III. ELEMENTY SYMETRII W CHEMII. SYMETRIA WYBRANYCH CZĄSTECZEK

Symetrycznym nazywamy każdy obiekt, którego nie można odróżnić od jego odwzorowania na płaszczyźnie lub w przestrzeni w wyniku operacji symetrii. Innymi słowy, obiekt symetryczny i jego odwzorowanie dokładnie pokrywają się, czyli są identyczne.

Przykładem obiektu niesymetrycznego może być którakolwiek dłoń człowieka. Zwierciadlane odbicie dłoni lewej jest odwzorowaniem dłoni prawej i vice versa, ale lewa i prawa dłoń (rys. 1) nie są identyczne, ponieważ nie pokrywają się.

Rys. 1. Lewa i prawa dłoń jako przykład obiektów niesymetrycznych

Jedyną operacją, która doprowadza do nałożenia się obiektu niesymetrycznego na jego odwzorowanie jest obrót o 360^o wokół dowolnie wybranej osi. O takim obrocie mówimy, że jest to tożsamościowa operacja symetrii.

Obiekt symetryczny, np. przedmiot, figura płaska, bryła geometryczna, kryształ, cząsteczka, musi posiadać jakiś element symetrii. Elementami symetrii cząsteczek są osie symetrii, płaszczyzny symetrii, środek symetrii (inwersji), osie przemienne.

Osie symetrii (osie n-krotne) są osiami obrotu o kąt α = 360^o/n, gdzie n = 2, 3, 4 i 6. Osie te oznaczamy ogólnym symbolem C_n. Oś o najwyższej krotności jest osią główną. Zgodnie z tym co powiedziano wcześniej, obrót względem wybranej osi n-krotnej
o kąt 360^o jest operacją tożsamościową.

Płaszczyzna symetrii dzieli cząsteczkę na dwie części, które mają się do siebie tak, jak przedmiot i jego odbicie w lustrze. Płaszczyzny symetrii oznaczamy symbolem σ. Płaszczyzna symetrii σ_v jest płaszczyzną wertykalną (vertical plane), w której leży oś główna. Płaszczyzna symetrii, σ_h jest płaszczyzną prostopadłą (horizontal plane) do osi głównej. Symbol σ_d odnosi się do diagonalnych płaszczyzn (diagonal planes) symetrii cząsteczki.

Środek symetrii (inwersji), i , mają tylko niektóre cząsteczki, np. cząsteczki AX₆ o strukturze oktaedrycznej, natomiast nie mają go płaskie cząsteczki AX₃ i w cząsteczki tetraedryczne AX₄. Operacja względem środka symetrii cząsteczki to inwersja - czyli zamiana współrzędnych x,y,z poszczególnych atomów na współrzędne -x,-y,-z.

Wszystkie z wyżej wymienionych elementów symetrii można w przejrzysty sposób rozpatrzyć na przykładzie sześcianu (rys. 2).

Rys. 2. Elementy symetrii sześcianu

a) płaszczyzny równoległe do ścian - 3, każda z nich jest wertykalna względem jednej i horyzontalna dla dwóch pozostałych osi C₄ ;
b) płaszczyzny diagonalne - 6; c) osie C₄ - 3; d) osie C₃ - 4, e) osie C₂ - 6.

Osie C_n w sześcianie przecinają się w środku symetrii i, który w układzie wyznaczonym przez wzajemnie prostopadłe osie C₄ ma współrzędne 0,0,0. Każde naroże sześcianu (x,y,z) ma swój odpowiednik inwersyjny (-x,-y,-z) - co pokazano na poniższym schemacie:

Rys. 3. Operacja inwersji naroży w sześcianie

Osie przemienne, oznaczone symolem S_n, odnoszą się do operacji obrotu o kąt α = 360^o/n
z równoczesnym odbiciem w płaszczyźnie prostopadłej do osi. Istotę tej operacji symetrii na przykładzie osi S₂ wyjaśnia rys. 4.

Rys. 4. Oś S₂ - obrót o 180^o i odbicie w płaszczyźnie horyzontalnej

Elementy symetrii wybranych cząsteczek

Cząsteczka wody

Cząsteczka wody ma strukturę kątową, ponieważ orbitale atomu tlenu mają hybrydyzację sp³. Elementy symetrii tej cząsteczki, to oś dwukrotna C₂ i dwie wertykalne płaszczyzny symetrii σ_v (rys. 5).

