Politechnika Gdańska
Wydział Budownictwa Lšdowego
Katedra Mechaniki Budowli sem V, 1995-01-20
TWIERDZENIE BETTI - MAXWELLA
I JEGO WYKORZYSTANIE
Grupa 3B:
Andrzej Dołżycki
Adam Kminikowski
Anna Kozłowska
Barabara Kryœcio
1. Doœwiadczenie 1 : Pomiar linii ugięcia belki.
1.1. Opis ćwiczenia.
Celem doœwiadczenia pierwszego były pomiar linii ugięcia belki. Po dokonaniu
odczytów poczštkowych (OP) wskazań czujników zegarowych umieszczonych w punktach od 1 do 6, belkę obcišżyliœmy siłami: P1=9.8N, P2=9.8N, P3=19.6N,
P4=9.8N, P5=19.6N, P6=9.8N. Następnie dokonaliœmy odczytów końcowych (OK)
wskazań czujników. Po wykonaniu doœwiadczenia obliczyliœmy teoretycznie linię
ugięcia belki.
1.2.Wyniki pomiarów.
Nr punktu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Obcišżenie [N] |
9.8 |
9.8 |
19.6 |
9.8 |
19.6 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.70 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.60 |
6.03 |
5.11 |
5.04 |
4.25 |
3.18 |
d [mm] |
0.40 |
0.67 |
0.79 |
0.76 |
0.65 |
-0.38 |
1.3. Obliczenia teoretyczne.
d1 = 0.382 mm d2 = 0.629 mm
d3 = 0.746 mm d4 = 0.736 mm
d5 = 0.606 mm d6 = -0.404 mm
2.Doœwiadczenie 2 : Sprawdzenie twierdzenia o wzajemnoœci przemieszczeń.
2.1. Opis ćwiczenia.
Belkę wg rys.1 obcišżyliœmy w punkcie 2 siłš P = 49.05N i pomierzyliœmy przemieszczenie w punkcie 5. Następnie siłę P = 49.05N ustawiliœmy w
punkcie 5 i pomierzyliœmy przemieszczenie w punkcie 2. Pomiar wykonaliœmy trzy razy i wyliczyliœmy wartoœci œrednie przemieszczeń. Sprawdziliœmy równoœć przemieszczeń w tych punktach.
2.2. Wyniki pomiarów.
Obcišżenie wynosi 49.05 N
punkt obcišżany |
punkt odczytu |
OP |
OK |
d |
2 |
5 |
4.90 |
4.41 |
0.49 |
5 |
2 |
6.80 |
6.30 |
0.50 |
2 |
5 |
4.90 |
4.41 |
0.49 |
5 |
2 |
6.80 |
6.29 |
0.51 |
2 |
5 |
4.90 |
4.40 |
0.50 |
5 |
2 |
6.80 |
6.60 |
0.50 |
2.3 Obliczenia teoretyczne.
d5œr = 0.49
d2œr = 0.50
d5œr " d2œr
3.Doœwadczenie 3 : Sprawdzenie twierdzenia BETTI-MAXWELLA.
3.1. Opis ćwiczenia.
Belkę wg rys.1 obcišżyliœmy grupš sił I: P1=9.8N , P2=19.6N , P3=19.6N
i pomierzyliœmy przemieszczenia w punktach : 4, 5, 6 belki.Następnie obcišżyliœmy
belkę grupš sił II: P4=19.6N , P5=9.8N , P6=9.8N i pomierzyliœmy przemieszczenia w punktach : 1, 2, 3 belki. Pomiar powtórzyliœmy trzy razy.
Sprawdziliœmy równoœć :
S PIIj*di1 = S PIi* diII
gdzie:
PIIj (PIi) - siła z grupy II (I) ustawiona w punkcie j (I) ;
djI (diII) - przemieszczenie w punkcie j (I) od grupy sił I (II) .
3.2. Wyniki pomiarów.
nr punktu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
obcišżenie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
OP |
- |
- |
- |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
- |
- |
- |
5.13 |
4.39 |
3.08 |
d [mm] |
- |
- |
- |
0.67 |
0.51 |
-0.28 |
obcišżenie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
- |
- |
- |
OK |
5.83 |
6.49 |
5.49 |
- |
- |
- |
d [mm] |
0.17 |
0.31 |
0.41 |
- |
- |
- |
obcišżenie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
OP |
- |
- |
- |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
- |
- |
- |
5.12 |
4.48 |
3.08 |
d [mm] |
- |
- |
- |
0.68 |
0.42 |
-0.28 |
obcišżenie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
- |
- |
- |
OK |
5.83 |
6.49 |
5.48 |
- |
- |
- |
d [mm] |
0.17 |
0.31 |
0.42 |
- |
- |
- |
obcišżenie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
OP |
- |
- |
- |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
- |
- |
- |
5.12 |
4.38 |
3.08 |
d [mm] |
- |
- |
- |
0.68 |
0.52 |
-0.28 |
obcišżenie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
- |
- |
- |
OK |
5.81 |
6.48 |
5.46 |
- |
- |
- |
d [mm] |
0.19 |
0.32 |
0.44 |
- |
- |
- |
obcišżenie [N] |
9.8 |
19.6 |
19.6 |
- |
- |
- |
dœr [mm] |
- |
- |
- |
0.68 |
0.48 |
-0.28 |
obcišżenie [N] |
- |
- |
- |
19.6 |
9.8 |
9.8 |
dœr [mm] |
0.18 |
0.31 |
0.42 |
- |
- |
- |
3.3. Obliczenia teoretyczne.
S PIIj*di1 = 6.664 + 9.408 - 5.488 = 10.584 Nmm = 0.010584 Nm
S PIi* diII = 3.528 + 0.942 + 4.116 = 10.682 Nmm = 0.010682 Nm S PIIj*di1 " S PIi* diII
4. Doœwiadczenie 4 : Wykorzystanie twierdzenia BETTI-MAXWELLA do wyznaczania linii wpływu ugięcia.
4.1. Opis ćwiczenia.
W punkcie 4 belki wg rys.1 ustawiliœmy siłę P = 49.05N i pomierzyliœmy
przemieszczenia dj4 punktów “j” = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Pomiar powtórzyliœmy trzy razy i wyliczyliœmy wartoœci œrednie przemieszczeń.
Na podstawie tych danych wyznaczyliœmy rzędne linii wpływu od poruszajšcej się siły skupionej P = 1N.Wykorzystujšc otrzymane wartoœci wyliczyliœmy przemieszczenie punktu 4 dla obcišżenia z doœwadczenia 1. Porównaliœmy obie wielkoœci.
4.2. Wyniki pomiarów:
nr punktu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
obcišżenie [N] |
- |
- |
- |
49.05 |
- |
- |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.65 |
6.18 |
5.18 |
5.08 |
4.28 |
3.19 |
d [mm] |
0.35 |
0.62 |
0.72 |
0.72 |
0.62 |
-0.39 |
obcišżenie [N] |
- |
- |
- |
49.05 |
- |
- |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.65 |
6.31 |
5.17 |
5.05 |
4.27 |
3.21 |
d [mm] |
0.35 |
0.59 |
0.73 |
0.75 |
0.63 |
-0.41 |
obcišżenie [N] |
- |
- |
- |
49.05 |
- |
- |
OP |
6.00 |
6.80 |
5.90 |
5.80 |
4.90 |
2.80 |
OK |
5.65 |
6.20 |
5.18 |
5.07 |
4.28 |
3.20 |
d [mm] |
0.35 |
0.60 |
0.72 |
0.73 |
0.62 |
-0.40 |
dœr [mm] |
0.35 |
0.60 |
0.72 |
0.73 |
0.62 |
-0.40 |
4.3. Obliczenia teoretyczne.
d1 = 0.331 mm d2 = 0.559 mm
d3 = 0.680 mm d4 = 0.689 mm
d5 = 0.582 mm d6 = 0.419 mm
5. Wnioski.
Wyniki otrzymane podczas doœwiadczenia niewiele różniš się od wartoœci przemieszczeń uzyskanych z obliczeń teoretycznych (układ rozwišzano wykorzystujšc twierdzenie redukcyjne d = "(MoMi)/(EJ)ds ). Błędy pomiarowe w doœwiadczeniu 1 nie przekraczajš 7% i wynoszš: D1 = 4.5%, D2 = 6.1%, D3 = 5.6%, D4 = 3.2%, D5 = 6.8%, D6 = 6.3% a w doœwiadczeniu 4 także nie przekraczajš 7% i wynoszš: D1 = 5.4%,
D2 = 6.8%, D3 = 5.5%, D4 = 5.6%, D5 = 6.1%, D6 = 4.8%. W doœwiadczeniu 2 i 3 wykazaliœmy słusznoœć twierdzenia o wzajemnoœci przemieszczeń i twierdzenia Betti - Maxwella a błędy pomiarowe wynoszš odpowiednio: DII = 1.0%, DIII = 0.9%.
Błędy te wynikajš z dużej czułoœci układu na wstrzšsy i z uwagi na niejednoczesne przyłożenie obcišżeń zewnętrznych do układu. Należy pamiętać także, że mierzymy małe wartoœci, których pomiar wymaga dużej precyzji i zachowania szczególnej ostrożnoœci przy jego wykonywaniu. Częœciowy wpływ na otrzymane wyniki ma także dokładnoœć przyrzšdów pomiarowych.
Obliczenia teoretyczne oparte sš na wzorach uproszczonych, a otrzymane wyniki także obarczone sš błędami, co powoduje wzrost wartoœci ostatecznych błędów.
Wszystkie przedstawione powyżej czynniki majš wpływ na wartoœci otrzymanych błędów okreœlajšcych różnice między wynikami pomiarów i obliczeń.