Strona tytułowa
Krzysztof Kisiel
Dalej
Wykład 1
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
1. Instalacja Turbo Pascala:
" uruchomić INSTAL.EXE (znajduje się na dyskietce instalacyjnej
Enter podać nazwę napędu, w którym będą umieszcza-
ne kolejne dyskietki dystrybucyjne (zwykle A:\) wybierz
Dalej
opcję Install Turbo Pascal a Hard Drive (instalacja na dysku
twardym) Enter w pozycji Base directory (katalog ma-
cierzysty) naciśnij Enter efekt: zmiana domyślnej ścieżki
(C:\TP)-nie jest to zalecane!!! proces instalacji
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
2. Konfiguracja Turbo Pascala:
" umieścić w pliku CONFIG.SYS wiersz: files=20 (komenda
dopuszcza otwarcie przez DOS jednocześnie do 20 plików)
Dalej " napisać makroplecenie w pliku TURBO.BAT o treści:
@c : \tp7 \ bin \ turbo.exe %1 %2 %3 %4
znak @ powoduje,że nie zostaje wyświetlone na ekranie po-
lecenie zawarte w pliku TURBO.BAT podczas jego wywo-
łania, symbole %..% oznaczają parametry makropolecenia,
Cofnij
które zostaną przekazane wywołanemu programowi (zwykle
pierwszym jest nazwa pliku z
ródłowego)
" Przykładowe wywołanie:
turbo prog spowoduje wywołanie polecenia:
Pełny ekran
c : \tp7 \ bin \ turbo.exeprog
czyli wywołanie Turbo Pascala (TURBO.EXE) z katalogu
c : \tp7 \ bin i przekazanie mu jako argumentu wywołania
nazwy programu PROG.PAS

" Makropolecenie (plik TURBO.BAT) o kórym mowa warto
umieścić w katalogu C : \BAT
" Nazwę katalogu umieszczamy w zmiennej środowiskowej path
" Definicję tej zmiennej wpisujemy do pliku AUTOEXEC.BAT:
Wyjdz

path = c : \dos; c : \bat;
Strona tytułowa
3. Podstawowe komendy IDE-Integrated Development Envi-
ronment(Zintegrowanego Środowiska TP)
" Turbo Pascal uruchamiamy poleceniem turbo (a dokładnie
C : \BAT \ turbo z poziomu DOS)
Dalej
W przypadku nieskonfigurowania należy pisać pełną ścieżkę
dostępu:
c : \tp7 \ bin \ turbo.exe prog
" File - operacje na plikach z tekstami z
ródłowymi (odczyt,
Cofnij
zapis...)
" Edit - redagowanie tekstu programu
" Search- menu przeszukiwania tekstu programu i lokalizacji
błedów
Pełny ekran
" Run - wykonanie programu i czynności z nim związanych
" Compile - kompilacja programu
" Debug - menu debuggera - jest to program uruchomieniowy,

używany do testowania i uruchamiania pisanych programów
" Break \ W atch - menu śledzenia zmiennych i obsługi punk-
tów wstrzymania
" Tools - menu dodatkowych programów narzędziowych
Wyjdz

" Options - menu konfigurowania elementów środowiska (kom-
pilatora, edytora itp.)
" Window -menu obsługujące okienka IDE
" Help - menu suflera
Strona tytułowa
" Niektóre polecenia można wykonać w sposób skrócony przy
użyciu klawiszy skrótu:
F3 - odczyt tekstu programu z dysku
Alt + X - wyjście z IDE
Dalej F2 - zapis tekstu programu na dysk
F1 - pomoc
Ctrl + Ins - skopiowanie bloku tekstu
Shift + Ins - wklejenie skopiowanego bloku tekstu
Crtl + Delete - skasowanie zaznaczonego bloku tekstu
Cofnij
Shift+ ę! (�! , , �!) - zaznaczanie bloku tekstu, trzeba
kursor umieścić na samym początku tekstu.
F9 - kompilacja programu
Crtl+F9 - uruchomienie programu
Alt+F5 - obejrzenie wyników działania programu
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
4. Struktura i elementy prostego programu
" Użyj polecenia New z menu File, co spowoduje otwarcie okna
edytora, w którym można pisać kod programu
Dalej " Kod programu:
program T1;
begin {poczatek programu}
Cofnij
writeln( Pierwszy program ); {wypisanie tekstu na monitor}
end. {koniec programu}
" Słowo kluczowe program komunikuje kompilatorowi, że tekst
znajdujący się po nim ma zostać przetłumaczony(skompilowany)
Pełny ekran
do postaci wykonywalnej (pod nadzorem IDE lub poza IDE
czyli z poziomu systemu operacyjnego)
" Słowa kluczowe - są to słowa stanowiące gramatykę języka
programowania, nie można przy ich użyciu tworzyć obiektów

(stałe, zmienne) lub nazw
" znak ; - pełni w Pascalu rolę separatora, oddzielającego po-
szczególne instrukcje i deklaracje
" tytuł programu - może być dowolnym ciągiem dużych lub
Wyjdz

małych liter (litery duże i małe nie są rozróżnialne w TP),
cyfr i podkreśleń, ale nie może zaczynać się od cyfry.
Tytuł pełni jedynie rolę informacyjną i nie ma wpływu na
wynik programu
Strona tytułowa
" {} - w nawiasach klamrowych umieszczony jest komentarz
ignorowany przez kompilator
" Zasadnicza część programu znajduje się między słowami klu-
czowymi begin i end z kropą
Dalej
Słowa begin i end bez kropki są w Pascalu ogranicznikami
instrukcji złożonej czyli nawiasami spajającymi grupy in-
strukcji wykonywanych jako całość.
end. - oznacza koniec tekstu z
ródłowego programu (dalej
nie wolno nic pisać)
Cofnij
" writeln(  ) - oznacza wywołanie standardowej procedury
wypisującej tekst na ekranie monitora, w nawiasach () został
ulokowany argument procedury, w naszym przypadku jest to
dana typu string - łańcuch znaków, który zawsze ujmujemy
Pełny ekran
w apostrofy   .
5. F9 Ctrl+F9 Alt+F5 F2 F3

Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 1 [5] Jeżeli f : X R jest funkcją lokalnie lipschitzowską
w x " X, to uogólniona pochodna kierunkowa (w sensie Clarke a)
funkcji f w x " X w kierunku v " Rn, oznaczana przez f0(x, v), dana
jest wzorem
f(y + tv) - f(y)
Dalej
f0(x, v) = lim sup .
t
y x
t �! 0
Cofnij Definicja 2 [5] Uogólniony gradient funkcji f w x " X, oznaczany
przez "f(x), jest zdefiniowany następująco:
"f(x) = {� " Rn : f0(x, v) �, v dla kadego v " Rn}.
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 3 [3]. Niech f : X R będzie funkcją lokalnie lipschitzow-
ską na niepustym zbiorze X �" Rn oraz niech x " X. Jeżeli istnieją
funkcja � : X � X Rn i liczba rzeczywista � taka, że nierówność
f(x) - f(x) �, �(x, x) + � x - x 2, (1)
Dalej
zachodzi dla każdego � " "f(x) oraz dla każdego x " X, to f na-
zywamy (lokalnie lipschitzowską) � - niezmienniczo wypukłą rzędu 2
względem funkcji � w punkcie x na X. Jeżeli � > 0, to f nazywamy
Cofnij
silnie niezmienniczo wypukłą rzędu 2. Jeżeli � = 0, to f jest funk-
cją niezmienniczo wypukłą. Jeżeli natomiast � < 0, to f jest słabo
niezmienniczo wypukłą rzędu 2. Jest oczywiste, że silna niezmiennicza
wypukłość rzędu 2 �! słaba niezmiennicza wypukłość rzędu 2. Jeżeli
zależność (1) jest spełniona dla dowolnego punktu x " X, to funkcję
Pełny ekran
f nazywamy � - niezmienniczo wypukłą rzędu 2 względem funkcji � na
X.

Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 4 Funkcjonał F : X � X � Rn R jest subliniowy ze
względu na trzeci argument, jeżeli dla dowolnego x, x " X, następujące
nierówności
F (x, x, q1 + q2) F (x, x, q1) + F (x, x, q2), (2)
Dalej
F (x, x, ąq) = ąF (x, x, q), (3)
są spełnione dla każdego ą 0 oraz q, q1, q2 " Rn.
Cofnij
Uwaga 5 Zauważmy, że jeżeli funkcjonał F jest subliniowy ze względu
na trzecią zmienną, to F (x, x, 0) = 0.
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Uogólnimy teraz definicję różniczkowalnych funkcji (F, �) - wypukłych
wprowadzonych przez Predę [1] na przypadek funkcji lokalnie lipschit-
zowskich.
Definicja 5 Niech f : X R będzie funkcją lokalnie lipschitzow-
Dalej
ską na niepustym zbiorze X �" Rn oraz niech x " X. Jeżeli istnieją
rzeczywista liczba � i pewien subliniowy funkcjonał F (x, x, �) takie, że
następująca nierówność
Cofnij
f(x) - f(x) F (x, x, �) + � x - x 2, (4)
zachodzi dla każdego � " "f(x) oraz dla każdego x " X, to funkcję f
nazywamy (lokalnie lipschitzowską) (F, �) - wypukłą rzędu 2 w punkcie
x na X. Jeżeli � > 0, to funkcję f nazywamy silnie (F, �) - wypukłą
Pełny ekran
rzędu 2. Jeżeli � = 0, to funkcję f nazywamy F - wypukłą. Jeżeli � < 0,
to funkcję f nazywamy słabo (F, �) - wypukłą rzędu 2. Jest oczywiste,
że silna (F, �) - wypukłość rzędu 2 �! słaba (F, �) - wypukłość rzędu 2.
Jeżeli relacja (4) jest spełniona dla dowolnego x " X, to f nazywamy

