Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyz
nie Oxy
Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
R o z w i Ä… z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy
Moment główny układu wynosi
Przykład 2
Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymiP1, P2, P3 prostopadłymi
do belki. Znalez
ć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory przegubowej
przesuwnej w punkcieB. Dane liczbowe: P1 = 100 N, P2 = 300 N, P3 = 400 N, l = 1 m.
R o z w i Ä… z a n i e.
Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił
równoległych P1, P2, P3, RA i RB. Dwie niewiadome reakcje RA i RB wyznacza się z dwóch równań
równowagi
StÄ…d
Przykład 3
Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a w
punkcie B na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły P1 = 300
N i P2 = 400 N, a kÄ…tað ð ð= 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.
R o z w i Ä… z a n i e.
Kierunek reakcji RA w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia
działania tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie
składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych Axy. Składowe reakcji RA zostały
oznaczone przez RAx i RAy. Zatem, belka jest obciążona dwoma siłami zewnętrznymi P1 i P2 oraz
trzema reakcjami więzów RAx, RAy i RB. Wartości tych reakcji wyznacza się z trzech równań
równowagi
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy
Reakcja RB jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku.
Wartość reakcji RA oblicza się ze wzoru
Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w
punkcie A i podporze przegubowej przesuwnej w punkcieB. Obciążenie zewnętrzne
ramy stanowią siły P i siła 2P. Obliczyć reakcje podpór RA i RB, jeżeli P = 1000 N, l
= 0,5 m.
R o z w i Ä… z a n i e.
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami RA i RB. Ponieważ
kierunek reakcji RA jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe RAx, RAy.
Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi ramy
StÄ…d
Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne
stanowiÄ… dwie siÅ‚y P1 = 200 N, P2 = 100 N i moment M = 200 N · m. PozostaÅ‚e dane
liczbowe wynoszÄ…: l = 1 m,
að ð ð= 45º, bð ð= 30º.
R o z w i Ä… z a n i e.
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P1, P2, momentem Moraz
reakcjami RA i RB. Ponieważ kierunek reakcji RA jest nie znany, dlatego rozkłada się ją
na dwie składowe RAx, RAy. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań
równowagi
StÄ…d
Reakcje RAx, RAy są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość
reakcji RA wynosi
Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcemA na stałej
podporze przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W
punktach D i E do belki przyłożone są siły P1, P2. Obliczyć reakcje w punktach
podparcia A i B. Dane liczbowe:
P1 = 100 N, P2 = 800 N, G = 200 N, að ð ð= 45º, bð ð= 60º, l = 4 m.
R o z w i Ä… z a n i e.
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja RB więzów będzie prostopadła do
płaszczyzny tej równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i
belki równa się zeru. Kierunek reakcji RA w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko,
że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu, tj. przez punkt A.
Reakcję tę rozkładamy na dwie składowe RAx, RAy wzdłuż osi prostokątnego układu
współrzędnych Axy. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i
trzema reakcjami. Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
StÄ…d
Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z
dwóch kół tocznych, oddziałuje na belkę siłami P1, P2. W jakiej odległości x od
punktu A powinien wózek się zatrzymać, aby reakcja w punkcie B była dwukrotnie
mniejsza od reakcji w punkcie A ? Dane liczbowe: P1 = 4000 N i P2 = 2000 N, b = 1 m, l
= 10 m.
R o z w i Ä… z a n i e.
Ponieważ siły P1, P2, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja RBma kierunek
pionowe, również reakcja RA ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi
Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że RB = 0,5RA, otrzymujemy
Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych
przesuwnych B i D oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki ABCD.
Dane liczbowe: P1 = 1000 N,
P2 = 2000 N, að ð ð= 30º, l = 1 m.
R o z w i Ä… z a n i e.
W celu wyznaczenia reakcji RA, RB, RC i RD rozważymy równowagę obu części belki.
Równania równowagi lewej części belki mają postać
Równania równowagi prawej części belki
Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po rozwiązaniu
tego układu otrzymujemy
Reakcje RA i RC wynoszÄ…
Przykład 9
Dz
wig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na
torze jezdnym AB. Obliczyć reakcje kół dz
wigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w
punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B oraz reakcjÄ™ w
przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.
R o z w i Ä… z a n i e.
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji RA o nie
znanym kierunku oraz momentu utwierdzenia MA. W podporze przegubowej
przesuwnej w punkcie B i podporach kół dz
wigu w punkcie C i D występują reakcje o
kierunku pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej (przesuwu). Reakcja
przegubu E sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania, przechodzącej
przez oś tego przegubu. Z dwóch równań równowagi dz
wigu (rys. b) wyznaczamy
reakcje RC i RD podpór jego kół
StÄ…d
Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:
·ð część belki BE
·ð część belki AB
Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy