FALE MECHANICZNE
Cechy i rodzaje fal
Fala biegnąca
Przenoszenie energii przez fale
Interferencja: test ruchu falowego; fale stojące
Fale akustyczne i ich specyfika
Cechy dz
więku
Fale w ośrodkach sprę\
ystych
Fale mechaniczne
Potrzebny jest ośrodek drgający
Cecha charakterystyczna to przenoszenie energii poprzez
materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie
dzięki ruchowi postępowemu całej materii.
Procesy falowe
Falami nazywamy ró\
nego rodzaju rozchodzące się w przestrzeni
zaburzenia stanu materii lub pola.
Fale akustyczne  drgania ciśnienia
Fale elektromagnetyczne  drgania natę\
eń pola elektrycznego i magnetycznego.
Fale sprę\
yste  mechaniczne zaburzenia (odkształcenia) rozchodzące się w ośrodku
sprę\
ystym
Fala sprę\
ysta nazywa się podłu\
ną, je\
eli drgania cząstek ośrodka są
równoległe do kierunku rozchodzenia się fal.
Je\
eli cząsteczki ośrodka drgają w płaszczyznach prostopadłych do
kierunku rozchodzenia się fali, to fala taka nazywa się poprzeczną.
" Fale poprzeczne propagują się tylko w ośrodku który charakteryzuje się
sprę\
ystością postaci (ciała stałe).
" Fale podłu\
ne związane są z odkształceniem objętościowym ośrodka i
dlatego mogą się rozchodzić zarówno w ciałach stałych, jak i w cieczach i
gazach.
" Rozchodzenie się fal sprę\
ystych nie jest związane z przenoszeniem materii.
Czoło fali - miejsce geometryczne punktów do których dochodzą
drgania w danej chwili t.
Powierzchnia falowa - miejsce geometryczne punktów drgających w
jednakowej fazie.
Powierzchni falowych mo\
na przeprowadzić bardzo du\
o, natomiast
w danej chwili czasu jest to czoło fali.
Powierzchnie falowe mogą mieć dowolne kształty: fala płaska, kulista.
RODZAJE FAL: kierunki ruchu
RODZAJE FAL: kształt powierzchni falowej
Fale biegnące
Falami biegnącymi nazywamy fale, które (w odró\
nieniu od fal stojących)
przenoszą energię.
Przykład  fala na strunie
zakładamy, \
e oś x jest zgodna z kierunkiem propagacji fali,
powierzchnie falowe są prostopadłe do osi x,
przemieszczenie y = y(x, t).
x
y(x,t) = Acos�(t - )
u
Równanie fali biegnącej.
Je\
eli fala propaguje się w kierunku
przeciwnym to:
x
y(x,t) = Acos�(t + )
u
Fala biegnąca po strunie
y y
vt
t
t = 0
x x
) ),
y = f (x , y = f (x - vt
t = 0
ogólne równanie fali biegnącej w prawo
Prędkość fali
2Ą
y = Asin (x - vt)

Długość fali
y

t 0
t
x
vt
x t
y = A sin 2Ą ( - )
 = vT
 T
�
2Ą 2Ą
v =
y = Asin(kx - � t)
k = � =
k
 T
- długość fali - odległość między dwoma najbli\
szymi punktami, które są zgodne w fazie;
� - częstotliwość tj. ilość pełnych drgań cząsteczki w jednostce czasu;
T - okres - czas, po którym cząsteczka drgająca wykona jedno pełne drganie;
Interferencja fal
Wynik interferencji dwóch fal o takich samych częstościach i fazach,
lecz ró\
nych amplitudach: częstość fali wynikowej nie ulega zmianie a jej
amplituda jest sumą amplitud fal składowych.
Interferencja fal
Wynik interferencji dwóch fal , gdy fale są przesunięte w fazie o prawie Ą,
amplituda fali wypadkowej jest bliska zeru.
Fale stojące . Szczególny przypadek interferencji
Rozwa\
my teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn.
y1 = Asin(kx  �t)
�
�
�
y2 = Asin(kx + �
�t)
�
�
np. falę padającą i odbitą.
Falę wypadkową mo\
na zapisać jako:
y = y1 + y2 = 2Asinkxcos�
�t
�
�
jest to równanie fali stojącej.
Cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym.
Cząstki mają tę samą częstość, ale ró\
ną amplitudę zale\
ną od poło\
enia
cząstki x.
Punkty:
Ą 3Ą 5Ą
itd.
kx = = =
2 2 2
 3 5
czyli
itd.
x = = =
4 4 4
mające maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami, odstęp miedzy
nimi wynosi pół długości fali.
Punkty
itd.
kx = Ą = 2Ą = 5Ą
 3 5
x = = =
czyli itd.
2 2 2
mające zerową amplitudę nazywamy węzłami, a odstęp miedzy nimi
tak\
e wynosi pół długości fali.
Amplituda przybiera minimalne wartości równe zeru w tych punktach.
Odległość między węzłem a najbli\
szą strzałką jest równy ćwierci długości fali.
Fala stojąca , rezonans
Przykład Je\
eli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta a
następnie puszczona, to wzdłu\
struny rozchodzą się drgania poprzeczne.
Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji
powstaje fala stojąca.
1 = 2L
2 = L
3 = 2L/3
4 = L/2
L
2L
Widzimy, \
e długości fal spełniają związek:
n =
n
v =  T = v
Korzystając z tego, \
e prędkość fali
� F
oraz podstawiając wyra\
enie na prędkość fali:
v = =
k �
mo\
emy obliczyć częstotliwość rezonansów:
.
n n F
fn = v=
�
2L 2L
Najni\
szą częstość nazywamy częstością podstawową a pozostałe wy\
szymi
harmonicznymi czyli alikwotami.
Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, równie\
drgania
harmoniczne, a dz
więki, jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań.
O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte
w dz
więku i jakie są ich natę\
enia.
Przykład: drganie wypadkowe struny będące zło\
eniem tonu podstawowego
(n = 1) i wy\
szych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o ró\
nych amplitudach.
drganie wypadkowe
n = 3
n = 5
n = 7
�! wypadkowe drganie, (chocia\
okresowe) nie jest harmoniczne
�!
�!
�!
(nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).
Przekazywanie informacji dz
więkowych
Przetwornik
sygnału
Fala dz
więkowa
Ciąg potencjałów
Fala dz
więkowa
y
ródło OUN
Ucho
dz
więku
Nośnik informacji
Przetwornik
Informacja
informacji
Ruch drgający
y = Asin(�t+Ć)
" y  wychylenie
" A  amplituda
" � częstość kołowa
" Ć  stała fazowa
Drgania tłumione
A(t) = A0e-�t
" A(t)  amplituda
" A0  amplituda początkowa
" �  współczynnik tłumienia
Fala głosowa (akustyczna)
" Ruch falowy polega na przekazywaniu ruchu
drgającego z
ródła fali kolejno na coraz
bardziej oddalone części ośrodka
stanowiącego nośnik fali.
Wraz z przekazywaniem ruchu drgającego
odbywa się przekazywanie energii.
Przemieszcza się deformacja ośrodka nie
materia.
Fala głosowa
" Fala głosowa jest falą
podłu\
ną: ka\
dy punkt ośrodka
wykonuje drgania harmoniczne
proste równoległe do kierunku
rozchodzenia się fal, im dalej
od z
ródła tym bardziej
opóz
nione.
Fala głosowa
x = tv
" x  droga przebyta przez czoło fali,
" t  czas,
" v  prędkość rozchodzenia się fali,
 =vT = v/ł
ł
ł
ł
"   długość fali [m],
" T  okres [s],
" ł  częstotliwość [Hz].
