Politechnika Gda�ska
Wydzia� Budownictwa L�dowego
Katedra Mechaniki Budowli sem V, 1995-01-20
TWIERDZENIE BETTI - MAXWELLA
I JEGO WYKORZYSTANIE
Grupa 3B:
Andrzej Do��ycki
Adam Kminikowski
Anna Koz�owska
Barabara Kryœcio
1. Doœwiadczenie 1 : Pomiar linii ugi�cia belki.
1.1. Opis �wiczenia.
Celem doœwiadczenia pierwszego by�y pomiar linii ugi�cia belki. Po dokonaniu
odczyt�w pocz�tkowych (OP) wskaza� czujnik�w zegarowych umieszczonych w punktach od 1 do 6, belk� obci��yliœmy si�ami: P1=9.8N, P2=9.8N, P3=19.6N,
P4=9.8N, P5=19.6N, P6=9.8N. Nast�pnie dokonaliœmy odczyt�w ko�cowych (OK)
wskaza� czujnik�w. Po wykonaniu doœwiadczenia obliczyliœmy teoretycznie lini�
ugi�cia belki.
1.2.Wyniki pomiar�w.
Nr punktu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Obci��enie [N] |
9.8 |
9.8 |
19.6 |
9.8 |
19.6 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.70 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.60 |
6.03 |
5.11 |
5.04 |
4.25 |
3.18 |
d [mm] |
0.40 |
0.67 |
0.79 |
0.76 |
0.65 |
-0.38 |
1.3. Obliczenia teoretyczne.
d1 = 0.382 mm d2 = 0.629 mm
d3 = 0.746 mm d4 = 0.736 mm
d5 = 0.606 mm d6 = -0.404 mm
2.Doœwiadczenie 2 : Sprawdzenie twierdzenia o wzajemnoœci przemieszcze�.
2.1. Opis �wiczenia.
Belk� wg rys.1 obci��yliœmy w punkcie 2 si�� P = 49.05N i pomierzyliœmy przemieszczenie w punkcie 5. Nast�pnie si�� P = 49.05N ustawiliœmy w
punkcie 5 i pomierzyliœmy przemieszczenie w punkcie 2. Pomiar wykonaliœmy trzy razy i wyliczyliœmy wartoœci œrednie przemieszcze�. Sprawdziliœmy r�wnoœ� przemieszcze� w tych punktach.
2.2. Wyniki pomiar�w.
Obci��enie wynosi 49.05 N
punkt obci��any |
punkt odczytu |
OP |
OK |
d |
2 |
5 |
4.90 |
4.41 |
0.49 |
5 |
2 |
6.80 |
6.30 |
0.50 |
2 |
5 |
4.90 |
4.41 |
0.49 |
5 |
2 |
6.80 |
6.29 |
0.51 |
2 |
5 |
4.90 |
4.40 |
0.50 |
5 |
2 |
6.80 |
6.60 |
0.50 |
2.3 Obliczenia teoretyczne.
d5œr = 0.49
d2œr = 0.50
d5œr " d2œr
3.Doœwadczenie 3 : Sprawdzenie twierdzenia BETTI-MAXWELLA.
3.1. Opis �wiczenia.
Belk� wg rys.1 obci��yliœmy grup� si� I: P1=9.8N , P2=19.6N , P3=19.6N
i pomierzyliœmy przemieszczenia w punktach : 4, 5, 6 belki.Nast�pnie obci��yliœmy
belk� grup� si� II: P4=19.6N , P5=9.8N , P6=9.8N i pomierzyliœmy przemieszczenia w punktach : 1, 2, 3 belki. Pomiar powt�rzyliœmy trzy razy.
Sprawdziliœmy r�wnoœ� :
S PIIj*di1 = S PIi* diII
gdzie:
PIIj (PIi) - si�a z grupy II (I) ustawiona w punkcie j (I) ;
djI (diII) - przemieszczenie w punkcie j (I) od grupy si� I (II) .
