MODELOWANIE ZALEŻNOŚCI EKONOMICZNYCH
- model ekonometryczny

1. OCENA JAKOŚCI MODELU

Weryfikacja statystyczna pozwala na ocenę jakości modelu, skonstruowanego na podstawie posiadanej próby. Przy wyciąganiu wniosków odnośnie badanej zależności należy pamiętać, że na każde badane zjawisko ekonomiczne, obok czynników systematycznych (zmiennych objaśniających), działają czynniki losowe (przypadkowe), określane mianem składnika losowego modelu. Przez składnik losowy rozumieć będziemy:

• nieuwzględnione w modelu zmienne objaśniające

• złą postać analityczną modelu

• błędy pomiaru wartości zmiennych

• czynniki czysto przypadkowe.

Działanie składnika losowego ma bardzo istotne znaczenie dla badania zjawisk ekonomicznych, pociąga bowiem za sobą dwie ważne konsekwencje:

• Obserwowane wartości zmiennej Y zawsze odbiegają od wartości wynikających z modelu hipotetycznego (model hipotetyczny to pewien "ideał").

• Szacując model opisujący badaną zależność na podstawie różnych prób otrzymujemy za każdym razem inne oceny parametrów tego modelu. Oznacza to dalej, że dla każdego parametru istnieje zbiór możliwych ocen, nazywany estymatorem.

A. Dobroć dopasowania modelu do obserwacji

Współczynnik determinacji:
.

Określa, jaka część zmienności Y zaobserwowanej w próbie została wyjaśniona za pomocą oszacowanego modelu, czyli za pomocą przyjętych zmiennych objaśniających.

1. Ocena odchylenia standardowego składnika losowego:

Ocena ta obliczana jest na podstawie wzoru:

gdzie T - K to tzw. liczba stopni swobody modelu.

Wartość s wyrażona jest w taki samych jednostkach, w jakich mierzona jest zmienna objaśniana. Mierzy przeciętne odchylenie obserwowanych wartości zmiennej Y od jej wartości wynikających z modelu. Postuluje się, by wartość s była "jak najmniejsza" w stosunku do obserwowanych wartości Y.

2. Szacunkowe błędy średnie parametrów:

Dla parametru
błąd ten opisuje formuła:
,

gdzie
oznacza k-ty element diagonalny w macierzy
.

Błąd ten informuje, o ile przeciętnie oceny parametru (uzyskiwane dla różnych zbiorów obserwacji) odchylają się od jego nieznanej rzeczywistej wartości.

Parametr jest tym precyzyjniej oszacowany im jego błąd jest mniejszy w stosunku do uzyskanej oceny, czyli im większą wartość przyjmuje relacja:

.

3. Badanie istotności zmiennych objaśniających w modelu

Po zbudowaniu modelu ekonometrycznego, do którego zmienne objaśniające dobraliśmy na podstawie posiadanej wiedzy o badanym zjawisku, pojawia się pytanie, czy zmienne te okazały się (w świetle uzyskanych wyników) istotne w sensie statystycznym.

Procedura weryfikacyjna:

1. Stawiamy dwie, wzajemnie się wykluczające hipotezy:

Ho:
(zmienna X_k nie ma istotnego wpływu na kształtowanie Y)

H1:
(zmienna X_k istotnie wpływa na kształtowanie Y)

2. Obliczamy tzw. sprawdzian hipotezy
   .
   Wartość tego sprawdzianu zależy od precyzji oszacowania parametru(!)

3. W rozkładzie t - Studenta wyszukujemy tzw. wartość krytyczną
   .

4. Porównujemy wartość sprawdzianu hipotezy z wartością krytyczną.

1. Jeżeli zachodzi:
   , to nie ma podstaw do odrzucenia Ho.

2. Jeżeli zachodzi:
   , to odrzucamy Ho na rzecz H1.

2. Przedział ufności dla parametru

Jest to oszacowany na podstawie obserwacji przedział liczbowy, który z odpowiednio dużym prawdopodobieństwem (tzw. poziomem ufności u = 1 - α ) pokrywa rzeczywistą wartość danego parametru
. Przedział ten szacowany jest na podstawie wzoru:

.

Uwaga: Przedział ufności może być wykorzystany do zweryfikowania istotności zmiennej objaśniającej w modelu.

