Politechnika Gda�ska

Wydzia� Budownictwa L�dowego

Katedra Mechaniki Budowli sem V, 1995-01-20

TWIERDZENIE BETTI - MAXWELLA

I JEGO WYKORZYSTANIE

Grupa 3B:

Andrzej Do��ycki

Adam Kminikowski

Anna Koz�owska

Barabara Kryœcio

1. Doœwiadczenie 1 : Pomiar linii ugi�cia belki.

1.1. Opis �wiczenia.

Celem doœwiadczenia pierwszego by�y pomiar linii ugi�cia belki. Po dokonaniu

odczyt�w pocz�tkowych (OP) wskaza� czujnik�w zegarowych umieszczonych w punktach od 1 do 6, belk� obci��yliœmy si�ami: P1=9.8N, P2=9.8N, P3=19.6N,

P4=9.8N, P5=19.6N, P6=9.8N. Nast�pnie dokonaliœmy odczyt�w ko�cowych (OK)

wskaza� czujnik�w. Po wykonaniu doœwiadczenia obliczyliœmy teoretycznie lini�

ugi�cia belki.

1.2.Wyniki pomiar�w.

Nr punktu	1	2	3	4	5	6
Obci��enie [N]	9.8	9.8	19.6	9.8	19.6	9.8
OP	6.00	6.70	5.90	5.80	4.90	2.80
OK	5.60	6.03	5.11	5.04	4.25	3.18
d [mm]	0.40	0.67	0.79	0.76	0.65	-0.38

1.3. Obliczenia teoretyczne.

d₁ = 0.382 mm d₂ = 0.629 mm

d₃ = 0.746 mm d₄ = 0.736 mm

d₅ = 0.606 mm d₆ = -0.404 mm

2.Doœwiadczenie 2 : Sprawdzenie twierdzenia o wzajemnoœci przemieszcze�.

2.1. Opis �wiczenia.

Belk� wg rys.1 obci��yliœmy w punkcie 2 si�� P = 49.05N i pomierzyliœmy przemieszczenie w punkcie 5. Nast�pnie si�� P = 49.05N ustawiliœmy w

punkcie 5 i pomierzyliœmy przemieszczenie w punkcie 2. Pomiar wykonaliœmy trzy razy i wyliczyliœmy wartoœci œrednie przemieszcze�. Sprawdziliœmy r�wnoœ� przemieszcze� w tych punktach.

2.2. Wyniki pomiar�w.

Obci��enie wynosi 49.05 N

punkt obci��any	punkt odczytu	OP	OK	d
2	5	4.90	4.41	0.49
5	2	6.80	6.30	0.50
2	5	4.90	4.41	0.49
5	2	6.80	6.29	0.51
2	5	4.90	4.40	0.50
5	2	6.80	6.60	0.50

2.3 Obliczenia teoretyczne.

d_5œr = 0.49

d_2œr = 0.50

d_5œr " d_2œr

3.Doœwadczenie 3 : Sprawdzenie twierdzenia BETTI-MAXWELLA.

3.1. Opis �wiczenia.

Belk� wg rys.1 obci��yliœmy grup� si� I: P₁=9.8N , P₂=19.6N , P₃=19.6N

i pomierzyliœmy przemieszczenia w punktach : 4, 5, 6 belki.Nast�pnie obci��yliœmy

belk� grup� si� II: P₄=19.6N , P₅=9.8N , P₆=9.8N i pomierzyliœmy przemieszczenia w punktach : 1, 2, 3 belki. Pomiar powt�rzyliœmy trzy razy.

Sprawdziliœmy r�wnoœ� :

S P_IIj*d_i1 = S P_Ii* d_iII

gdzie:

P_IIj (P_Ii) - si�a z grupy II (I) ustawiona w punkcie j (I) ;

d_jI (d_iII) - przemieszczenie w punkcie j (I) od grupy si� I (II) .

3.2. Wyniki pomiar�w.

nr punktu	1	2	3	4	5	6
obci��enie [N]	9.8	19.6	19.6	-	-	-
OP	-	-	-	5.80	4.90	2.80
OK	-	-	-	5.13	4.39	3.08
d [mm]	-	-	-	0.67	0.51	-0.28
obci��enie [N]	-	-	-	19.6	9.8	9.8
OP	6.00	6.80	5.90	-	-	-
OK	5.83	6.49	5.49	-	-	-
d [mm]	0.17	0.31	0.41	-	-	-
obci��enie [N]	9.8	19.6	19.6	-	-	-
OP	-	-	-	5.80	4.90	2.80
OK	-	-	-	5.12	4.48	3.08
d [mm]	-	-	-	0.68	0.42	-0.28
obci��enie [N]	-	-	-	19.6	9.8	9.8
OP	6.00	6.80	5.90	-	-	-
OK	5.83	6.49	5.48	-	-	-
d [mm]	0.17	0.31	0.42	-	-	-
obci��enie [N]	9.8	19.6	19.6	-	-	-
OP	-	-	-	5.80	4.90	2.80
OK	-	-	-	5.12	4.38	3.08
d [mm]	-	-	-	0.68	0.52	-0.28
obci��enie [N]	-	-	-	19.6	9.8	9.8
OP	6.00	6.80	5.90	-	-	-
OK	5.81	6.48	5.46	-	-	-
d [mm]	0.19	0.32	0.44	-	-	-
obci��enie [N]	9.8	19.6	19.6	-	-	-
dœr [mm]	-	-	-	0.68	0.48	-0.28
obci��enie [N]	-	-	-	19.6	9.8	9.8
dœr [mm]	0.18	0.31	0.42	-	-	-

3.3. Obliczenia teoretyczne.

S P_IIj*d_i1 = 6.664 + 9.408 - 5.488 = 10.584 Nmm = 0.010584 Nm

S P_Ii* d_iII = 3.528 + 0.942 + 4.116 = 10.682 Nmm = 0.010682 Nm S P_IIj*d_i1 " S P_Ii* d_iII

4. Doœwiadczenie 4 : Wykorzystanie twierdzenia BETTI-MAXWELLA do wyznaczania linii wp�ywu ugi�cia.

4.1. Opis �wiczenia.

W punkcie 4 belki wg rys.1 ustawiliœmy si�� P = 49.05N i pomierzyliœmy

przemieszczenia d_j4 punkt�w “j” = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Pomiar powt�rzyliœmy trzy razy i wyliczyliœmy wartoœci œrednie przemieszcze�.

Na podstawie tych danych wyznaczyliœmy rz�dne linii wp�ywu od poruszaj�cej si� si�y skupionej P = 1N.Wykorzystuj�c otrzymane wartoœci wyliczyliœmy przemieszczenie punktu 4 dla obci��enia z doœwadczenia 1. Por�wnaliœmy obie wielkoœci.

4.2. Wyniki pomiar�w:

nr punktu	1	2	3	4	5	6
obci��enie [N]	-	-	-	49.05	-	-
OP	6.00	6.80	5.90	5.80	4.90	2.80
OK	5.65	6.18	5.18	5.08	4.28	3.19
d [mm]	0.35	0.62	0.72	0.72	0.62	-0.39
obci��enie [N]	-	-	-	49.05	-	-
OP	6.00	6.80	5.90	5.80	4.90	2.80
OK	5.65	6.31	5.17	5.05	4.27	3.21
d [mm]	0.35	0.59	0.73	0.75	0.63	-0.41
obci��enie [N]	-	-	-	49.05	-	-
OP	6.00	6.80	5.90	5.80	4.90	2.80
OK	5.65	6.20	5.18	5.07	4.28	3.20
d [mm]	0.35	0.60	0.72	0.73	0.62	-0.40
dœr [mm]	0.35	0.60	0.72	0.73	0.62	-0.40

4.3. Obliczenia teoretyczne.

d₁ = 0.331 mm d₂ = 0.559 mm

d₃ = 0.680 mm d₄ = 0.689 mm

d₅ = 0.582 mm d₆ = 0.419 mm

5. Wnioski.

Wyniki otrzymane podczas doœwiadczenia niewiele r�ni� si� od wartoœci przemieszcze� uzyskanych z oblicze� teoretycznych (uk�ad rozwi�zano wykorzystuj�c twierdzenie redukcyjne d = "(M_oM_i)/(EJ)ds ). B��dy pomiarowe w doœwiadczeniu 1 nie przekraczaj� 7% i wynosz�: D₁ = 4.5%, D₂ = 6.1%, D₃ = 5.6%, D₄ = 3.2%, D₅ = 6.8%, D₆ = 6.3% a w doœwiadczeniu 4 tak�e nie przekraczaj� 7% i wynosz�: D₁ = 5.4%,

D₂ = 6.8%, D₃ = 5.5%, D₄ = 5.6%, D₅ = 6.1%, D₆ = 4.8%. W doœwiadczeniu 2 i 3 wykazaliœmy s�usznoœ� twierdzenia o wzajemnoœci przemieszcze� i twierdzenia Betti - Maxwella a b��dy pomiarowe wynosz� odpowiednio: D_II = 1.0%, D_III = 0.9%.

B��dy te wynikaj� z du�ej czu�oœci uk�adu na wstrz�sy i z uwagi na niejednoczesne przy�o�enie obci��e� zewn�trznych do uk�adu. Nale�y pami�ta� tak�e, �e mierzymy ma�e wartoœci, kt�rych pomiar wymaga du�ej precyzji i zachowania szczeg�lnej ostro�noœci przy jego wykonywaniu. Cz�œciowy wp�yw na otrzymane wyniki ma tak�e dok�adnoœ� przyrz�d�w pomiarowych.

Obliczenia teoretyczne oparte s� na wzorach uproszczonych, a otrzymane wyniki tak�e obarczone s� b��dami, co powoduje wzrost wartoœci ostatecznych b��d�w.

Wszystkie przedstawione powy�ej czynniki maj� wp�yw na wartoœci otrzymanych b��d�w okreœlaj�cych r�nice mi�dzy wynikami pomiar�w i oblicze�.

---