(F, �) - wypukłą rzędu 2 na X.
Uwaga 6 Zuaważmy, że jeżeli F (x, x, �) = �, �(x, x) , to funkcja
f jest (lokalnie lipschitzowska) � - niezmienniczo wypukła względem
funkcji � w sensie definicji Jeyakumara (patrz [3] ). (Definicja 3).
Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 6 Niech f : X R będzie funkcją lokalnie lipschitzowską
na niepustym zbiorze X �" Rn oraz niech x " X. Jeżeli istnieją licz-
ba rzeczywista � oraz pewien subliniowy funkcjonał F (x, x, �) takie, że
relacja
Dalej F (x, x, �) 0 �! f(x) f(x) + � x - x 2, (5)
zachodzi dla każdego � " "f(x) oraz dla każdego x " X, to funkcję f
nazywamy (lokalnie lipschitzowską) (F, �) - pseudowypukłą rzędu 2 w
punkcie x na X. Jeżeli � > 0, to funkcję f nazywamy silnie (F, �) -
pseudowypukłą rzędu 2. Jeżeli � = 0, to funkcję f nazywamy F - pseu-
Cofnij
dowypukłą. Jeżeli � < 0, to funkcję f nazywamy słabo (F, �) - pseu-
dowypukłą rzędu 2. Jest oczywiste, że silna (F, �) - pseudowypukłość
rzędu 2 �! słaba (F, �) - pseudowypukłość rzędu 2. Jeżeli zależność (5)
jest spełniona dla dowolnego x " X, to funkcję f nazywamy (F, �) -
Pełny ekran
pseudowypukłą na X.

Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 7 Niech f : X R będzie funkcją lokalnie lipschitzowską
na niepustym zbiorze X �" Rn oraz niech x " X. Jeżeli istnieją liczba
rzeczywista � oraz subliniowy funkcjonał F (x, x, �) takie, że następują-
ca relacja
Dalej
f(x) f(x) + � x - x 2 �! F (x, x, �) 0, (6)
zachodzi dla każdego � " "f(x) oraz dla każdego x " X, to funkcję
f nazywamy (lokalnie lipschitzowską) (F, �) - quasiwypukłą rzędu 2 w
Cofnij
punkcie x na X. Jeżeli � > 0, to funkcję f nazywamy silnie (F, �)
- quasiwypukłą rzędu 2. Jeżeli � = 0, to funkcję f nazywamy F -
quasiwypukłą. Jeżeli � < 0, to funkcję f nazywamy słabo (F, �) - qu-
asiwypukłą rzędu 2. Jest oczywiste, że silna (F, �) - quasiwypukłość
rzędu 2 �! słaba (F, �) - quasiwypukłość rzędu 2. Jeżeli zależność (6)
Pełny ekran
jest spełniona dla dowonego x " X, to funkcję f nazywamy (F, �) -
quasiwypukłą rzędu 2 na X.

Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 8 Niech f : X R będzie funkcją lokalnie lipschitzowską
na niepustym zbiorze X �" Rn oraz niech x " X. Jeżeli istnieją licz-
ba rzeczywista � oraz pewien subliniowy funkcjonał F (x, x, �) takie, że
relacja
Dalej F (x, x, �) 0 �! f(x) > f(x) + � x - x 2, (7)
zachodzi dla każdego � " "f(x) oraz dla każdego x " X, x = x, to

funkcję f nazywamy (lokalnie lipschitzowską) ściśle (F, �) - pseudowy-
pukłą rzędu 2 w punkcie x na X. Jeżeli � > 0, to funkcję f nazywamy
ściśle silnie (F, �) - pseudowypukłą rzędu 2. Jeżeli � = 0, to funkcję
Cofnij
f nazywamy ściśle F - pseudowypukłą. Jeżeli � < 0, to funkcję f na-
zywamy ściśle słabo (F, �) - pseudowypukłą rzędu 2. Jest oczywiste,
że ściśle silna (F, �) - pseudowypukłość rzędu 2 �! ściśle słaba (F, �)
- pseudowypukłość rzędu 2. Jeżeli związek (7) jest spełniony dla do-
Pełny ekran
wolnego x " X, to funkcję f nazywamy ściśle (F, �) - pseudowypukłą
rzędu 2 na X.

Wyjdz

Strona tytułowa
Zakładamy, że funkcje f : Rn R, gi : Rn R, i = 1, 2, ..., m są
lokalnie lipschitzowskie i określone na Rn. Będziemy używać oznaczeń
I = {1, ..., m},
Dalej
I(x) = {i : gi(x) = 0},
oraz
D := {x " Rn : gi(x) 0, "i " I}.
Cofnij
Zbiór D nazywamy zbiorem punktów dopuszczalnych. Rozważmy na-
stępujące zadanie programowania matematycznego:
f(x) min, x " D, (P)
Pełny ekran
Ponadto zakładamy, że x jest ustalonym punktem zbioru D.

Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 9 Mówimy, że x jest punktem ścisłego minimum lokalnego
rzędu 2 dla zadania (P ), jeżeli istnieje otoczenie U punktu x i dodatnia
liczba rzeczywista � takie, że
f(x) f(x) + � x - x 2, dla kadego x " D )" U. (8)
Dalej
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Uogólnione warunki Karusha-Kuhna-Tuckera:
�ł �ł

0 " "�łf + igiłł(x), (9)
i"I
Dalej
igi(x) = 0, i " I, (10)
i 0, i " I. (11)
Cofnij
Ponieważ w ogólnym przypadku dla funkcji lipschitzowskich zachodzi
inkluzja
"(f + g) ą" "f(x) + "g(x),
to warunek (9) implikuje
Pełny ekran

0 " "f(x) + i"gi(x), (12)
i"I
�ł �ł


0 " "f(x) + "�ł igiłł(x), (13)
i"I
Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 1 Niech x będzie rozwiązaniem dopuszczalnym zadania
(P ) i niech warunki optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera (10)-(12)
będą spełnione w x. Załóżmy, ponadto, że funkcja f jest (F, �) - wy-
pukła w punkcie x na zbiorze D, funkcje gi, i " I, są (F, �i) - wypukłe

Dalej w punkcie x na zbiorze D oraz zachodzi warunek � + i�i > 0.
i"I
Wówczas punkt x jest punktem ścisłego minimum rzędu 2 dla zadania
(P ).
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Przykład 1 Rozważmy następujące zadanie programowania matematycznego:
min{f(x) | x " D}, gdzie

Dalej
(x1 + x2)2 + 3(x2 + x2) + 2x2, jeeli x2 0
1 2
f(x) =
4x2 + x2, jeeli x2 < 0.
1
Zbiór punktów dopuszczalnych zadania (P ) określmy następująco:
D := {(x1, x2) " R2 | g1(x1, x2) = -x2 0}
Cofnij
Zauważmy, że funkcja f osiąga ścisłe minimum rzędu 2 dla zadania (P ) w punkcie x =
(0, 0). Zatem warunki optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera są spełnione w punkcie x =
(0, 0). Co więcej, f jest silnie (F, �)- wypukła w punkcie x = (0, 0) na zbiorze D. Istotnie,
biorąc F (x, x, �) = �2(x2 + x2 + x2) oraz liczbę rzeczywistą 0 < � 1, otrzymujemy
1 2
nierówność
Pełny ekran
F (x, x, �) + � x - x 2 = �2(x2 + x2 + x2) + �(x2 + x2)
1 2 1 2
(x1 + x2)2 + 3(x2 + x2) + 2x2,
1 2
zachodzącą dla każdego � " "f((0, 0)) = {(�1, �2) " R2 | �1 = 0; 1 �2 2} i dla każdego
x " D. W podobny sposób pokazujemy, że funkcja g1 jest silnie (F, �1) - wypukła w punkcie
x = (0, 0) na zbiorze D. Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej 0 < �1 1 mamy
Ż
F (x, x, �) + �1 x - x 2 = -(x2 + x2 + x2) + �1(x2 + x2)
1 2 1 2
Wyjdz

