MECHANIKA TEORETYCZNA
Temat nr 3
Równowaga układu sił zbieżnych
1
Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych
r�
P2
r�
P3
r�
P1
O
1. Definicja
Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie, nazywamy zbieżnym
układem sił (przestrzennym lub płaskim). Punkt przecięcia linii działania sił O nazywa się
punktem zbieżności.
2
2. Warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych
r� r� r� r�
Układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyznie znajduje się w
P1, P2, P3,K�Pn
równowadze, jeżeli wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).
r�
P2
r�
r�
P3
P3
r�
r�
P4
P1
r�
P2
O
r�
P4
r�
P1
n
r� r� r� r� r�
P1 +� P2 +�K�+� Pn =�
��P =� 0
i
i=�1
3
Siły zbieżne leżące w jednej płaszczyznie są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił
na dwie osie układu współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).
n
Px =� P1x +� P2x +�K�+� Pnx =�
��P =� 0
ix
i=�1
n
Py =� P1y +� P2 y +�K�+� Pny =�
��P =� 0
iy
i=�1
4
Zadanie 1
Wspornik składa się z dwóch prętów AB i AC połączonych ze sobą przegubem A i z
pionową ścianą przegubami B i C. Obliczyć siły w tych prętach gdy na wsporniku
zawiesimy ciężar G.
A
Dane:
G =� 2,0kN,
a� =� 60��,
a�
b� =� 30��.
B
G
b�
C
5
Rozwiązanie zadania 1
y
A
A
r�
x
SB
a�
a�
b�
r�
r�
SC
B G
G
��P =� -�SB sina� +� SC sin b� =� 0
ix
��P =� -�SB cosa� -� SC cosb� -� G =� 0
iy
b�
SB =� 2,0kN
SC =� -�3,46kN
C
6
Zadanie 2
Wyznaczyć siły w przegubowo połączonych prętach układu przedstawionego na
rysunku.
A
a�
a�
C
B
a�
a�
D
G
7
Rozwiązanie zadania 2
Węzeł D
y
A
r� r�
SDB SDC
a� a�
B C a�
a�
a� a�
x
D
D
r�
G
G
��P =� -�SDB cosa� +� SDC cosa� =� 0 �� SDB =� SDC
ix
G
��P =� SDB sina� +� SDC sina� -� G =� 0 �� SDB =� SDC =� 2sina�
iy
8
Węzeł B
y
r�
A
SBA
a� a�
B C
a�
r�
a� a�
a�
B
SBC x
r�
D SDB
G
��P =� -�SDB sina� +� SBA sina� =� 0 �� SBA =� SDB
iy
��P =� SDB cosa� +� SBA cosa� +� SBC =� 0 �� SBC =� -�Gcota�
ix
9
Węzeł A
A
y
a� a�
B C
x
a�
a� a�
a�
A
r� r�
SBA SAC
D
G
��P =� -�SBA cosa� +� SAC cosa� =� 0 �� SAC =� SBA
ix
Ostatecznie:
G
SDB =� SDC =� SBA =� SAC =�
SBC =� -�Gcota�
2sina�
10
Zadanie 3
Obliczyć wartość poziomej siły P, jaką należy działać, aby układ pokazany na
rysunku pozostał w spoczynku. Wyznaczyć również reakcję podłoża. Tarcia nie
uwzględniać.
A
C
G
r�
P
Q
a�
11
Rozwiązanie zadania 3
Ciało G
y
r�
��P =� Gsina� -� S =� 0 �� S =� Gsina�
ix
a�
r�
G
S
��P =� R2 -� Gcosa� =� 0 �� R2 =� Gcosa�
iy
r�
R2
a�
x
Ciało Q
y1
r�
S
r�
��P =� P -� S +� S cosa� -� R2 sina� =� 0 �� P =� S =� Gsina�
ix
S
C
��P =� R1 -� Q -� R2 cosa� -� S sina� =� 0 �� R1 =� Q +� G
iy
r�
r�
R2
P r�
Q
a�
r�
x1
R1
12
Równowaga przestrzennego układu sił zbieżnych
1. Warunki równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych
r� r� r� r�
Przestrzenny układ sił zbieżnych 1 2 3 n znajduje się w równowadze, jeżeli
P , P , P ,K�P
wielobok przestrzenny utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).
n
r� r� r� r� r�
P1 +� P2 +�K�+� Pn =�
��P =� 0
i
i=�1
Siły zbieżne są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił na trzy osie układu
współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).
