux(t, 0) = ux(t, 1) = 0, t > 0
u(0, x) = u0(x).
1
Prove that E(t) = [ux(t, x)]2 dx is monotonically decreasing.
0
4. [5p] Solve the following problem by using the separation of variables method:
ut(t, x) = 3uxx(t, x), t > 0, x " (0, 2)
u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t > 0
3
u(0, x) = 3 sin Ä„x + 5 sin(3Ä„x).
2
5. [5p] Suppose that u solves the wave equation
utt(t, x) = 4uxx(t, x), t > 0, x " (0, 1)
u(0, x) = x(1 - x)
ut(0, x) = sin(Ä„x)
u(t, 0) = t
u(t, 1) = t2.
1 2
Compute u(t, x) for t = and x = .
2 3
Hint: Use Goursat s rule  draw the appropriate parallelogram.
Good luck!
MEiL  Matematyczne Metody Mechaniki II
Kolokwium 1
17 listopada 2009
I
1. [5p] Wyjaśnij zasadę Goursate a dla równania falowego utt = 4uxx.
2. [5p] Niech A ‚" R oraz
1, gdy x " A
ÇA(x) =
0, gdy x " A.
/
Oblicz f = Ç[0,1] Ç[0,1] oraz naszkicuj wykres f.
3. [5p] Niech u będzie gładkim rozwiązaniem równania falowego
utt(t, x) = uxx(t, x), t > 0, x " (0, 1)
t
u(t, 0) = u(t, 1) = , t > 0
2009
u(0, x) = u0(x),
ut(0, x) = u1(x).
1
1
Udowodnij, że funkcja E(t) = u2 (t, x) + u2 (t, x) dx jest stała.
xt xx
2 0
4. [5p] Metodą rozdzielania zmiennych rozwiąż równanie przewodnictwa ciepła z tłumieniem:
ut(t, x) = uxx(t, x) - 2u(t, x), t > 0, x " (0, 1)
u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t > 0
u(0, x) = 2 sin(5Ä„x).
5. [5p] Policz, że jeśli u jest rozwiązaniem równania falowego utt(t, x) = 4"u(t, x) dla t > 0 i x " Rn, to
v(t, x) = x · "u(t, x) + tut(t, x) także jest rozwiÄ…zaniem tego równania.
Powodzenia!
MEiL  Metody Matematyczne Mechaniki II
Kolokwium 1
17 listopada 2009
II
1. [5p] Podaj wzór d Alebmerta dla rozwiązania równania falowego
utt(t, x) = 4uxx(t, x), t > 0, x " R
u(0, x) = u0(x)
ut(0, x) = u1(x).
Z jaką prędkością rozchodzą się zaburzenia?
2. [5p] Niech A ‚" R oraz
1, gdy x " A
ÇA(x) =
0, gdy x " A.
/
Oblicz f = Ç[-1,0] Ç[-1,0] oraz naszkicuj wykres f.
3. [5p] Niech u będzie gładkim rozwiązaniem równania falowego
utt(t, x) = uxx(t, x), t > 0, x " (0, 1)
u(t, 0) = u(t, 1) = 2009t, t > 0
u(0, x) = u0(x),
ut(0, x) = u1(x).
1
1
Udowodnij, że funkcja E(t) = u2 (t, x) + u2 (t, x) dx jest stała.
xt xx
2 0
4. [5p] Metodą rozdzielania zmiennych rozwiąż równanie przewodnictwa ciepła z wymuszeniem:
ut(t, x) = uxx(t, x) + 3u(t, x), t > 0, x " (0, 1)
u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t > 0
u(0, x) = 3 sin(2Ä„x).
5. [5p] Sprawdz
, że jeśli u jest rozwiązaniem równania falowego utt(t, x) = 9"u(t, x) dla t > 0 i x " Rn,
to v(t, x) = x · "u(t, x) + tut(t, x) także jest rozwiÄ…zaniem tego równania.
Powodzenia!