-x2 = g1(x) - g1((0, 0))
Ż
dla � " "g1((0, 0)) = {(0, -1)} i x " D. Ponieważ � = � + �1 > 0, więc spełniona jest
Ż
teza Twierdzenia 1.
Strona tytułowa
Twierdzenie 2 Niech x będzie dopuszczalnym rozwiązaniem zadania
(P ) i niech warunki optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera (10)-(12)
będą spełnione w x. Jeżeli zachodzi jeden z następujących warunków:
(a) funkcja f jest silnie (F, �) - pseudowypukła w punkcie x na zbio-
Dalej
rze D oraz funkcje gi, i " I(x), są F - quasiwypukłe w punkcie x
na zbiorze D dla i " I(x),
(b) f jest silnie (F, �) - quasiwypukła w punkcie x na zbiorze D i
funkcje gi, i " I(x) \ {s} są F - quasiwypukłe w punkcie x na
Cofnij
zbiorze D oraz gs jest ściśle F - pseudowypukła w punkcie x na
zbiorze D, przy czym s > 0, dla pewnego s " I(x),
to punkt x jest punktem ścisłego minimum rzędu 2 dla zadania (P ).
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 3 Niech x będzie rozwiązaniem dopuszczalnym zadania
(P ) i niech warunki Karusha-Kuhna-Tuckera (10), (11), (13), będą
spełnione w punkcie x. Jeżeli zachodzi jeden z następujących warun-
ków:
Dalej

(a) f jest (F, �) - wypukła w punkcie x na zbiorze D i funkcja igi
i"I(x)
jest (F, �) - wypukła w punkcie x na zbiorze D oraz � + � > 0,
Ć Ć
(b) f jest silnie (F, �) - pseudowypukła w punkcie x na zbiorze D

oraz funkcja igi jest F - quasiwypukła w punkcie x na
Cofnij i"I(x)
zbiorze D,
(c) f jest silnie (F, �) - quasiwypukła w punkcie x na zbiorze D oraz

funkcja igi jest F -quasiwypukła w punkcie x na zbio-
i"I(x)\{s}
Pełny ekran rze D oraz gs jest ściśle F - pseudowypukła w punkcie x na zbio-
rze D,
to punkt x jest punktem ścisłego minimum rzędu 2 dla zadania (P ).

Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 4 Niech x będzie rozwiązaniem dopuszczalnym zadania
(P ) i niech warunki optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera (9)-(11)
będą spełnione w x. Jeżeli funkcja Lagrange a jest silnie (F, �L) - pseu-
dowypukła w punkcie x na zbiorze D, to punkt x jest punktem ścisłego
Dalej minimum rzędu 2 dla zadania (P ).
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Rozważmy następujące zadanie dualne (D1) (w postaci Weira-Monda)
dla zadania (P ):
f(y) max, (D1)
przy ograniczeniach
Dalej
�ł �ł

0 " "f(y) + "�ł igiłł(y), (14)
i"I
Cofnij
igi(y) 0, i " I, (15)
i 0, i " I, (16)
Pełny ekran
Przez W �" X � Rm oznaczać będziemy zbiór wszystkich rozwiązań
+
dopuszczalnych zadania dualnego (D1), zaś przez Y zbiór Y = {y "
m
X : ""R (y, ) " W }.
+

Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 5 (Ścisła Słaba Dualność) Niech x będzie dowolnym punk-
tem dopuszczalnym dla zadania (P ), a (y, ) dowolnym punktem do-
puszczalnym dla zadania (D1). Jeżeli f jest (F, �) - wypukła w punkcie

y na zbiorze D *" Y , funkcja igi jest (F, �) - wypukła w punkcie
Ć
i"I
Ć
Dalej y na zbiorze D *" Y oraz � + � > 0, to
f(x) f(y) + (� + �) x - y 2.
Ć
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 6 (Ścisła Słaba Dualność) Niech x będzie dowolnym punk-
tem dopuszczalnym dla zadania (P ), a (y, ) punktem dopuszczalnym
dla zadania (D1). Jeżeli zachodzi jeden z następujących warunków:
(a) f jest (F, �) - pseudowypukła w punkcie y na zbiorze D*"Y , gdzie
Dalej

� > 0, jak też funkcja igi jest F - quasiwypukła w punkcie
i"I
y na zbiorze D *" Y ,
(b) f jest (F, �) - quasiwypukła w punkcie y na zbiorze D *" Y , gdzie

� > 0, funkcja igi jest F - quasiwypukła w punkcie y
Cofnij i"I\{s}
na zbiorze D *" Y oraz funkcja gs jest ściśle F - pseudowypukła
w punkcie y na zbiorze D *" Y , s > 0,
to
Pełny ekran f(x) f(y) + � x - y 2.

Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 7 (Ścisła Silna Dualność) Niech x będzie minimum dla
zadania (P ). Wówczas istnieje mnożnik Lagrange a  " Rm,  0 ta-
ki, że punkt (x, ) jest rozwiązaniem dopuszczalnym dla zadania (D1).
Jeżeli zachodzi także ścisła słaba dualność między zadaniem (P ) a za-
Dalej daniem (D1) (Twierdzenie 5), to (x, ) jest ścisłym maksimum rzędu
2 dla zadania (D1) i wartości optymalne w dwóch rozważanych zada-
niach są równe.
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Domknięcie zbioru S �" Rn oznaczać będziemy przez clS, zaś brzeg
zbioru S przez bdS. Przypominamy, że zbiór D tak jak poprzednio
jest zbiorem punktów dopuszczalnych zadania (P ).
Definicja 11 Niech � będzie normą euklidesową Rn. Dla x " Rn,
Dalej
distm(x, S) = inf{ x - y m | y " S}.
Niech " = S �" Rn. Dla x " Rn następujący zbiór

Cofnij
P (S, x) := {w " clS | x - w = dist(x, S)},
nazywamy rzutem metrycznym punktu x na zbiór S.
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Definicja 12 Przypuśćmy, że funkcja f jest stała na domkniętym zbio-
rze S �" D i niech x " S oraz m 1.
(a) Mówimy, że x jest punktem słabego ostrego minimum rzędu m
dla zadania (P), jeżeli istnieje liczba rzeczywista � > 0, taka, że
Dalej
f(x) - f(x) �distm(x, S), "x " D. (17)
(b) Dla � > 0, niech B(x, �) := {y " Rn | x - y �}. Mówimy,
Cofnij
że x jest punktem słabego ostrego minimum lokalnego rzędu m
dla zadania (P), jeżeli istnieje liczba rzeczywista � > 0 taka, że
f(x) - f(x) �distm(x, S) "x " D )" B(x, �). (18)
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Obecnie uogólnimy pojęcie funkcji � - niezmienniczo wypukłej (patrz
Jeyakumar[2]), wprowadzając definicję funkcji (lokanie lipschitzow-
skiej) (F, �)S - wypukłej.
Definicja 13 Niech f : X R będzie lokalnie lipschitzowską funkcją
Dalej
na niepustym zbiorze X �" R oraz x " S �" X, gdzie zbiór S domknięty.
Jeżeli istnieją rzeczywista liczba � oraz subliniowy funkcjonał F (x, x, �),
takie, że następująca nierówność
Cofnij
f(x) - f(x) F (x, x, �) + �dist2(x, S), (19)
zachodzi dla każdego � " "f(x) oraz dla każdego x " X, to funkcję f
nazywamy (lokalnie lipschitzowską) (F, �)S - wypukłą w x na zbiorze
X. Jeżeli � > 0, to f nazywamy silnie (F, �)S - wypukłą. Jeżeli � = 0,
Pełny ekran
to f nazywamy F - wypukłą. Jeżeli zaś � < 0, to f nazywamy słabo
(F, �)S - wypukłą. Oczywiste jest, że silna (F, �)S - wypukłość �! słaba
(F, �)S - wypukłość.
Uwaga 14 Zauważmy, że jeśli S = {x}, to funkcja (F, �)S - wypukła
redukuje się do funkcji (F, �) - wypukłej.
Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 8 Załóżmy, że funkcja f jest stała na domkniętym i
niepustym zbiorze S �" D oraz niech x " S. Ponadto niech warunki
optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera (10) - (12) będą spełnione w
punkcie x. Co więcej, załóżmy, że f jest (F, �)S - wypukła w x na
Dalej zbiorze D oraz funkcje ograniczające gi, i " I(x), są F - quasiwypukłe
w x na zbiorze D, gdzie � > 0. Wówczas x jest punktem słabego ostrego
minimum rzędu 2 dla zadania (P ).
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Przykład 8 Rozważmy następujące zadanie programowania matematycznego:
min{f(x) | x " D}, gdzie

2x2, jeeli x2 > 0
1
f(x) =
Dalej
2x2 + x2, jeeli x2 0.
1
Zbiór punktów dopuszczalnych zadania (P ) określmy następująco:
D := {(x1, x2) " R2 | g1(x1, x2) = -x2 0}.
Zauważmy, że funkcja f jest stała na zbiorze S := {(x1, x2) " R2 | x1 = 0 , x2
Cofnij
0} i osiąga słabe ostre minimum rzędu 2 dla zadania (P ) w punkcie x = (0, 0) " S.
Zatem warunki optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera są spełnione w punkcie x = (0, 0).
Co więcej, f jest funkcją silnie (F, �)S - wypukłą w x = (0, 0) na zbiorze D względem
funkcjonału F (x, x, �) = �2x2. Pokażemy, że zachodzi nierówność
1
F (x, x, �) + �dist2(S, x) f(x) - f((0, 0)),
Pełny ekran
dla każdego � " "f((0, 0)) = {(�1, �2) " R2 | �1 = 0; 0 �2 1} oraz dla każdego x " D.
Istotnie, zauważmy, że dla 0 < � 1 mamy
F (x, x, �) + �dist2(S, x) = �2x2 + �x2 =
1 1

x2 + �x2 (1 + �)x2 2x2 = f(x) - f((0, 0)).
1 1 1 1
W podobny sposób pokazujemy, że g1 jest funkcją F - quasiwypukłą w x = (0, 0) na zbiorze
D względem tego samego funkcjonału F (x, x, �). Istotnie, g1(x) - g1(0, 0) = -x2 0 dla
dowolnego x " D oraz
Ż Ż
F (x, x, �) = �2x2 = -1x2 0,
1 1
Wyjdz