n
Px =� P1x +� P2x +�K�+� Pnx =�
��P =� 0
ix
i=�1
n
Py =� P1y +� P2 y +�K�+� Pny =�
��P =� 0
iy
i=�1
n
Pz =� P1z +� P2z +�K�+� Pnz =�
��P =� 0
iz
i=�1
13
Zadanie 1
Żuraw podnoszący ciężar Q=20,0kN, jest zbudowany, jak pokazano na rysunku;
AB=AE=AF=2,0m, kąt EAF=90�. Płaszczyzna wysięgnika ABC dzieli na połowy kąt
r�
dwuścienny EABF. Wyznaczyć siłę P 1 ściskającą pionowy słup AB, a także siły
r� r� r�
rozciągające liny BC, BE i BF. Ciężary części składowych żurawia pominąć.
P2, P3, P4
5,0
5,0m
BC =� =� 5,77m
sin 60��
C
K
KB =� BCcos60�� =� 2,89m
a�
2
2
AC =� (�AB +� KB)� +� KC
Q
60��
B
2
AC =� (�2,0 +� 2,89)� +� 5,02 =� 7,0m
5,0
sina� =� =� 0,7143
7,0
F
45��
cosa� =� 0,7000
A
45��
AB =� AE =� AF �� ��AEB =� ��AFB =� 45��
E
14
Rozwiązanie zadania 1
5,0m
Węzeł C
C
K
a�
y
Q
60��
B
r�
SDB
F
45��
x
30�� C
r�
A
45��
P2 a�
r�
E
r�
P5
Q
-�
��P =� -�P2 cos30�� P5 sina� =� 0
ix
-�
��P =� -�P2 sin 30�� P5 cosa� -� Q =� 0
iy
�
P2 =� 57,36kN
15
5,0m
Węzeł B
C
K
z1
a�
Q
r�
60��
B
P2
45��
60��
B
30��
F
45��
45��
45��
r�
r�
A
P4
P1
45��
y1
45��
E
x1 r�
P3
=� �� P3 =� 49,67kN
��P =� -�P2 cos30��cos45�� +� P3 cos45�� 0
ix
-� =� �� P4 =� 49,67kN
��P =� P2 cos30��cos45�� P4 cos45�� 0
iy
-� -�
��P =� P2 cos60�� P4 sin 45�� P3 sin 45�� +� P1 =� 0 �� P1 =� 41,56kN
iz
16
Zadanie 2
Na rysunku przedstawiono kratownicę przestrzenną złożoną z sześciu prętów. Siła P
działa na węzeł A w płaszczyznie prostokąta ABCD, przy czym jej prosta działania
tworzy z prostą pionową CA kąt 45�. "EAK= "FBM. Kąty trójkątów
równoramiennych: EAK, FBM i NDB przy wierzchołkach A, B i D są proste. Obliczyć
siły w prętach jeżeli P=10,0kN.
B
6
3
5 45��
45��
N
r�
4
F
P
A
45��
D
2
45��
1
M
E
C
45��
K
17
Rozwiązanie zadania 2
Węzeł A
z
y
B r�
6
45��
P3
r�
3
5 45��
P
45��
N
r�
4
F
P
A
A
45��
45��
D
2
45��
1
r�
M
P2
E
C
x
r�
45��
K
P1
45��
=�
��P =� P3 +� Psin 45�� 0
iy
=�
��P =� P1 cos45�� +� P2 cos45�� 0
ix
-� -� =�
��P =� -�P1 sin 45�� P2 sin 45�� Psin 45�� 0
iz
18
Węzeł B
B z
6
y
3
5 45��
45��
N
r�
4
F
P
A
45��
r�
B
P6
D
2
45��
1
M
45��
E
r�
P5
C r�
45�� P3 x
K
r�
P4
45��
=�
��P =� -�P3 +� P6 cos45�� 0
iy
=�
��P =� -�P5 cos45�� +� P4 cos45�� 0
ix
-� -� =�
��P =� -�P4 sin 45�� P5 sin 45�� P6 sin 45�� 0
iz
Wartości liczbowe sił wyznaczyć samodzielnie.
19
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
REDUKCJA płaskiego układu sił 22 WYPADKOWA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ(1)redukcja przestrzennego układu sił zadania3 Zbieżny układ siłMechanika Techniczna I Statyka Zbieżny Układ Siłwięcej podobnych podstron