Wydział Automatyki Elektroniki i Informatyki kierunek Automatyka i Robotyka

Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki:

wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego i rewersyjnego

Grupa III, sekcja 1

Adam Werner

Gliwice 22.05.1997

Opis teoretyczny

Wahadło matematyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici umieszczony w polu siły ciężkości. Układ taki nie istnieje w rzeczywistości ale przybliżonym modelem wahadła matematycznego może być ciężkie ciało zawieszone na lekkiej nici , której długość jest znacznie większa od wymiarów tego ciała. Wahadło matematyczne wychylone z położenia równowagi o kąt α porusza się pod wpływem składowej własnego ciężaru:

Ponieważ
, a dla małych wartości kąta β : x ≈ s więc:

jest więc w przybliżeniu proporcjonalne do s. Ruch punktu, w którym działająca na niego siła jest skierowana wzdłuż tej samej prostej w kierunku jakiegoś stałego punktu i wartość tej siły jest proporcjonalna do odległości między tymi punktami, nazywamy ruchem drgającym prostym lub harmonicznym.

W rozpatrywanym przypadku ruch punktu M jest tylko w przybliżeniu harmoniczny, ponieważ punkt porusza się po łuku, nie zaś po jego cięciwie i przyspieszenie jego nie jest ściśle proporcjonalne do wychylenia. Mimo to można rozważać ten ruch jako harmoniczny dla niewielkich wychyleń.

Z rozwiązania równania różniczkowego drgań harmonicznych mamy

w przypadku wahadła matematycznego :

z czego wyliczamy

gdzie : g - szukane przyspieszenie ziemskie

Wahadło rewersyjne

Wahadłem fizycznym nazywamy każdą bryłę sztywną wahającą się pod wpływem siły ciężkości dokoła osi, nie przechodzącej przez środek masy tej bryły. Wypadkowa sił ciężkości działających na ciało równa się ciężarowi wahadła Q = mg, punktem przyłożenia tej wypadkowej jest środek ciężkości wahadła G. Zgodnie z zasadą d'Alamberta równanie ruchu ma postać :

gdzie J - moment bezwładności wahadła względem osi O

a - odległość środka ciężkości G od osi obrotu O. Jest to równanie ruchu wahadła fizycznego.

Jeżeli wychylenie J jest małe to sin(j) ≈j. Wziąwszy pod uwagę to zastrzeżenie, możemy napisać poprzednie równanie w następującej postaci:

Jest to równanie ruchu drgającego harmonicznego.

Rozwiązanie tego równania jest następujące :

jest amplitudą ruchu, czyli największym odchyleniem kątowym punktu materialnego od jego położenia równowagi, ψ jest fazą początkową ruchu.

Przyspieszenie kątowe tego ruchu wynosi :

Z równania drgań harmonicznych mamy:

Porównując i przekształcając powyższe równania otrzymujemy wzór na okres wahań :

Aby powiązać T z wymiarami geometrycznymi wahadła posłużymy się twierdzeniem Steinera:

JG jest momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez jego środek ciężkości i równoległej do osi zawieszenia O. Wartość JG możemy zapisać w postaci :

k - ramię bezwładności siły. Wobec tego :

Po wstawieniu do wzoru na okres wahań mamy:

gdzie
nazywamy długością zredukowaną wahadła (jest to długość odpowiadającego wahadła matematycznego o tym samym okresie drgań). Ze wzoru wynika, że ten sam okres drgań mają wahadła o tej samej długości l niezależnie od wartości a, po przekształceniu mamy :

z czego widać, że istnieją dwie takie wartości a dla których wahadło ma ten sam okres wahań. Odległość dwóch takich punktów położonych po przeciwnych stronach środka ciężkości w odstępach nierównych, nazywamy właśnie długością zredukowaną wahadła:

l = a + a'

Wahadło rewersyjne (Katera)

Jest to wahadło rewersyjne, w którym położenia osi zawieszenia są stałe. Składa się ono z metalowej sztaby, wzdłuż której można przesuwać dwie masy o kształcie soczewek (kształt ten ma na celu zmniejszenie oporu powietrza w czasie ruchu).Na sztabie znajdują się dwa ostrza, które są osiami wahań wahadła. Jedno z ostrzy znajduje się pomiędzy masami drugie na zewnątrz ich. Długość zredukowana wahadła rewersyjnego jest to odległość między środkami ciężkości mas wtedy gdy okresy drgań są identyczne dla obu położeń wahadła.

Opis ćwiczenia

W pierwszej części ćwiczenia przyspieszenie ziemskie było wyznaczane przy pomocy wahadła matematycznego. Pomiar polegał na mierzeniu czasu 10 wahnięć( w celu zmniejszenia błędu pomiaru czasu trwania jednego okresu) wahadła dla każdej długości wahadła w zakresie 20¸ 50 cm co 2 cm Wartość g można wyliczyć ze wzoru (wyżej wyprowadzonego) :

Przy kilku pomiarach dokonanych dla różnych długości wahadła można też zastosować metodę Bessela eliminującą część błędów związanych z pomiarem długości wahadła :

gdzie d - jest różnicą długości wahadła o okresach wahań T1 i T2.