ł
ł
ł
Równanie fali
" y = Asin�t,
" y = Asin�(t  x/y) = Asin2Ą(t/T  x/)
" y  wychylenie punktu odległego o x od z
ródła
Prędkość rozchodzenia się fal
dz
więkowych
" Powietrze 20o C  340 m/s
" Woda 25o C  1500 m/s
" Miedz
20o C  3700 m/s
" Krew 37o C  1570 m/s
" Tkanki ciała  1579 m/s
Fala dz
więkowa
" Fala dz
więkowa to przemieszczające się
ciśnienia i zagęszczenia oraz
rozrzedzenia przemieszczające się z
prędkością v.
" Nale\
y rozró\
nić vd jako prędkość cząstki
drgającej zwaną prędkością akustyczną
oraz v jako prędkość rozchodzenia się
prędkość fazową.
Wra\
enia słuchowe
" Tony  odpowiadają drganiom harmonicznym z
ródeł o
jednej, ściśle określonej częstotliwości.
" Dz
więki  powstają wtedy, gdy z
ródło prócz fali
podstawowej, o częstotliwości najmniejszej, wysyła fale
harmoniczne o częstotliwościach będących całkowitymi
wielokrotnościami częstotliwości fali podstawowej.
" Szmery są to wra\
enia słuchowe powstające wtedy,
gdy do ucha dochodzą fale o ró\
nych, dowolnych
częstotliwości.
" Tony proste występują niesłychanie rzadko. Dz
więk
wydawany przez kamerton jest zbli\
ony do tonu
prostego.
Dz
więki
" Dz
więki mogą się ró\
nić wysokością,
natę\
eniem i barwą.
" Wysokość dz
więku jest związana z
częstotliwością drgań z
ródła; częstotliwościom
małym odpowiadają dz
więki niskie i odwrotnie.
" Natę\
enie dz
więku mierzy się ilością energii
przenoszonej w jednostce czasu przez
jednostkę powierzchni ustawionej prostopadle
do promienia fali. I = E/S [W/m2].
" Barwa dz
więku zale\
y od liczby składowych
tonów harmonicznych i stosunków ich natę\
eń.
Dz
więki
" Dz
więki podlegają zasadzie superpozycji
mo\
na je rozło\
yć na szereg drgań
składowych o stałych częstotliwościach
będących kolejnymi wielokrotnościami
pewnej najmniejszej (podstawowej)
częstotliwości (zasada Fouriera).
Wysokość - fizyczną miarą wysokości dz
więku jest częstotliwość fali dz
więkowej,
przy czym dz
więk jest tym wy\
szy, im wy\
sza jest częstotliwość.
Barwa - Dz
więki wytwarzane przez z
ródła drgające ruchem harmonicznym,
których wykres drgań ma kształt sinusoidy, nazywają się tonami.
Czułość ucha ludzkiego
" Większość ludzi słyszy:
od fmin = 16 Hz do fmax = 20 kHz
gdy natę\
enie wynosi I = 10-3 W/m2
dz
więki o częstotliwości od 103 do 5�103 Hz
są słyszalne gdy ich natę\
enie nie przekracza
I = 10-12 W/m2
I0 = 10-12 W/m2  natę\
enie poziomu zerowego
Krzywa czułości ucha
I/I0
Próg bólu
1012 (120 dB)
Próg
Zakres
Słyszalności
Słyszalności
100
ł [Hz]
2�104
20 103
Skala subiektywnego natę\
enia dz
więku
I
I
� = log
n �"10 dB
= 10n
�!
I0
I0
W
gdzie: I0 = 10-12
m2
�! Subiektywne odczuwalne natę\
enie dz
więku (poziom natę\
enia) mo\
na
ocenić na podstawie prawa Webera i Fechnera: zmiana intensywności
subiektywnego wra\
enia dz
więkowego wywołanego przez dwa dz
więki jest
proporcjonalne do logarytmu stosunku natę\
eń porównywanych
dz
więków.
