Przykład 1
Jednorodna belka o długości 2l i ciężarze G jest oparta dolnym końcemA o chropowatą poziomą
płaszczyznę, a w punkcie C o gładki występ. W położeniu równowagi belka tworzy z
pÅ‚aszczyznÄ… poziomÄ… kÄ…t jð, a odcinek AC = 1,5l. Znalez
ć współczynnik tarcia ślizgowego
statycznegomð w punkcie A.
R o z w i Ä… z a n i e
W położeniu równowagi belki jej koniec A ma tendencję do przesuwania się w lewo.
Siła tarcia T1 jest skierowana przeciwnie do możliwego ruchu, a więc w prawo. Po
przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych otrzymuje się następujące równania
równowagi belki
W przypadku poszukiwania współczynnika tarcia Å›lizgowego mðstatycznego w
położeniu granicznym równowagi belki (tarcie całkowicie rozwinięte) otrzymuje się
Po rozwiÄ…zaniu powyższego ukÅ‚adu równaÅ„ współczynnik ðtarcia mðwynosi
Przykład 2
Jednorodny pręt AB o ciężarze G opiera się końcem A o poziomą podłogę i
końcem B o pionową ścianę. Dane są współczynniki tarcia o podłogę i ścianę, równe
odpowiednio mð1ð ði mð2ð. Znalez
ć reakcje w punktach A i B oraz graniczną wartość
kÄ…ta að ðnachylenia prÄ™ta.
R o z w i Ä… z a n i e
Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych Axy otrzymamy następujące
równania równowagi
W przypadku poszukiwania granicznej wartoÅ›ci kÄ…ta að ðnachylenia prÄ™ta, siÅ‚y
tarcia T1 i T2 osiągają swe graniczne wartości (są całkowicie rozwinięte), a wiec są
równe
Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymany poszukiwane wartości
reakcji RA i RB oraz kÄ…ta að ð
ð
ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð
ð
Przykład 3
Na dwóch równiach pochyÅ‚ych, tworzÄ…cych z poziomem kÄ…ty að ði bð, ustawiono dwa
ciała A i B o ciężarach G i Q połączone nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym
przez krążek C. Współczynniki tarcia obu ciaÅ‚ o równie sÄ… równe mð1ð ði mð2. OkreÅ›lić, w
jakich granicach może się zmieniać wartość ciężaru Q ciała B ( przy założeniu, że
ciężar G ciałaA jest stały), aby układ ciał A i B pozostawał w równowadze.
R o z w i Ä… z a n i e
Zacznijmy od przypadku, gdy ciężar Q ciała B ma wartość maksymalną, przy której
możliwa jest jeszcze równowaga. Po przekroczeniu tej wartości ciało B zacznie
zjeżdżać z równi pochyÅ‚ej o kÄ…cie bð, a ciaÅ‚o Azacznie siÄ™ poruszać do góry po równi
pochyÅ‚ej o kÄ…cie að. W rozważanym granicznym przypadku (rys. b) siÅ‚y
tarcia T1 i T2 osiągną maksymalne wartości i skierowane są przeciwnie do możliwego
ruchu. Przyjmując prostokątne układy współrzędnych Oxy, związane z obydwoma
ciałami, w których oś Oy jest prostopadła do równi, a oś Oxrównoległa do równi,
otrzymujemy następujące równania równowagi dla:
·ð ciaÅ‚a A
·ð ciaÅ‚a B
Ponadto na podstawie praw tarcia możemy napisać
Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość
ciężaru ciała B
Postępując podobnie jak poprzednio, przy założeniu, że wartość ciężaruQ będzie
minimalna, tzn. układ będzie miał tendencję ruchu w przeciwną
stronÄ™ -ð ciaÅ‚o A bÄ™dzie miaÅ‚o tendencjÄ™ do zjeżdżania z równi kÄ…cie að, a
ciaÅ‚o B zacznie poruszać siÄ™ do góry po równi pochyÅ‚ej o kÄ…cie bð. W tym granicznym
przypadku (rys. c), siÅ‚y tarcia T1óði T2óðsÄ… skierowane przeciwnie do możliwego ruchu.
Pisząc odpowiednie równania równowagi i zależności między siłami tarcia a siłami
normalnymi (korzystając z praw tarcia), otrzymamy również układ równań. Po
rozwiązaniu równań otrzymamy minimalną wartość ciężaru ciała B
Na podstawie otrzymanych wyników możemy stwierdzić, że wartość ciężaru
ciała B powinna pozostawać w następujących granicach
Przykład 4
Ciało A o ciężarze G położono na płycie B o ciężarze Q i połączono je nieważkim
cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Obliczyć maksymalną wartość
poziomej siły P przyłożonej do ciała A, przy której ciało A będzie pozostawać w
spoczynku, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała A o
pÅ‚ytÄ™ B wynosi mð1ð, a pÅ‚yty B o podÅ‚ożemð2.Tarcie ciÄ™gna o krążek C należy pominąć.
Ponadto wyznaczyć napięcia cięgna S1 i S2, reakcje normalne N1 i N2 oraz siły
tarcia T1 i T2.
R o z w i Ä… z a n i e.
Przedmiotem rozważań jest układ złożony z dwóch ciał A, B i krążka C. Na
ciało A działa ciężar własny G, siła P, napięcie sznura S1 oraz siły T1 iN1 oddziaływania
płyty B. Na płytę B działa jej ciężar Q, napięcie sznuraS2, reakcja normalna
podłoża N2 i nacisk N1 ciała A oraz siły tarcia T1 iT2. Na krążek C działają napięcia
sznura S1 i S2.
