Ćwiczenie 1
POMIARY IMPEDANCJI
1. Wprowadzenie
1.1. Rezystancja
W roku 1826 Georg Simon Ohm stwierdził doświadczalnie, że wartość prądu elektrycznego
jednokierunkowego I, przepływającego przez metalowy przewodnik jest wprost proporcjo-
nalna do napięcia U, wynikającego z różnicy potencjałów początku V1 i końca V2 przewodni-
ka (U = V1  V2):
U
I ~ U; I = . (1.1)
~
~
~
R
Zależność (1.1) jest powszechnie nazywana prawem Ohma. Współczynnik proporcjonalno-
ści R nosi nazwę rezystancji (oporu elektrycznego).
Zależność (1.1) może być przedstawiona również w postaci
I = G Å"U , (1.1a)
1
gdzie: G = nazywa się konduktancją (przewodnością elektryczną).
R
JednostkÄ… rezystancji jest om [1 &!], a jednostkÄ… konduktancji  simens [1 S].
Związek określający rezystancję z zależności od napięcia i prądu można przedstawić graficz-
nie jako charakterystykę napięciowo-prądową tej rezystancji. W przypadku, gdy wartość re-
zystancji jest niezależna od prądu i napięcia, charakterystyka napięciowo-prądowa jest linią
prostÄ…, a rezystancja nazywa siÄ™ rezystancjÄ… liniowÄ…. Dla rezystancji liniowej przebiegi cza-
sowe prądu i napięcia są do siebie proporcjonalne. Jeżeli charakterystyka napięciowo-
prądowa nie jest linią prostą, to rezystancja zależy od prądu i napięcia i nazywa się rezystan-
cją nieliniową. Charakterystyki napięciowo-prądowe pokazano na rys. 1.
a)
b)
U U
I I
Rys.1. Charakterystyki U = f(I) rezystancji: a) rezystancja liniowa; b) rezystancja nieliniowa
1
Rezystancja przewodu jest tym większa, im większa jest jego długość l i im mniejszy przekrój
poprzeczny s. Te zależności można zapisać za pomocą równania:
Á Å"l
R = . (1.2)
s
Współczynnik proporcjonalnoÅ›ci Á jest staÅ‚Ä…, której wartość zależy od rodzaju materiaÅ‚u
przewodu. Stała ta nazywa się rezystywnością materiału, lub opornością właściwą. Jednostką
rezystywnoÅ›ci jest [1 &!·m]. W praktyce używa siÄ™ czÄ™sto jednostki pokrewnej, dostosowanej
&! Å" mm2
do wymiaru przewodów. Jest nią [1 ]. Wielkość odwrotna nazywa się konduktyw-
m
nością, lub przewodnością właściwą.
Zgodnie z równaniem (1.2), rezystancja materiału ma, w zależności od konduktywności, po-
stać następującą:
l
R = . (1.3)
Å‚ Å" s
JednostkÄ… konduktywnoÅ›ci jest [1 S·m-1] lub [1 S·m/mm2].
W tablicy 1 podano wartości rezystywności i konduktywności niektórych materiałów stoso-
wanych w elektrotechnice.
Z punktu widzenia przewodzenia prądu elektrycznego, materiały dzieli się na trzy grupy:
" przewodniki,
" dielektryki,
" półprzewodniki.
Przewodniki są to materiały o małej rezystywności, przewodzące łatwo prąd pod wpływem
przyłożonego napięcia. Do przewodników zalicza się materiały, w których przepływ prądu
polega na ruchu elektronów swobodnych (przewodnictwo elektronowe). Do tej grupy należą
metale i węgiel. Metale mają bardzo dużą liczbę elektronów swobodnych (ok. 1023 w cm3).
Do przewodników zalicza się również materiały, w których przepływ prądu polega na ruchu
jonów naładowanych dodatnio lub ujemnie (przewodnictwo jonowe). Do tej klasy przewod-
ników należą wodne roztwory zasad, kwasów i soli).
Dielektryki są to materiały mające tylko nieznaczną liczbę elektronów swobodnych, wskutek
czego praktycznie prądu nie przewodzą. Dlatego stosuje się je jako materiały izolacyjne. Na-
leżą do nich gazy, oleje oraz ciała stałe z wyjątkiem przewodników. W elektrotechnice jako
2
materiały izolacyjne stosowane są najczęściej: płótna bawełniane, jedwabne, szklane, porce-
lana, olej, guma, papier, mika, tworzywa sztuczne itp.
Półprzewodniki, w których przenoszenie ładunków odbywa się przez ruch elektronów, mają
pośrednią zdolność przewodzenia prądu: w pewnych warunkach zachowują się one jak izola-
tory, w innych jak przewodniki. Ich przewodnictwo elektryczne zmienia się pod wpływem
różnych czynników fizycznych, np. światło, temperatura. Do półprzewodników należą: selen,
german, krzem, tlenki miedzi, metali alkalicznych, uranu, oraz niektóre siarczki i węgliki.
Rezystancja materiału zależy nie tylko od wielkości występujących w równaniach (1.2) i
(1.3), lecz także od temperatury. W praktyce przyjęto podawać wartości rezystancji R20 dla
temperatury 20 oC (293 K). Jeżeli temperatura odbiega od 20 oC, występuje przyrost rezystan-
cji "R, który wynosi:
"R = Ä… Å" R20 Å""t , (1.4)
gdzie: ą  temperaturowy współczynnik rezystancji,
"t  przyrost temperatury w stosunku do 20 oC.
Temperaturowy współczynnik rezystancji ą jest to względny przyrost rezystancji przy wzro-
ście temperatury o 1 K (1 oC). Jego wymiar wynosi [K-1].
Współczynnik ą zależy również od temperatury, jednak dla temperatur występujących w elek-
trotechnice przyjmuje się wartość ą odpowiadającą 20 oC. W wielu przypadkach błąd spowo-
dowany tym założeniem jest niewielki. Wartości temperaturowych współczynników rezystan-
cji przy 20 oC dla niektórych materiałów podano w tablicy 1.
Rezystancję zależną od temperatury określa się z wyrażenia:
R = R20 +Ä…20 Å" R20 Å""t = R20(1+Ä…20 Å""t). (1.5)
.
.
.
Zależność (1.5) jest często wykorzystywana w elektrotechnice do wyznaczania przyrostu
temperatury uzwojeń urządzeń elektrycznych, jeżeli zostanie zmierzona rezystancja uzwoje-
nia w stanie zimnym i w stanie nagrzanym. Taka metoda nazywa siÄ™ metodÄ… rezystancyjnÄ…
pomiaru przyrostu temperatury uzwojeń.
Niektóre półprzewodniki, szczególnie tlenki magnezu, niklu, miedzi i kobaltu, wykazują duży
ujemny temperaturowy współczynnik rezystancji, tj. ich rezystancja spada gwałtownie ze
wzrostem temperatury. Materiały te są znane jako termistory NTC*i stosowane jako bardzo
*
Negative Temperature Coefficient  ujemny współczynnik temperaturowy (zmian rezystancji)
3
czułe elementy termometrów rezystancyjnych.
Dodatni temperaturowy współczynnik rezystancji mają termistory PTC**
(inaczej pozystory). SÄ… to elementy ceramiczne, wykonane z modyfikowanego tytanianu baru
(BaTiO3). Stosowane są między innymi jako czujniki do zabezpieczania silników elektrycz-
nych od przeciążeń.
Niektóre materiały wykazują gwałtowny spadek rezystancji w pobliżu zera
bezwzględnego (0 K). Np. aluminium wykazuje rezystancję równą zeru przy 1,1 K, cynk przy
0,79 K, rtęć przy 4K. Na rys. 3 pokazano typowy przebieg rezystywności przy niskich tempe-
raturach. Zjawisko to nazywa siÄ™ nadprzewodnictwem elektrycznym. Nadprzewodniki mo-
gą przenosić znacznie większe gęstości prądu niż konwencjonalne przewodniki, co pozwala
radykalnie zmniejszyć wymiary i ciężar uzwojeń. Ponadto, dzięki uzyskaniu pola magnetycz-
nego o bardzo dużym natężeniu, powstaje możliwość eliminacji ciężkiego rdzenia magne-
tycznego.
Rys.3. Typowy przebieg rezystywności w niskich temperaturach
Tablica1. Rezystywność, konduktywność, współczynnik temperaturowy rezystancji róż-
nych przewodników
Nazwa przewodnika Rezystywność w Konduktywność w Współczynnik
temp. 20 oC temp. 20 oC temp. rezystancji
&!·mm2/m S‡ m/mm2 1/K
Aluminium 0,0283 35,3 0,0039
Chromonikielina 1,1 0,91 0,00015
Cyna 0,12 8,33 0,0044
**
Positive Temperature Coefficient  dodatni współczynnik temperaturowy (zmian rezystancji)
4
Cynk 0,063 15,9 0,0037
Kanthal A1 1,49 0,672 0,000064
Konstantan 0,48 2,1 0,00003
Manganin 0,44 2,3 0,00008
Miedz
czysta 0,0168 59,4 0,00393
Miedz
przewodowa 0,0185-0,0175 54,0-57,0 0,00393
MosiÄ…dz 0,08-0,07 12,5-14,3 0,0013-0,0019
Nikiel 0,091 11,0 0,0044
Nikielina 0,5 2 0,00028
Ołów 0,21 4,8 0,004
Platyna 0,111 9,0 0,00385
Rtęć 0,958 1,044 0,0009
Srebro 0,016 62,5 0,0041
Stal 0,1-0,5 2,0-10 0,0052
Wolfram 0,055 18,2 0,0046
Żeliwo 2,0-5,0 0,2-0,5 0,0052
1.2. Impedancja
Pojęcie rezystancji jest całkowicie ścisłe tylko dla obwodów prądu stałego. W obwo-
dach prądu przemiennego pojęcie to należy rozszerzyć na parametry cewek indukcyjnych
i kondensatorów. Impedancja (Z) jest wielkością charakteryzującą elementy elektryczne
właśnie w obwodach prądu zmiennego. Definiuje się ją jako współczynnik proporcjonal-
ności między prądem i napięciem sinusoidalnym dla gałęzi R - X. Jest to uogólnienie po-
jęcia rezystancji znanej z obwodów prądu stałego, co pozwala podać ogólny wzór na im-
pedancjÄ™, wynikajÄ…cy z prawa Ohma:
U
Z = (1.6)
I
Wartości symboliczne U i I są liczbami zespolonymi, określonymi są dla przebiegów
sinusoidalnych o okreÅ›lonej pulsacji É nastÄ™pujÄ…co:
- dla przebiegu napiÄ™cia u(Ä ) = Um cos(ÉÄ + Õu ) wartość symboliczna wynosi:
U
jÕu
m
U = e
2
- dla przebiegu prÄ…du i(Ä ) = Im cos(ÉÄ + Õi ) wartość symboliczna wynosi:
Im jÕi
I = e
2
5
Impedancja jest więc wielkością zespoloną i może być przedstawiona w postaci wykład-
niczej:
jÕ
Z = Z e
Gdzie Z jest modułem równym stosunkowi amplitudy Um (lub wartości skutecznej
U Im
m
) napiÄ™cia do amplitudy Im (lub wartoÅ›ci skutecznej ) prÄ…du w dwójniku; kÄ…t Õ
2 2
zwany jest argumentem (głównym) impedancji i jest równy różnicy pomiędzy początko-
wym kÄ…tem fazowym napiÄ™cia (Õu ) i prÄ…du (Õi ).
Impedancja jest wypadkowÄ… oporu czynnego (rezystancji) i biernego (reaktancji)
(1.10). Jej postać zespolona może zostać przedstawiona w postaci algebraicznej, która dla
ogólnego przypadku obwodu składającego się z elementów R, L, C możne być przedsta-
wiona jako:
1
Z = R + jX = R + j( ÉL - ) (1.10)
( )
( )
( )
ÉC
gdzie:
R = Re( Z )- rezystancja, &!
X = Im( Z ) = X - X - reaktancja, &!
L C
X = ÉL - reaktancja indukcyjna, &!
L
1
XC = - reaktancja pojemnościowa, &!
ÉC
É = 2Ä„f - pulsacja prÄ…du lub napiÄ™cia, rd/s
Wartość modułową impedancji zapisujemy jako:
2
Z = R2 + X (1.11)
Powyższe zależności są wygodne do opisu obwodów z szeregowo połączonymi ele-
mentami R, L, C. W przypadku gałęzi równoległych wygodnie jest posługiwać się bliz
-
niaczymi pojęciami admitancji, kondunktancji i susceptancji, będącymi odwrotnościami
wprowadzonych pojęć impedancji, rezystancji i reaktancji. Admitancja (Y) opisuje zatem
równoległe połączenie elementów G, B:
1
Y = G + jB = G + j( ÉC - ) (1.12)
( )
( )
( )
ÉL
gdzie:
G - konduktancja, S
B = BC - BL - susceptancja, S
BC = ÉC - susceptancja pojemnoÅ›ciowa, S
1
BL = - susceptancja indukcyjna, S
ÉL
Wartość modułowa admitancji wyznaczana jest jako:
Y = G2 + B2 (1.13)
Z powyższych zależności łatwo zauważyć, iż admitancja jest odwrotnością impedan-
cji. Obowiązują więc zależności:
1 1
Y = ; Y = (1.14)
Z Z
6
Z powyższych zależności wynika, że zarówno wartość reaktancji (X), jak i susceptan-
cji (B) zależna jest od częstotliwości przebiegu. Rezystancja (R) oraz konduktancja
(G) formalnie nie wykazują takiej zależności.
Elementy R, L, C definiowane są jako współczynniki proporcjonalności pomiędzy od-
powiednimi wielkościami fizycznymi według niniejszych relacji:
U È Q
R = ; L = ; C = (1.15)
I I U
Zależności zachodzące pomiędzy rezystancją, reaktancją i impedancją zespoloną mo-
gą być odwzorowane na płaszczyz
nie w postaci trójkąta (rys. 4), który obrazuje
zwiÄ…zki zachodzÄ…ce pomiÄ™dzy tymi wielkoÅ›ciami i argumentem Õ impedancji zespo-
lonej.
Rys. 4. Trójkąty impedancji
Idealne elementy R, L, C samoistnie nie występują w obwodach prądu przemiennego.
W zależności od częstotliwości występują w zestawach podwójnych lub potrójnych,
jak pokazano na rys. 5. W zakresie częstotliwości niskich (do około 10 kHz) stosuje
się najczęściej następujące schematy zastępcze elementów R, L, C:
- rezystor  jako element idealny Z = R + j0
- cewka indukcyjna  jako gałąz
szeregowa Z = RL + jX
L L
- kondensator jako gałąz
równoległa: Z = GC + jBC
C
RC
a)
R RL
L C
R RL
b) L C LC
RC
CR
Rys. 5. Schematy zastępcze rezystora, cewki i kondensatora.
a) dla f d" 10kHz ; b) dla f E" 10MHz
2. Metody pomiarowe
Pomiary rezystancji mogą być wykonywane zarówno metodami pośrednimi, jak i bezpośred-
nimi.
7
2.1. Metody pośrednie
Metodą pośrednią jest metoda techniczna, pomiarowo-obliczeniowa, w której nieznaną im-
pedancję Zx wyznacza się pośrednio z pomiaru prądu i napięcia. Podane poniżej rozważania
odnoszą się do pomiarów impedancji przy przebiegach przemienno prądowych. Jeżeli układy
pomiarowe pokazane na rys. 6 zasilone zostaną napięciem stałym, wówczas mierzona będzie
rzeczywista część impedancji, czyli rezystancja. Należy pamiętać, iż w układach stałoprądo-
wych cewka stanowi zwarcie, a kondensator przerwÄ™ w obwodzie.
Metoda ta, wykorzystujÄ…ca amperomierz i woltomierz, jest metodÄ… najbardziej rozpowszech-
nioną. Ten sposób pomiaru wynika wprost z prawa Ohma
U
Zx = . (2.1)
I
Stosowane są tu dwa układy pomiarowe: do pomiaru rezystancji małych (rys.6a  układ po-
prawnie mierzonego napięcia), i do pomiaru rezystancji dużych (rys.6b  układ poprawnie
mierzonego prądu). Wartość mierzonej impedancji zostaje wyznaczona ze wskazań obu mier-
ników.
a)
b)
Ua
Ix
I I
A A
Iv
U U
V ZX V ZX
Ux
Rv
Rys.6. Układ do pomiaru impedancji: a) małych (poprawnie mierzonego napięcia); b) dużych
(poprawnie mierzonego prÄ…du)
W pierwszym z tych układów (rys. 6a), woltomierz V o rezystancji wewnętrznej RV, przez
który płynie prąd IV mierzy napięcie na impedancji Zx. Amperomierz A mierzy sumę prądów
IV i Ix
I = IV + I . (2.2)
x
Wartość impedancji obliczona ze wskazań mierników
8
U U
Zx = = , (2.3)
I Ix + IV
natomiast wartość rzeczywista impedancji:
U
Zxrz = . (2.4)
Ix
Pomiar obarczony jest błędem (uchybem). Jest to błąd metody pomiarowej. Nie zależy on od
dokładności użytych przyrządów, a tylko od konfiguracji obwodu. Jego wartość względną (w
procentach) można obliczyć ze wzoru
1
´1 = Å"100 [%] . (2.5)
RV
1 +
Zx
Ze wzoru (2.5) wynika, że błąd spowodowany niedokładnością metody pomiarowej jest
mniejszy w przypadku stosowania woltomierza o dużej rezystancji wewnętrznej RV oraz po-
miaru rezystancji Rx o małej wartości.
Przy pomiarze dużych imedancji (rys. 6b) woltomierz V mierzy sumę spadków napięć: na
amperomierzu o rezystancji wewnętrznej RA i na impedancji Zx
U = U + U . (2.6)
A Rx
Wartość impedancji obliczona na podstawie wskazań przyrządów
U +U
U
A Rx
Zx = = , (2.7)
I I
natomiast wartość rzeczywista impedancji:
U
Rx
Zxrz = . (2.8)
I
Pomiar obarczony jest błędem metody. Wartość jego (w procentach) oblicza się ze wzoru
RA
´2 = Å"100 [%]. (2.9)
Rx
Błąd spowodowany niedokładnością metody jest mniejszy w przypadku stosowania ampero-
mierzy o małej rezystancji wewnętrznej RA oraz pomiaru rezystancji Rx o dużej wartości.
Przedstawiona metoda techniczna umożliwia również wyznaczenie samej tylko rezystancji,
9
gdy układ zasilimy stałym prądem lub napięciem.
Innym układem pozwalającym na pomiar impedancji i jej parametrów R i X jest układ pozwa-
lający na pomiar napięcia (U), prądu (I) oraz mocy czynnej (P), pokazany na rys. 7. Tę meto-
dę pomiaru również można nazwać metodą techniczną. Jednak dla rozróżnienia pokazanych
metod, będzie ona nazywana metodą woltomierza  amperomierza - watomierza. Układ z ry-
sunku 7a jest przydatny do pomiaru małych impedancji odbiornika (Z) w porównaniu z rezy-
stancją zastępczą równolegle połączonych obwodów woltomierza i cewki napięciowej wato-
mierza. Układ z rysunku 7b stosowany jest wówczas, gdy rezystancja amperomierza i cewki
prądowej watomierza jest znacznie mniejsza niż impedancja mierzona.
a)
b)
A W W A
U~ V ZX U~ V ZX
Rys. 7. Układy do pomiaru impedancji, reaktancji i rezystancji.
Pomijając wpływ rezystancji wewnętrznych przyrządów, parametry elementu badanego wy-
znaczyć można na podstawie następujących zależności:
U
P
2
Z = ; R = ; X = Z - R2 (2.10)
2
I I
Znając częstotliwość napięcia zasilającego, można obliczyć indukcyjność lub pojemność od-
biornika.
Niedokładność pomiarów wynika z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, niedokładno-
ści odczytów i wpływu narażeń środowiska (temperatura, wilgotność, obce pola elektroma-
gnetyczne).
2.2. Metoda bezpośrednia pomiaru rezystancji
Miernikami, służącymi do szybkiego, bezpośredniego pomiaru rezystancji, są omomierze.