C₂

● - O

○ - H σ_V^'

σ_V^''

Rys. 5. Elementy symetrii cząsteczki wody

Cząsteczki BF₃ i SO₃

W cząsteczkach BF₃ i SO₃ atomy centralne boru lub siarki są w stanie hybrydyzacji sp². Z tego powodu cząsteczki tych związków mają strukturę trójkąta równobocznego z atomami fluoru lub tlenu zajmującymi jego wierzchołki. Elementami symetrii rozpatrywanych cząsteczek są: oś C₃, trzy osie C₂ oraz trzy płaszczyzny wertykalne i jedna płaszczyzna horyzontalna w stosunku do osi głównej. Wymienione elementy symetrii cząsteczek BF₃ i SO₃ przedstawiono na rys. 6.

Rys. 6. Symetria cząsteczek BF₃ lub SO₃ o strukturze trójkąta równobocznego: ○ - atom centralny (B lub S), ● - atomy F lub O

Cząsteczka amoniaku

Atom azotu w cząsteczkach NH₃ jest atomem centralnym o hybrydyzacji orbitali typu sp³. Oznacza to, że cząsteczki amoniaku mają strukturę piramidy trygonalnej, gdzie atom azotu jest wierzchołkiem tej piramidy, a atomy wodoru obsadzają wierzchołki podstawy. Elementami symetrii piramidy trygonalnej jest oś trójkrotna C₃ oraz trzy płaszczyzny wertykalne (rys. 7).

C₃

○ - N, ● - H


σ_ν'

Rys. 7. Symetria cząsteczki amoniaku.

Dla przejrzystości zaznaczono tylko płaszczyznę wertykalną σ_v^'

Cząsteczki CH₄ i CCl₄

Hybrydyzacja sp³ orbitali atomu węgla decyduje o tetraedrycznej strukturze cząsteczkowej metanu
i tetrachlometanu. Cztery podstawniki (tu atomy wodoru lub chloru) obsadzają naroża tetraedru,
a atom węgla zajmuje jego centrum, które jest punktem 0,0,0 w układzie współrzędnych XYZ (rys. 8). Rozpatrywane cząsteczki są pozbawione środka inwersji i, ale mają następujące elementy symetrii:

● cztery osie C₃, z których każda przechodzi przez
jeden wierzchołek i środek tetraedru;

● trzy osie C₂, które pokrywają się z osiami X,Y,Z;

● trzy osie S₄ pokrywające się z osiami X,Y,Z;

● sześć płaszczyzn symetrii.

Rys. 8. Tetraedryczna cząsteczka metanu wpisana w sześcian. Kierunek pokazanej osi S₄ jest zgodny z kierunkiem osi Z układu współrzędnych

Cząsteczki i jony kompleksowe o liczbie koordynacji 6,

np. SF₆, Mo(CO)₆,[Co(NH₃)₆]³⁺ [Fe(CN)₆]^4-

Wymienione cząsteczki i jony kompleksowe mają strukturę oktaedryczną. Atom centralny zajmuje miejsce w środku ośmiościanu, a podstawniki (ligandy) są rozmieszczone w jego wierzchołkach. Elementy symetrii oktaedru to: środek symetrii i; osie C₄ przechodzące przez dwa przeciwległe wierzchołki (3); osie C₃ przechodzące przez środki przeciwległych ścian (4); osie C₂ przechodzące przez środki przeciwległych krawędzi (6); płaszczyzny σ_h (lub σ_v) przechodzące przez cztery spośród sześciu wierzchołków (3); płaszczyzny σ_d przechodzące przez dwa sąsiednie wierzchołki i dzielące przeciwległe krawędzie na polowy (6); osie S₄ (3); osie S₆ (4).

Rys. 9. Oktaedryczna struktura cząsteczki SF₆.

Dla przejrzystości na rysunku zaznaczono po jednej osi C_n

i po jednej płaszczyźnie σ_v(h) i σ_d. Pokazana płaszczyzna σ_v jest równocześnie wertykalna względem zaznaczonej osi C₄
i horyzontalna w stosunku do pozostałych dwóch osi C₄.

Zbiór wszystkich operacji symetrii, które można wykonać na danej cząsteczce nazywamy punktową grupą symetrii.

a b c d e

a

σ_h

δ_ν

δ_ν δ_ν δ_ν δ_ν

C₃

C₂

C₂

C₂

---