3. Prognozowanie ekonometryczne

Prognoza zmiennej Y to sąd o kształtowaniu się wartości tej zmiennej w przyszłości. Jeżeli prognoza sporządzana jest na podstawie modelu ekonometrycznego, to nazywamy ją prognozą ekonometryczną. Najczęściej stosowana reguła prognozowania (tzw. reguła podstawowa) polega na tym, że prognoza jest równa wartości zmiennej objaśnianej wynikającej z modelu ekonometrycznego. U podstaw tej reguły prognozowania leżą dwa założenia:

1. W okresie, dla którego stawiamy prognozę oszacowany model będzie nadal opisywał zależność między zmienną Y i zmiennymi objaśniającymi.

2. Znane są przyszłe wartości zmiennych objaśniających.

Niech
oznacza przyszłą wartość zmiennej objaśniającej Xk (k = 1, ..., K). Prognozą ekonometryczną zmiennej objaśnianej Y jest zatem wartość obliczona w następujący sposób:

.

Jakość postawionej prognozy zależy przede wszystkim od

- jakości modelu ekonometrycznego, na podstawie którego stawiamy prognozę

- dokładności, z jaką ustalone zostały przyszłe wartości zmiennych objaśniających.

Przy stawianiu prognozy należy pamiętać, by moment czasu, dla którego ustalamy przyszłą wartość Y nie był zbyt odległy od okresu, z którego posiadamy ostatnią obserwację. Wykorzystywane przy stawianiu prognozy wartości zmiennych objaśniających nie powinny zbyt odbiegać od tych wartości, na podstawie których oszacowane zostały parametry modelu.

Charakterystyką dokładności (jakości) prognozy są:

bezwzględny błąd prognozy - określa on przeciętne odchylenie rzeczywistych wartości zmiennej Y, obserwowanych przy przyjętych w prognozie wartościach zmiennych objaśniających
(k = 1,..., K), od postawionej prognozy.

Niech
oznacza wektor przyszłych wartości zmiennych objaśniających. Bezwzględny błąd postawionej prognozy oszacujemy posługując się wzorem: .
Błąd prognozy zmiennej objaśnianej Y wyrażony jest w tych samych jednostkach, co ta zmienna. Prognoza jest tym precyzyjniejsza, im jej błąd (m*) jest mniejszy w stosunku do wartości
.

względny błąd prognozy - oblicza się go na podstawie wzoru:

i wyraża zazwyczaj w procentach. Na podstawie błędu tego ustala się tzw. dopuszczalność prognozy. Prognoza dopuszczalna to taka, dla której zachodzi:
.

Przykład. Spółdzielnia Mleczarska postanowiła zbadać zależność wielkości sprzedaży mleka (w tys. litrów) od jego ceny (w zł). W tym celu zbierano obserwacje przez 10 kolejnych miesięcy i otrzymano:

Miesiąc	Sprzedaż	Cena
Styczeń	10	1,30
Luty	6	2,00
Marzec	5	1,70
Kwiecień	12	1,50
Maj	10	1,60
Czerwiec	15	1,20
Lipiec	5	1,60
Sierpień	12	1,40
Wrzesień	17	1,00
Październik	20	1,10

Postawiono hipotezę, że zmiany wielkości sprzedaży w zależności od ceny mleka opisuje model liniowy:

.

1. Oszacuj parametry modelu i podaj jego równanie teoretyczne.

2. Wyjaśnij, jak należy interpretować oceny parametrów tego modelu.

3. Oceń dobroć dopasowania modelu teoretycznego do obserwacji.

4. Oszacuj odchylenie standardowe składnika losowego oraz współczynnik zmienności losowej. Podaj interpretację tych dwóch wielkości.

5. Ile wynoszą szacunkowe błędy średnie parametrów modelu? Który z parametrów został przez nas precyzyjnej oszacowany?

6. Czy w świetle posiadanej przez nas próby (wykorzystanej do budowy modelu) możemy uznać, że cena ma istotny wpływ na kształtowanie wielkości sprzedaży mleka? Przyjmij α = 0.05.

7. Jakiej wielkości sprzedaży mleka należałoby się spodziewać, gdyby jego cena wynosiła 1.80 zł?

1

---