W rozpatrywanym układzie występuje zatem siedem niewiadomych:
P,S1, S2, N1, N2, T1 i T2musimy więc ułożyć siedem równań.
Równania równowagi ciała A
Równania równowagi płyty B
Równanie równowagi krążka C
Dalsze dwa związki wynikają z faktu, że maksymalna wartość siły P, przy której
ciało A będzie jeszcze pozostawać w spoczynku, odpowiada siłom tarcia całkowicie
rozwiniętego.
Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymujemy
Przykład 5
Ciało A zostało zawieszone na linie CF, która została przerzucona przez nieruchomy,
chropowaty krążek. Na drugim końcu liny w punkcie Fprzywiązano ciało B o
ciężarze G, leżące na poziomej płaszczyz
nie. Współczynnik tarcia ślizgowego
(statycznego) ciaÅ‚a B o poziomÄ… pÅ‚aszczyznÄ™ wynosi mð1ð ði liny o powierzchniÄ™
krążka mð2. Wyznaczyć maksymalnÄ… wartość ciężaru ciaÅ‚a A w poÅ‚ożeniu równowagi
układu.
R o z w i Ä… z a n i e.
W rozpatrywanym przypadku, gdy ciężar ciała A ma wartość maksymalną, przy której
możliwa jest jeszcze równowaga, siła S2 w linieCD jest większa od siły S1 w linie EF.
Między tymi siłami istnieje zależność, zgodnie z którą
Po przyjęciu układu współrzędnych Oxy, otrzymuje się równania równowagi:
·ð dla ciaÅ‚a A
·ð dla ciaÅ‚a B
Korzystając z praw tarcia, można napisać
Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań, znajduje się maksymalną wartość
ciężaru ciała A.
Przykład 6
Nieważki pręt AB o długości l opiera się w punkcie A na stałej podporze przegubowej.
Na końcu pręta w punkcie B przymocowano cięgno, które przerzucono przez
chropowaty krążek i na jego końcu E przywiązano ciało F o ciężarze G, leżące na
równi pochyÅ‚ej tworzÄ…cej z poziomem kÄ…tað ð ð= 30º. Współczynnik tarcia Å›lizgowego
ciaÅ‚a F o równiÄ™ wynosi mð1ð, a ciÄ™gna o powierzchniÄ™ krążka mð2. Wyznaczyć, w jakich
granicach musi się mieścić wartość pionowej siły P, przyłożonej w środku pręta AB,
aby zachodziła równowaga?
R o z w i Ä… z a n i e.
Rozpatrzmy przypadek, gdy siła P ma wartość maksymalną, przy której jest jeszcze
możliwa równowaga układu. Po przekroczeniu tej wartości ciało F zacznie poruszać
się w górę równi pochyłej. W rozpatrywanym granicznym przypadku siła S2 w
linie BC jest większa od siły S1 w linie DEi istnieje między nimi zależność
Po przyjęciu odpowiednich układów współrzędnych otrzymujemy równania
równowagi dla:
·ð ciaÅ‚a F
·ð prÄ™ta AB
Na podstawie praw tarcia
Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość siły P
Rozpatrzmy drugi przypadek, gdy siła P osiąga wartość minimalną, przy której
możliwa jest jeszcze równowaga układu. Ciało F ma wtedy tendencję do zsuwania
się po równi pochyłej. Między siłami w cięgnie zachodzi teraz następująca zależność
Po uwzględnieniu przeciwnego zwrotu siły tarcia otrzymujemy równania równowagi
dla:
·ð ciaÅ‚a F
·ð prÄ™ta AB
Ponadto z praw tarcia mamy
Rozwiązując ten układ równań, znajdujemy minimalną wartość siły P
Wartość siły P powinna więc zawierać się w następujących granicach
Przykład 7
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na równi pochyłej nachylonej do poziomu
pod kÄ…tem að. Znalez
ć maksymalnÄ… wartość kÄ…ta að, przy której równowaga walca jest
jeszcze możliwa. Współczynnik tarcia tocznego jest równy f.
R o z w i Ä… z a n i e.
Układamy równania równowagi walca. Równania równowagi rzutów sił na
osie x i y są następujące
StÄ…d
Jeżeli walec ma być w równowadze, to moment siły G względem punktuA musi być
mniejszy lub równy momentowi tarcia tocznego
Po podstawieniu poprzednio uzyskanej wartości siły normalnej Notrzymujemy
czyli
KÄ…t að, speÅ‚niajÄ…cy tÄ™ zależność, powinien wynosić
Natomiast maksymalny kÄ…t að
Przykład 8
Walec o ciężarze Q spoczywa na płycie o ciężarze G i opiera się o pionową ścianę.
Obliczyć maksymalną wartość siły P, jaką można przyłożyć do cięgna przywiązanego
do płyty i przerzuconego przez chropowaty krążek, aby układ pozostawał w
równowadze, jeżeli wiadomo, że walec będzie się toczył bez poślizgu po płycie, a
ślizgał względem pionowej ściany. Współczynnik tarcia tocznego walca po płycie
wynosi f. Współczynnik tarcia Å›lizgowego ciÄ™gna o krążek wynosimð1ð, pÅ‚yty o podÅ‚oże
jest równy mð2ð, a walca o pionowÄ… Å›cianÄ™ mð3ð.
R o z w i Ä… z a n i e.
Związek między napięciami cięgna wyraża się wzorem
Równania równowagi walca
Równania równowagi płyty
Na podstawie praw tarcia otrzymujemy dodatkowe dwa równania
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy