Matura 120 (rozszerzony) próbna - grudzień 2007

Zad.1.(5pkt.).

Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a_n), w którym a₁ = 6, a₃ = 24.

1. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n).

2. Oblicz x, jeśli wiadomo, że liczby
   tworzą ciąg arytmetyczny.

Zad.2.(4pkt.).

W trójkącie ABC dane są:
. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie: R = 10. Oblicz miarę kata ACB.

Zad.3.(6pkt.).

Dana jest funkcja
.

1. Przedstaw wzór funkcji f w najprostszej postaci.

2. Narysuj wykres funkcji f.

3. Narysuj wykres funkcji g(x) = f(x) - |f(x)| i podaj jej zbiór wartości.

Zad.4.(4pkt.).

Funkcja kwadratowa f(x) = 2x² + bx + c jest malejąca w przedziale (-∞; 4) i rosnąca w przedziale (4; +∞), a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12.

1. Wyznacz współczynniki b i c.

2. Nie wyznaczając miejsc zerowych x₁ oraz x₂, oblicz wartość wyrażenia:
   .

Zad.5.(3pkt.).

Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem.

Zad.6.(4pkt.).

Wyznacz wartości parametru a, dla którego równanie ax + 49 = a² - 7x ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zad.7.(4pkt.).

Dany jest trapez o podstawach a, b, a > b. Wyznacz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.

Zad.8.(3pkt.).

Napisz równanie okręgu o środku S=(10; -3) stycznego do prostej o równaniu
.

Zad.9.(6pkt.).

Rozwiąż równanie
w przedziale
.

Zad.10.(5pkt).

Ze zbioru Z={1; 2; 3; …; 2n+1}, gdzie n∈N⁺ wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczba nieparzysta było większe od

Zad.11.(6pkt).

Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego maja długość 2a. Oblicz cosinus kata dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony w zadaniu kat dwuścienny.