Natę\
enia ró\
nych dz
więków [dB]
" Szept  0 dB
" Zwykła rozmowa - 40 dB
" Ulica wielkiego miasta  80 do 90 dB
" Fortissimo orkiestry  90 do 100 dB
" Płetwal błękitny  188 dB
(dz
więki rejestrowane do 850 km)
Efekt Dopplera dla fal dz
więkowych
Jeśli z
ródło i/lub obserwator poruszają się w stosunku do materialnego ośrodka,
w którym rozchodzą się fale  częstość obserwowana jest ró\
na od częstości z
ródła.
Zjawisko Dopplera polega na tym, \
e jeśli z
ródło dz
więku porusza się
względem obserwatora, to słyszy on dz
więk inny ni\
w rzeczywistości.
Gdy z
ródło zbli\
a się, to obserwator rejestruje dz
więk wy\
szy od
rzeczywistego; gdy się oddala, to rejestruje dz
więk ni\
szy.
Efekt Dopplera
y
ródło porusza się z prędkością u.
ZoZ1 - droga przebyta przez z
ródło w ciągu okresu
Z0O = Z0Z1 + Z1C + CO
Z0O = 3
3 = ut + 2 + '
'= 3 - 2 - uT
'=  - uT
Efekt Dopplera
3 = ut + 2 + '
'= 3 - 2 - uT
'=  - uT
Zamiast długości fali mo\
emy wstawić
iloraz prędkości v i częstotliwości fali f :
v v u
v v - u
= +
�! =
f ' f f
f ' f
f - częstotliwość, jaką odbiera obserwator, gdy z
ródło zbli\
a się z prędkością u
v
vf = f '(v - u)
f '= f
v - u
Efekt Dopplera
y
ródło porusza się z prędkością u w kierunku obserwatora O.
v
f '= f
v - u
Analogicznie mo\
na wyprowadzić wzór na częstotliwość, jaką obserwator odbiera,
gdy z
ródło oddala się z prędkością u.
v
f ''= f
v + u
u musi być mniejsze od prędkości dz
więku
Efekt Dopplera
Wzory na częstotliwość, jaką odbiera obserwator, gdy obserwator porusza się z prędkością w :
v + w
- obserwator się zbli\
a
f '= f
v
v
f '= f - obserwator się oddala
v - u
Wzory na częstotliwość, jaką odbiera obserwator, gdy obserwator porusza się z prędkością w
i z
ródło porusza się z prędkością u:
v + w
- z
ródło i obserwator zbli\
ają się do siebie
f '= f
v - u
v - w
- z
ródło i obserwator oddalają się do siebie
f '= f
v + u
Rozchodzenie się fali w wodzie
Fale grawitacyjne
W wyniku podwodnego wstrząsu na powierzchni oceanu powstaje fala poprzeczna.
Z równań dynamiki cieczy wynika, \
e prędkość v tej fali związana jest zarówno
z jej długością l, jak i głębokością h cieczy, w sposób następujący:
ex -e-x
g
2Ą
tgh(x) =
(1)
v2 = tgh
ex +e-x
2Ą 
gdzie g jest przyśpieszeniem grawitacyjnym.
Występujący w powy\
szym wzorze tangens hiperboliczny dla małych argumentów,
a więc dla głębokości znacznie mniejszych od długości fali (h<równa się swojemu argumentowi.
Woda  płytka to woda, której głębokość jest du\
o mniejsza od długości fali (h<2Ąh 2Ąh
Wtedy
tgh
 
g
2Ą
(1) v2 = tgh
2Ą 
a więc zgodnie ze wzorem (1) prędkość fali
v = gh
Fale kapilarne
w których decydujące znaczenie ma napięcie powierzchniowe cieczy i których
prędkość nie zale\
y od głębokości.
Prędkość fal kapilarnych na wodzie:
2Ą
v =
�
Wzór bardziej ogólny:
g 2Ą� g � k
v = + = +
2Ą � k �