Ż
dla każdego � " "g1(0, 0) = {(0, -1)}. Zatem realacja
gi(x) - gi(x) 0 �! F (x, x, �i) 0, i " I(x),
Ż
jest spełniona dla każdego � " "g1(0, 0) = {(0, -1)} oraz dla każdego x " D.
Strona tytułowa
Rozważmy następujące zadania dualne typu Weira-Monda [5] dla za-
dania (P ).
f(y) max

takie że 0 " 0"f(y) + i"gi(y),
Dalej
i"I
igi(y) 0, i " I (MWD)
0 > 0,  0.
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Twierdzenie 9 (S - Słaba Dualność): Niech punkty x, (y, 0, ) bę-
dą dowolnymi rozwiązaniami dopuszczalnymi odpowiednio dla zadania
(P ) oraz dla zadania (MW D). Ponadto załóżmy, że, funkcja f jest
(F, �)S - wypukła w y na zbiorze D *" Y , przy czym � 0, oraz funkcje
Dalej gi, i " I(y), są F - quasiwypukłe w y na zbiorze D *" Y . Wówczas
f(x) f(y) + �dist2(x, S).
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Przykład 9 Rozważmy następujące zadanie programowania matematycznego:
min{f(x) | x " D}, gdzie

Dalej
x2, jeeli x2 > 0
1
f(x) =
x2 + x2, jeeli x2 0.
1
Zbiór punktów dopuszczalnych zadania (P ) określmy następująco:
D := {x " R : g(x) = -x2 0} = {x " R2 : x2 0}.
Cofnij
Zauważmy, że warunki optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera są spełnione w punkcie x =
(0, 0) dla  " [0, 0]. Ponadto funkcja f jest stała na zbiorze S := {(x1, x2) " R2 | x1 =
0 , x2 0}. Zadanie dualne w sensie Weira - Monda (MWD) ma postać:
f(y) max
Pełny ekran
0 " 0"f(y) + "g(y) = co{(2y10, -), (2y10, 0 - )}
-y2 0
0 > 0,  0.

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla (MWD) to: W = {(y, 0, ) " R2 � R � R : y1 =
0, y2 0,  " [0, 0], 0 > 0}. Zauważmy, że punkty x = (0, 0), (y, 0, ) = (0, 0, 0, ),
gdzie  " [0, 0], są optymalnymi rozwiązaniami odpowiednio dla zadania (P) i (MWD).
Co więcej, funkcja f jest (F, �)S - wypukła w punkcie y na zbiorze D *" Y . Istotnie, biorąc
funkcjonał
Wyjdz

F (x, y, �) = 0
i przyjmując 0 < � 1 otrzymujemy nierówność
f(x) = x2 f(y) + F (x, y, �) + �dist2(S, x) = y2 + �x2,
1 1
Strona tytułowa
która zachodzi dla dowolnego x " D i dla dowolnego y " Y = {y " R2 : y1 = 0, y2 0}
oraz dla każdego � " "f(y) = {(�1, �2) " R2; �1 = 2y10, �2 " [0, 0]}. Ponadto, funkcja
g jest F - quasiwypukła w punkcie y na zbiorze D *" Y . Wynika to w sposób oczywisty z
Definicji 7 i faktu, że F jest funkcjonałem zerowym. Zatem zachodzi teza Twierdzenia 9.
Istotnie
f(x) = x2 f(y) + �dist2(S, x) = y2 + �x2, "x " D, "y " Y .
Dalej 1 1
W tym przypadku mamy do czynienia z S-słabą dualnością między zadaniem (P), a zada-
niem (MWD) i optymalne wartości w obydwu rozważanych zadaniach są równe.
Cofnij
Pełny ekran

Wyjdz

Strona tytułowa
Literatura
[1] D. Bhatia and P. Jain, Generalized (F, �)-convexity and duality for
non smooth multi-objective programs, Optimization, (1994), Vol. 31,
Dalej
153-164.
[2] A. Ben-Israel, B. Mond, What is invexity?, Journal of the Australian
Mathematical Society, Ser.B Vol.28 (1986), 1-9.
[3] J.F. Bonnans and A.Ioffe, Second-order sufficiency and quadratic
Cofnij
growth for nonisoated minima, Math. Oper. Res. 20 (1995), 801-817.
[4] J.V.Burke and M.C. Ferris, Weak sharp minima in mathematical
programming, SIAM J. Control Optim. 331 (1993), 1340-1359.
Pełny ekran
[5] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Inter-
science, New York (1983).
[6] B. D. Craven, Invex functions and constrained local minima, Bulletin
of the Australian Mathematical Society, Vol. 24 (1981), 357-366.