W drugiej części ćwiczenia b było wyznaczane na podstawie okresu drgań wahadła rewersyjnego. Najpierw należało wyznaczyć długość zredukowaną wahadła. W tym celu były dokonywane pomiary czasu trwania 10 okresów wahnięć wahadła zawieszanego na ostrzu A i następnie na ostrzu B, dla różnych odległości mas od siebie zmienianych co 50 mm. Następnie został sporządzony wykres zależności okresu drgań wahadła od odległości mas. Z tego wykresu w punkcie przecięcia wykresów dla osi zawieszenia A i B została odczytana długość zredukowana wahadła, po czym został przeprowadzony pomiar czasu trwania 50 okresów dla tej długości na obu ostrzach, oraz dla długości sąsiadujących (w celu sprawdzenia dokładności wyznaczenia długości zredukowanej). W końcu zostały wykonane obliczenia :

Okres średni dla długości zredukowanej:

Przyspieszenie ziemskie :

Tabela pomiarowa

Wahadło matematyczne

liczba mierzonych okresów n = 10 Dt = 0.003 s

Lp.	Długość l [cm]	czas t [s]	okres T [s]
1	50	14.284	1.428
2	48	13.928	1.392
3	46	13.704	1.370
4	44	13.513	1.351
5	42	13.499	1.349
6	40	12.911	1.291
7	38	12.499	1.249
8	36	12.078	1.207
9	34	11.816	1.181
10	32	11.452	1.145
11	30	11.157	1.115
12	28	10.727	1.072
13	26	10.358	1.035
14	24	9.978	0.997
15	22	9.553	0.955
16	20	9.168	0.916

Wahadło rewersyjne

liczba mierzonych okresów n = 10

Położenie x	Ostrze A		Ostrze B
[cm]	czas t [s]	okres T [s]	czas t [s]	okres T [s]
3	12.992	1.299	13.071	1.307
8	12.587	1.258	12.466	1.246
13	12.369	1.236	11.876	1.187
18	12.292	1.292	11.345	1.134
23	12.335	1.233	11.012	1.101
28	12.470	1.247	11.041	1.104
33	12.685	1.268	12.053	1.205
38	12.950	1.295	16.387	1.638

Pomiary dokonane po wyznaczeniu l = 40.25 cm

liczba mierzonych okresów n = 50

Położenie x	Ostrze A		Ostrze B
[cm]	czas t [s]	okres T [s]	czas t [s]	okres T [s]
5	64.013	1.280	64.140	1.282
6	63.623	1.272	63.528	1.270
7	63.281	1.265	62.904	1.258
8	62.955	1.259	62.292	1.245
9	62.648	1.252	61.675	1.233

Opracowanie wyników pomiarów

Wahadło rewersyjne :

Błędy przyjęte w obliczeniach:

DT = 0.003 s - 1/3 ostatniej dekady miernika cyfrowego

Dl = 0.5 mm - mimo, że pomiar długości wahadła był dokonany przy pomocy suwmiarki rzeczywisty błąd pomiaru był większy ze względu na to, że szczęki suwmiarki nie przylegały dokładnie do ciężarków oraz ciężarki nie były umocowane całkowicie nieruchomo na osi wahadła.

Obliczenie błędu (z różniczki zupełnej:

Wyniki obliczeń :

Wahadło matematyczne:

Błędy uwzględniane w obliczeniach :

Dl = 2 mm - pomiar był dokonywany "na oko" przy pomocy podziałki o działce elementarnej 1 mm .

DT = 0.003 s - jak poprzednio.

Po obliczeniu wszystkich 11 wartości g dla wszystkich długości otrzymano następujące wyniki:

Długość wahadła l [cm]	g [m/s2]	Dg
40	9.697	0.046
38	9.675	0.047
36	9.667	0.048
34	9.776	0.050
32	9.764	0.052
30	9.744	0.054
28	9.698	0.055
26	9.670	0.057
24	9.657	0.059
22	9.654	0.062
20	9.657	0.065

Wartość przyspieszenia ziemskiego została obliczona przy pomocy średniej ważonej:

5.Podsumowanie.

Jak wykazało doświadczenie wynik uzyskany przy pomocy wahadła matematycznego, czyli modelu mającego mniej wspólnego z rzeczywistością, wbrew pozorom dał wynik bliższy wartości tablicowej niż wynik uzyskany przy pomocy wahadła rewersyjnego. Przy założeniu, że obydwa pomiary były dokonane z podobną dokładnością przyczyną tego stanu może być zaniedbanie pewnych czynników zewnętrznych działających na wahadła oraz pewne przybliżenia w obliczeniach. Przybliżenie występujące w obliczeniach to zastąpienie sin(a) przez a, które daje o sobie znać przy większych kątach wychylenia wahadeł. Mogło to być jedną z przyczyn błędów (szczególnie, że wahadło rewersyjne przy pomiarze 50 okresów musiało być wychylone bardziej). Drugą przyczyną błędów były zapewnie opory ruchu działające na wahadła. Opór związany z tarciem w miejscu zawieszenia był zapewne większy przy wahadle rewersyjnym choćby ze względu na jego masę. Drugi z oporów to opór powietrza. Przy wahadle rewersyjnym był ,on zapewne większy ze względu na większe rozmiary a co za tym idzie, większą powierzchnię czołową wahadła. Jak z tego wynika w rzeczywistych warunkach nie da się dokładnie wyznaczyć przyspieszenia ziemskiego nie uwzględniając wpływu otoczenia na użyte modele matematyczne.

---