10
Cechują się niezbyt dużą dokładnością pomiaru i stosuje się je do sprawdzania wartości rezy-
stancji różnych elementów aparatury i sprzętu elektrycznego, oraz do wyszukiwania miejsc
przerw lub zwarć w obwodach elektrycznych. Ze względu na układ pracy, dzielą się na szere-
gowe i równoległe (rys. 7).
a)
b)
Rogr
I
V
Rv
RA
U=
RX
U= RX A
IA
Rys.7. Układy omomierzy: a) szeregowego; b) równoległego
RV  rezystancja wewnętrzna woltomierza; RA  rezystancja wewnętrzna amperomierza
Omomierz szeregowy stanowi szeregowe połączenie woltomierza z rezystancją mierzoną.
Układ zasilany jest ze z
ródła napięcia stałego, którym jest najczęściej ogniwo suche (bateria).
Pod wpływem napięcia U baterii, przez cewkę organu ruchomego woltomierza płynie prąd
U
I = . (2.12)
RV + Rx
Odchylenie ą wskazówki woltomierza jest proporcjonalne do wartości tego prądu, a zatem
U
Ä… ~ ,
~
~
~
RV + Rx
czyli odchylenie to przy stałym napięciu jest funkcją rezystancji Rx.
Z zasady działania omomierza szeregowego wynika, że odchylenie wskazówki jest najwięk-
U
sze (ą = ąmax) przy Rx = 0 ( I = Imax = ). Położenie spoczynkowe wskazówki (ą = 0), (I =
max
max
max
RV
0) oznacza, że do zacisków omomierza nie jest przyłączony żaden opornik (Rx = "). Skala
pomiaru rezystancji jest dla takiego przyrzÄ…du nieliniowa.
Omomierz równoległy stanowi równoległe połączenie amperomierza z rezystancją mierzoną.
Opornik ograniczający Rogr zabezpiecza układ przed przeciążeniem przy Rx = 0. Prąd, płyną-
cy przez amperomierz zależy od wartości rezystancji Rx
11
U Å" Rx
I = . (2.13)
A
Rogr (Rx + RA)+ RxRA
Widać więc, że przy stałym napięciu U odchylenie wskazówki przyrządu zależy tylko od war-
tości rezystancji Rx. Przy Rx = 0 wskazówka zajmuje położenie spoczynkowe (ą = 0) (IA = 0).
Przy Rx = " wskazówka jest najbardziej odchylona, ą = ąmax i wtedy przez miernik płynie
U
prąd I = I = . Podziałki omomierza szeregowego i równoległego, wyskalowane
A Amax
max
max
max
Rogr + RA
w omach, są względem siebie odwrócone.
We współczesnych omomierzach szeregowych stosowane jest z
ródło prądowe, co pozwala na
wyeliminowanie większości błędów pomiarowych a skala jest wprost proporcjonalna do war-
tości mierzonego oporu.
3. Pomiary
W niniejszym ćwiczeniu należy wykonać pomiary impedancji, oraz określić jej poszczególne
składowe, korzystając z wiadomości zawartych w rozdziale 2 niniejszej instrukcji.
3.1. Pomiar rezystancji metodÄ… technicznÄ….
Układ pomiarowy pokazano na rys.6. Wykonać pomiary dwóch wartości rezystancji: R1 =
300 & 400 &!; R2 = 3000 & 4000 &!, oraz dla różnych wartości indukcyjności i pojemności.
Pomiary wykonać dla dwóch układów z rys 6, dla podłączenia woltomierza  za i  przed
amperomierzem. Policzyć wartości rzeczywiste R, L, C. Wyniki pomiarów i obliczeń zamie-
ścić w protokole.
3.3. Pomiar rezystancji omomierzem
Wykonać omomierzem pomiary dwóch wartości rezystancji: R1 = 300 & 400 &!; R2 = 3000
& 4000 &!. Wyniki pomiarów i obliczeń błędów zamieścić w protokole.
LITERATURA
1. Jabłoński W.: Elektrotechnika. WSiP, Warszawa 1989.
2. Pilawski M. W.: Pracownia elektryczna dla ZSE. WSiP, Warszawa 1978.
3. Woz
niak J.: Zadania do zajęć w pracowni elektrycznej. WSiP, Warszawa 1974.
12