Wyjdz

Strona tytułowa
Literatura
[1] B. D. Craven, Nonsmooth multiobjecive programming, Numerical
Functional Analysis and Optimization, 10(1 and 2)(1989), 49-64.
Dalej
[2] B. D. Craven, B.D., Glover Invex functions and duality, Journal of
the Australian Mathematical Society, Ser.A Vol. 39 (1985), 1-20.
[3] B. D. Craven, Second-order and related extremality conditions in
nonlinear programming, J. Optim. Theory Appl. 31 (1980), 143-165.
Cofnij
[4] L. Cromme, Strong uniqueness: a for reaching criterion for the co-
nvergence of iterative procedures, Numer. Math. 29 (1978), 179-193.
[5] R. R. Egudo and B. Mond, Duality with generalized convexity, Jour-
Pełny ekran
nal of Australian Mathematical Society, Ser.B 28 (1986), 10-21.
[6] M. A. Hanson,On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditions,J. Math.
Anal. Appl. 80, (1981), 545-550.

Wyjdz

Strona tytułowa
Literatura
[1] M. A. Hanson and B. Mond, Futher generalizations of convexity in
mathematical programming, Journal of Information and Optimiza-
Dalej
tion Sciences, 3 (1982), 25-32.
[2] V. Jeyakumar, Strong and weak invexity in mathematical program-
ming, Methods Oper. Res. 55 (1985), 109-125.
[3] V.Jeyakumar, Equivalence of a saddle-points and optima, and du-
Cofnij
ality for a class of non-smooth non-convex problems, Journal Ma-
thematical Analysis and Applications, 130 (1988), 334-343.
[4] V.Jeyakumar, B. Mond, On Generalized Convex Mathematical Pro-
gramming, Journal of the Australian Mathematical Society, 34B
Pełny ekran
(1992), 43-53.
[5] R.N.Kaul, S.K.Suneja and C.S.Lalitha, Generalized nonsmooth
invexity, Journal of Information and Optimization Sciences, 15
(1994), 1-17.

Wyjdz

Strona tytułowa
Literatura
[1] V. Preda, On efficiency and duality for multiobjective programs,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 166 (1992),
Dalej
365-377.
[2] M. W. Reiland, Nonsmooth invexity, Bulletin of the Australian Ma-
thematical Society, Vol. 42 (1990), 437-446.
[3] M.Studniarski, Warunki optymalności wyższego rzędu w niegład-
Cofnij
kich zadaniach programowania matematycznego. Praca habilitacyj-
na, Uniwersytet A
ódzki, 1987.
[4] M. Studniarski, Characterizations of strict local minima for so-
me nonlinear programming problems, Nonlinear Analysis, Vol. 30
Pełny ekran
(1997), 5363-5367. (Proc. 2nd World Congress of Nonlinear Analy-
sis).
[5] M.Studniarski and D.E.Ward, Weak sharp minima: characteriza-
tions and sufficient conditions, SIAM J. Control Optim., 38 (1999),

219-236.
Wyjdz

Strona tytułowa
Literatura
[1] M.Studniarski, Characterizations of weak sharp minima of order
one in nonlinear programming,System Modelling and Optimization
Dalej
(Detroit, MI, 1997), 207-215, Chapman and Hall/CRC Res. Notes
Math., 396, 1999.
[2] M.Studniarski, Necessary and sufficient conditions for isolated local
minima of nonsmooth functions, SIAM J. Control Optim. 24 (1986),
Cofnij
1044-1049.
[3] M.Studniarski and M.Studniarska, New characterizations of weak
sharp and strict local minimizers in nonlinear programming, Pre-
print 1999/15, Faculty of Mathematics, University of A
ódz
.
Pełny ekran
[4] Ward D.E., Characterizations of strict local minima and necessary
conditions for weak sharp minima, Journal of Optimization Theory
and Applications, 80 (1994), 551-571.
[5] T. Weir, B. Mond, Generalized concavity and duality, in  Generali-

zed Concavity in Optimization and Economics , Edited by S. Sche-
ible, and W. T. Ziemba, Academic Press, New York, 1981, 263-279.
Wyjdz