3.2. Wyniki pomiar�w.
nr punktu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
obci��enie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
OP |
- |
- |
- |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
- |
- |
- |
5.13 |
4.39 |
3.08 |
d [mm] |
- |
- |
- |
0.67 |
0.51 |
-0.28 |
obci��enie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
- |
- |
- |
OK |
5.83 |
6.49 |
5.49 |
- |
- |
- |
d [mm] |
0.17 |
0.31 |
0.41 |
- |
- |
- |
obci��enie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
OP |
- |
- |
- |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
- |
- |
- |
5.12 |
4.48 |
3.08 |
d [mm] |
- |
- |
- |
0.68 |
0.42 |
-0.28 |
obci��enie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
- |
- |
- |
OK |
5.83 |
6.49 |
5.48 |
- |
- |
- |
d [mm] |
0.17 |
0.31 |
0.42 |
- |
- |
- |
obci��enie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
OP |
- |
- |
- |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
- |
- |
- |
5.12 |
4.38 |
3.08 |
d [mm] |
- |
- |
- |
0.68 |
0.52 |
-0.28 |
obci��enie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
- |
- |
- |
OK |
5.81 |
6.48 |
5.46 |
- |
- |
- |
d [mm] |
0.19 |
0.32 |
0.44 |
- |
- |
- |
obci��enie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
dœr [mm] |
- |
- |
- |
0.68 |
0.48 |
-0.28 |
obci��enie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
dœr [mm] |
0.18 |
0.31 |
0.42 |
- |
- |
- |
3.3. Obliczenia teoretyczne.
S PIIj*di1 = 6.664 + 9.408 - 5.488 = 10.584 Nmm = 0.010584 Nm
S PIi* diII = 3.528 + 0.942 + 4.116 = 10.682 Nmm = 0.010682 Nm S PIIj*di1 " S PIi* diII
4. Doœwiadczenie 4 : Wykorzystanie twierdzenia BETTI-MAXWELLA do wyznaczania linii wp�ywu ugi�cia.
4.1. Opis �wiczenia.
W punkcie 4 belki wg rys.1 ustawiliœmy si�� P = 49.05N i pomierzyliœmy
przemieszczenia dj4 punkt�w “j” = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Pomiar powt�rzyliœmy trzy razy i wyliczyliœmy wartoœci œrednie przemieszcze�.
Na podstawie tych danych wyznaczyliœmy rz�dne linii wp�ywu od poruszaj�cej si� si�y skupionej P = 1N.Wykorzystuj�c otrzymane wartoœci wyliczyliœmy przemieszczenie punktu 4 dla obci��enia z doœwadczenia 1. Por�wnaliœmy obie wielkoœci.
4.2. Wyniki pomiar�w:
nr punktu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
obci��enie [N] |
- |
- |
- |
49.05 |
- |
- |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.65 |
6.18 |
5.18 |
5.08 |
4.28 |
3.19 |
d [mm] |
0.35 |
0.62 |
0.72 |
0.72 |
0.62 |
-0.39 |
obci��enie [N] |
- |
- |
- |
49.05 |
- |
- |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.65 |
6.31 |
5.17 |
5.05 |
4.27 |
3.21 |
d [mm] |
0.35 |
0.59 |
0.73 |
0.75 |
0.63 |
-0.41 |
obci��enie [N] |
- |
- |
- |
49.05 |
- |
- |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.65 |
6.20 |
5.18 |
5.07 |
4.28 |
3.20 |
d [mm] |
0.35 |
0.60 |
0.72 |
0.73 |
0.62 |
-0.40 |
dœr [mm] |
0.35 |
0.60 |
0.72 |
0.73 |
0.62 |
-0.40 |
4.3. Obliczenia teoretyczne.
d1 = 0.331 mm d2 = 0.559 mm
d3 = 0.680 mm d4 = 0.689 mm
d5 = 0.582 mm d6 = 0.419 mm
5. Wnioski.
Wyniki otrzymane podczas doœwiadczenia niewiele r�ni� si� od wartoœci przemieszcze� uzyskanych z oblicze� teoretycznych (uk�ad rozwi�zano wykorzystuj�c twierdzenie redukcyjne d = "(MoMi)/(EJ)ds ). B��dy pomiarowe w doœwiadczeniu 1 nie przekraczaj� 7% i wynosz�: D1 = 4.5%, D2 = 6.1%, D3 = 5.6%, D4 = 3.2%, D5 = 6.8%, D6 = 6.3% a w doœwiadczeniu 4 tak�e nie przekraczaj� 7% i wynosz�: D1 = 5.4%,
D2 = 6.8%, D3 = 5.5%, D4 = 5.6%, D5 = 6.1%, D6 = 4.8%. W doœwiadczeniu 2 i 3 wykazaliœmy s�usznoœ� twierdzenia o wzajemnoœci przemieszcze� i twierdzenia Betti - Maxwella a b��dy pomiarowe wynosz� odpowiednio: DII = 1.0%, DIII = 0.9%.
B��dy te wynikaj� z du�ej czu�oœci uk�adu na wstrz�sy i z uwagi na niejednoczesne przy�o�enie obci��e� zewn�trznych do uk�adu. Nale�y pami�ta� tak�e, �e mierzymy ma�e wartoœci, kt�rych pomiar wymaga du�ej precyzji i zachowania szczeg�lnej ostro�noœci przy jego wykonywaniu. Cz�œciowy wp�yw na otrzymane wyniki ma tak�e dok�adnoœ� przyrz�d�w pomiarowych.
Obliczenia teoretyczne oparte s� na wzorach uproszczonych, a otrzymane wyniki tak�e obarczone s� b��dami, co powoduje wzrost wartoœci ostatecznych b��d�w.
Wszystkie przedstawione powy�ej czynniki maj� wp�yw na wartoœci otrzymanych b��d�w okreœlaj�cych r�nice mi�dzy wynikami pomiar�w i oblicze�.