KATEDRA BUDOWNICTWA I GEODEZJI
ZAKA
AD BUDOWNICTWA WIEJSKIEGO
Materiały budowlane
Projektowanie betonów zwykłych metodą trzech równań
A
ukasz Gradowski
I Równanie wytrzymałości.
Wyznaczenie średniej wytrzymałość betonu na ściskanie:
fcm = 1,3*RGb = 1,3*20 = 26 Mpa
Na podstawie obliczeń określono, \
e współczynnik cementowo-wodny wynosi:
c c fcm c 26
1) fmc = A( ą a) => = + a => = + 0,5 = 1,80
w w A1 w 20
gdzie: A1  współczynnik zale\
ny od rodzaju kruszywa i klasy cementu A" (20,22)
(przyjmujemy A1=20)
a = -0,5
Zawiera się on w następującym przedziale:
1,2 < c/w d" 2,5
c c fcm c 26
2) fmc = A( ą a) => = - a => = - 0,5 =1,35
w w A1 w 14
gdzie: A2  współczynnik zale\
ny od rodzaju kruszywa i klasy cementu A2=14 a=0,5 Nie
zawiera się on w następującym przedziale:
2,5 < c/w d" 2,8
Ostatecznie współczynnik cementowo- wodny wynosi: c/w= 1,80 (�)
II Równanie szczelności
K
C
1000 = + +W
"
�k �c
C  masa cementu w 1m3 betonu
�c =3,1 kg/m3  gęstość cementu
�k =2,65 kg/m3  gęstość kruszywa
K  masa kruszywa danej frakcji
III Równanie konsystencji.
W=C �wc+K�wk
wc  wskaz
nik wodorządności cementu zale\
ny od jego klasy i konsystencji projektowanej
mieszanki
wk  wskaz
nik wodorządności kruszywa wyznaczony metodą krzywych granicznych
IV Metoda krzywych granicznych:
Kolejny etap pracy polega na wyznaczeniu krzywych pełnego uziarnienia kruszywa
do betonu (dolna, górna, środkowa) i obliczeniu dla ka\
dej z nich wskaz
ników wodo\
ądności
wk.
Zawartość procentowa frakcji Wodorządnośc frakcji
Wskaz
nik
Frakcja Krzywa Krzywa Krzywa
wf Wg Ws Wd
górna środkowa dolna
0,00-0,125 4 3 2 0,265 1,06 0,795 0,53
0,125-0,25 5 3 1 0,128 0,64 0,384 0,128
0,25-0,5 9 8 7 0,088 0,792 0,704 0,616
0,5-1 16 13 11 0,063 1,008 0,819 0,693
1-2 14 8 7 0,046 0,644 0,368 0,322
2-4 11 9 5 0,035 0,385 0,315 0,175
4-8 20 23 27 0,027 0,54 0,621 0,729
8-16 21 33 40 0,022 0,462 0,726 0,88
Suma 100 100 100 5,531 4,732 4,073
Ł
0,005531 0,004732 0,004073
Ł/1000
Rys. Krzywe uziarnienia kruszywa
[%]
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
[mm]
Krzywa graniczna Górna Krzywa Graniczna Dolna Wg Ws Wd
[%]
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
[mm]
Krzywa graniczna górna Krzywa graniczna dolna Wg Ws Wd
1) Ilość cementu:
1000
C =
�ł �ł
1 wc �"� 1
�ł �ł
+
�ł1+
� wk �" �k �ł �c
�ł łł
�c =3,1 kg/m3
�k =2,65 kg/m3
� = 1,8
wc  wskaz
nik wodorządności cementu zale\
ny od jego klasy i konsystencji projektowanej
mieszanki
wk  wskaz
nik wodorządności kruszywa wyznaczony metodą krzywych granicznych
Ilość cementu C [kg/m3]
Dla krzywej
Dla krzywej górnej Dla krzywej dolnej
środkowej
353,81 323,16 283,79
2) Ilość kruszywa
C �"(1- wc �"�)
K =
wk �"�
C  ilość cementu
Ilość kruszywa K [kg/m3]
Dla krzywej
Dla krzywej górnej Dla krzywej dolnej
środkowej
1826,66 1897,99 1989,61
3) Ilość wody
C
W =
�
Ilość wody W [l/m3]
Dla krzywej
Dla krzywej górnej Dla krzywej dolnej
środkowej
196,56 179,53 157,66
4) Warunek ilości zaprawy
K
C
p
Vz = + +W d" Vz max
�c �k
�c =3,1 kg/m3
�k =2,65 kg/m3
Vzmax = 500  550 dm3/m3
Ilość zaprawy Vz [dm3/m3]
Dla krzywej
Dla krzywej górnej Dla krzywej dolnej
środkowej
641,56 563,10 459,43
To pozwoliło rozpocząć obliczenia ilościowe cementu, wody i kruszywa według metody
Bukowskiego i Kluza - Eymana.
Metoda Bukowskiego:
c
� =
w
1000
K =
wk �ł �ł
� 1
�ł �ł
+1�ł +
�ł
1- wc� �c łł �k
�ł
wk
W = K
1- wc�
C = �W
Metoda Kluza - Eymana:
�ł �ł
1 fcm �ł�ł wc 1
B = 1+ - �ł �ł�ł - �ł
+ 0,5
�ł �ł�ł �ł
wk �k A1 wk �k �c
�ł łł�ł łł
�ł
1000 fcm �ł
�ł �ł
C = + 0,5
�ł �ł
B A1
�ł łł
1000
W =
B
�ł łł
�ł
1000 1 fcm �ł
K = �"
�ł1- wc �ł A1 + 0,5�łśł
�ł �ł
B wk
�ł łł
�ł �ł
gdzie:
� = c / w = 1,8
�c = 3,10kg / dm3 - gęstość cementu
�k = 2,65kg / dm3 - gęstość kruszywa
Metoda Kluza- Eymana Metoda Bukowskiego
Ilość Ilość Ilość Ilość Ilość Ilość
Rodzaj wk
B kruszywa wody W cementu kruszywa wody cementu
krzywej [dm3/kg]
K [kg] [dm3] C [kg] K [kg] W [dm3] C [kg]
Kg 0,055 5,09 1826,66 196,56 353,81 1826,66 196,56 353,81
Ks 0,049 5,57 1897,99 179,53 323,16 1897,99 179,53 323,16
Kd 0,041 6,34 1989,61 157,66 283,79 1989,61 157,66 283,79
Weryfikacja warunków ostatecznych:
" Minimalna dopuszczalna zawartość cementu w mieszance betonowej dla klasy ekspozycji
X0, dla betonu niezbrojonego wynosi: 190 kg/m3
" Objętość zaprawy:
K
C
p
Vz = + +W
�k �c
" Objętość ziarn poni\
ej 0,125 wraz z cementem:
K<0,125
C
V<0,125 = +
�c �k
Metoda Kluza-Eymana Metoda Bukowskiego
Ilość Objętość Objętość
Rodzaj Ilość Ilość Ilość Ilość Ilość frakcji
frakcji frakcji frakcji
krzywej
piasku zaprawy Vz piasku zaprawy Vz K<0,125
K<0,125 V<0,125 V<0,125
Kp [kg] [dm3] Kp [kg] [dm3] [kg]
[kg] [m3] [m3]
Kg 876,80 641,56 73,07 141,70 876,80 641,56 73,07 141,70
Ks 740,21 563,10 56,94 125,73 740,21 563,10 56,94 125,73
Kd 557,09 459,43 39,79 106,56 557,09 459,43 39,79 106,56
Zalecaną ilość zaprawy: 500-550 dm3/m3 oraz
"
najmniejszą objętość absolutną ziaren poni\
ej 0,125 mm wraz z cementem: 95 dm3/m3.
Powy\
sze warunki spełnia krzywa Kg
" Sprawdzenie warunku szczelności
C K
+ +W =1000
�c �k
1) dla metody Kluza- Eymana
353,81 1826,66
+ +196,56 = 1000 warunek spełniony
3,10 2,65
2) dla metody Bukowskiego
353,81 1826,66
+ +196,56 = 1000 warunek spełniony
3,10 2,65
Wszystkie warunki zostały spełnione
VII Dobieranie kruszywa metodą punktu piaskowego.
Metoda ta polega na określeniu procentowej zawartości poszczególnych frakcji w mieszance
betonu.
Punkt piaskowy jest to wartość wskazująca jakim procentem stosu okruchowego jest frakcja
piaskowa. Zale\
y ona od wskaz
nika cementowo-wodnego (�), ilości zaprawy w 1m3 betonu
oraz konsystencji masy betonowej.
Celem jest zmieszanie frakcji piaskowej i \
wirowej w takich proporcjach, aby procentowy
udział frakcji piasku był równy zalecanej wielkości punktu piaskowego. Aby go uzyskać
wstępnie dobrano dwie krzywe uziarnienia.
PP - P
Następnie obliczono wartość parametru: X = , gdzie:
P - Pś
- PP  punkt piaskowy kruszywa drobnego (suma do 2mm z krzywej piaskowej); PP = 97%
- Pś  punkt piaskowy kruszywa grubego (suma do 2mm z krzywej \
wirowej); Pś = 5%
- P  punkt piaskowy dobrany z Tabeli 5; P = 43%
97 - 43
X = = 1,421
43 - 5,0
Procentowa Obliczanie składu
Zawartość
Wskaz
nik Wodo\
ądność
zawartość mieszanki kruszywa
Frakcje procentowa
wodny kruszywa
w kruszywie
piasek Kp \
wir K\
K\
*x K\
*x+Kp
0- 0,125 9 - - 9,00 3,87 0,24 0,929
0,125- 0,25 8 - - 8,00 3,44 0,106 0,365
0,25- 0,5 20 - - 20,00 8,6 0,072 0,619
0,5- 1 20 - - 20,00 8,6 0,052 0,447
1- 2 43 - - 43,00 18,49 0,038 0,703
2- 4 - 20 26,51 26,51 11,4 0,029 0,331
4- 8 - 45 59,65 59,65 25,65 0,023 0,590
8- 16 - 35 46,40 46,40 19,95 0,018 0,359
100 100 232,56 100 Wk= 0,043
Metoda Kluza- Eymana Metoda Bukowskiego
Ilośc Ilośc Ilośc Ilosc
Wk Ilośc wody Ilośc wody
B kruszywa cementu kruszywa cementu
[dm3/kg] W [dm3] W [dm3]
K [kg] C [kg] K [kg] C [kg]
0,043 7,048 2100,714 141,890 202,701 2100,706 141,892 202,706
Metoda Kluza-Eymana Metoda Bukowskiego
Ilośc Ilośc frakcji Objętośc Ilośc Objętośc
Ilośc zaprawy Ilośc zaprawy Ilośc frakcji
piasku K<0,125 frakcji piasku frakcji
Vz [dm3] Vz [dm3] K<0,125 [kg]
Kp [kg] [kg] V<0,125 [m3] Kp [kg] V<0,125 [m3]
903,307 548,148 81,298 96,066 903,307 548,151 81,298 96,067
" Sprawdzenie warunku szczelności
C K
+ +W =1000
�c �k
202,701 2100,714
+ +141,890 = 1000 warunek spełniony
3,10 2,65
Powy\
sza krzywa spełnia warunki określone w normie ( Tab. 1  Zalecane ilości zaprawy w
mieszance betonowej ) :
" zalecaną ilość zaprawy: 500-550 dm3/m3 oraz
"
najmniejszą objętość absolutną ziaren poni\
ej 0,125 mm wraz z cementem: 95 dm3/m3.
Wszystkie warunki zostały spełnione (ró\
nica mniejsza od 1)
VIII Wyznaczenie zarobu roboczego.
Vu = Vz*ą
Vz = 95 dm3
�nc = 1,1 kg/dm3
�np = 1,8 kg/dm3
�n\
= 1,6 kg/dm3
1000 1000
ą = = = 0,697
C ś P 202,701 1197,407 903,307
+ + + +
1,1 1,6 1,8
�nc �n\
�np
Vu = Vz �"ą = 95�" 0,697 = 66,2245 dm3
C 202,701
Crzeczywiste = �"Vu = 66,2245 =13,4238
1000 1000
W 141,890
Wrzeczywiste = �"Vu = 66,2245 = 9,3966
1000 1000
K 2100,714
Krzeczywiste = �"Vu = 66,2245 =139,119
1000 1000
Uziarnienie kruszywa do zarobu roboczego:
Zawartość
Zawartość
Frakcje procentowa
obj. [kg]
[%]
0 - 0,125 3,9 5,384
0,125 - 0,25 3,4 4,786
0,25 - 0,5 8,6 11,964
0,5 - 1,0 8,6 11,964
1  2 18,5 25,723
2  4 11,4 15,860
4  8 25,7 35,684
27,754
8  16 20,0
139,119
Ł 100,0