Przykład 1
Dane są trzy siły: P1 = 3i + 4j, P2 = 2i + 5j, P3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach),
przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt nachylenia
linii działania względem osi Ox układu.
RozwiÄ…zanie
Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej Px i Py
Wektor i wartość wypadkowej wynoszą
Kierunek wypadkowej określa kąt , który wyznaczamy z następującego wzoru
Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: Px < 0, Py > 0, to kąt = 135 . Linia działania
wypadkowej przechodzi przez punkt A pod kÄ…tem = 135 do osi Ox.
Przykład 2
Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P1, P2,P3. Wartości tych sił są
równe: P1 = P2 = Q, P3 = 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową.
R o z w i Ä… z a n i e
Cosinusy kierunkowe sił P1, P2, P3 wynoszą
Wyznaczamy składowe wypadkowej
Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru
a jej cosinusy kierunkowe i kÄ…ty wynoszÄ… odpowiednio
Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P1, P2, P3 pod
kątami i do osi układu współrzędnychOxyz.
Przykład 3
Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia
siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję równi, jeżeli punkt znajduje się
w spoczynku.
R o z w i Ä… z a n i e
Metoda analityczna. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze. Na podstawie
warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania równowagi
Z równania pierwszego otrzymamy
Po podstawieniu do drugiego równania
StÄ…d
Metoda geometryczna. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z czterech sił
działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i reakcji R
Przykład 4
Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze przegubowej A. Drugi
koniec B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć reakcje
podpórA i B, jeżeli belka jest obciążona w punkcie C siłą P.
R o z w i Ä… z a n i e
Metoda analityczna. Na rysunku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone zostały
reakcje RAx, RAy i RB. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami RA, RB i P, wobec tego ich linie
działania muszą przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił musi być zamknięty (rys. c).
W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi będą następujące
Ponadto
gdzie
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy
Metoda geometryczna. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił RA, RBi P. Na podstawie twierdzenia
równań sinusów otrzymamy
StÄ…d
Przykład 5
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na gÅ‚adkiej równi pochyÅ‚ej o kÄ…cie pochylenia = 30º i
jest utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z rysunkiem. Do środka walca
zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki krążek. Na końcu tej liny zawieszono
ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA,
jeżeli lina OB jest pozioma, a lina OA tworzy z poziomem kÄ…t = 45º.
R o z w i Ä… z a n i e
Metoda analityczna. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są następujące
StÄ…d
Metoda geometryczna. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich sił
działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy
Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu metody
analitycznej.
Przykład 6
Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów połączonych
przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w płaszczyz
nie prostopadłej do
pionowej Å›ciany, tworzÄ… z tÄ… Å›cianÄ… kÄ…ty = 45º. PrÄ™t CO tworzy z pionowÄ… Å›cianÄ… kÄ…t = 60º i
również leży w płaszczyz
nie prostopadłej do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary
własne oraz tarcie w przegubach.
R o z w i Ä… z a n i e
Metoda analityczna. Na przegub O działają siły wynikające z oddziaływania
prętów OA, OB i OC: S1, S2 i S3 oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy
następujące równania
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy
Przykład 7
Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie
pręty AB, AC, BC, BE, CE i CD są połączone przegubowo w węzłach A, B,C, D i E. W węz
le B działają
dwie siły: 2P w kierunku pionowym i siła P w kierunku pręta BC.
R o z w i Ä… z a n i e
Metoda analityczna. Na węzeł B działają reakcje S1, S2 i S3, wynikające z oddziaływania
prętów AB, BE i BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są następujące
Na węzeł C działają reakcje S3, S4, S5 i S6 oraz siła P. Równania równowagi rozpatrywanego węzła są
równe
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy