Model ekonometryczny

Y = f (X₁, X₂, X₃, ε)

Y - zmienna endogeniczna oznaczająca ilość ludzi aktywnych ekonomicznie ogółem, w tys.

X₁, X₂, X₃ - zmienne egzogeniczne gdzie:

X₁ - oznacza aktywność ekonomiczną kobiet (w wieku od 15 lat) w tys.

X₂ - oznacza aktywne zawodowo kobiety w tys.

X₃ - oznacza ludność w wieku produkcyjnym - ogółem w tys.

1. Określenie celu badania.

Celem modelu będzie przedstawienie powiązań ekonometrycznych pomiędzy zależnością między zjawiskami reprezentowanymi przez zmienne egzogeniczne: X₁, X₂, X₃ oraz zmienną endogeniczną Y.

2. Specyfikacja zmiennych modelu:

1. dobór zmiennych objaśniających

i	Yi	X1	X2	X3
1 2 3 4 5	28,391 28,380 28,903 29,106 29,486	14,856 14,915 15,173 15,280 15,462	8,048 7,998 7,917 7,804 7,825	21,211 21,772 21,962 22,647 22,820
Σ	144,266	75,686	39,592	110,112

i - kolejne okresy,

2. wybór zmiennych objaśniających do modelu:

Jako metodę doboru zmiennych objaśniających do modelu wybrałam metodę Hellwiga (metodę pojemności integralnych informacji).

Macierz korelacji R - macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi:





gdzie: r₂₁ = r₁₂ R_o - macierz pomiędzy korelacją zmiennych:

r₃₁ = r₁₃ objaśnianej a zmienną objaśnianą

r₂₃ = r₃₂

i	X1⋅X2	X1⋅X3	X2⋅X3	X1⋅Y	X2⋅Y	X3⋅Y
1 2 3 4 5	119,561 119,290 120,125 119,245 120,990	315,111 324,729 333,229 346,046 352,843	170,706 174,132 173,873 176,737 176,567	421,777 423,288 438,545 444,740 455,913	288,491 226,983 228,825 227,143 230,728	602,202 617,889 634,768 659,164 672,871
Σ	599,211	1671,958	874,015	2184,263	1142,170	3186,894

i
1 2 3 4 5	0,213440 0,223729 0,002500 0,064009 0,406890	0,078961 0,049284 0,001296 0,020449 0,008649	0,0169 0,0064 0,000001 0,012996 0,008649	0,758641 0,0961 0,0144 0,319225 0,544644
Σ	0,904367	0,2557	0,944946	1,7329













Interpretacja:

Średnia aktywnych kobiet od lat 15 w danym okresie wynosi 15,137 tys. kobiet.

Średnia aktywność zawodowa kobiet w danym okresie wynosi 7,918 kobiet.

Średnia populacja ludności w wieku produkcyjnym wynosi 28,853 tys.

Średnia ilość ludzi aktywnych ekonomicznie w badanym okresie wynosi

22,082 tys.









































































Metoda Hellwiga:

L = ilość kombinacji

k - liczba zmiennych objaśniających

L=2^k-1=2³-1=7 a więc liczba kombinacji =7

1. kombinacje 1-elementowe:

C₁= (X₁) C₂= (X₂) C₃= (X₃)

H₁= h₁₁= (1)²= 1

H₂= h₂₂= (-0,59769)² = 0,3572

H₃= h₃₃= (0,9859)² = 0,972

2. kombinacje 2-elementowe:

C₄= (X₁,X₂) C₅= (X₁,X₃) C₆= (X₂,X₃)





H₄= h₄₁ + h₄₂ = 0,8556





H₅= h₅₁ + h₅₂ = 0,9742





H₆= h₆₂ + h₆₃ = 0,7564

3. kombinacje 3-elementowe

C₇= (X₁,X₂,X₃)










H₇= 0,8848

max H_m= H₅ = 0,9742

H₅ jest kombinacją zmiennych egzogenicznych X₁ i X₃

Efekt katalizy:










det P₅ = 1+1,0099 + 1,0099 - 0,972 - 1,0493 = 0,9985

det R = 1 - 1,0493 = -0,0493

U_m=R²_m - H_m U_m - wskaźnik natężenia efektu katalizy




U_m= 1,0494 - 0,9742 = 0,0752

Interpretacja:

Tak niski wskaźnik natężenia katalizy świadczy o braku wystarczającego efektu katalizy.

3. Szacowanie parametrów modelu.

Metoda najmniejszych kwadratów.




X - macierz obserwacji ze zmiennymi X₁ i X₃


y - macierz obserwacji dla zmiennej endogenicznej




det X^T ⋅ X - wyznacznik ilorazu macierzy X^T i X

A - macierz dopełnień algebraicznych macierzy X^T i X

^T - macierz transponowana




















Funkcja ma postać:




Interpretacja:

Wzrostowi ilości kobiet aktywnych ekonomicznie o tys. towarzyszy wzrost ilości ludzi aktywnych ogółem o 2,344 tys.

Wzrostowi ilości ludności w wieku produkcyjnym o tys. towarzyszy spadek ilości ludzi aktywnych ogółem o 0,206 tys.

4. Weryfikacja modelu

a) badanie dokładności szacunku modelu

wyznaczamy
gdzie: e_i - odchylenie losowe

T		ei	ei^2
1 2 3 4 5	28,809 28,825 29,362 29,47 29,829	-0,417838 -0,445078 -0,45931 -0,344238 0,343128	0,1745885 0,1980944 0,2109656 0,1326693 0,1177368
Σ			0,8340546




Se² - wariancja odchyleń losowych

n - liczba obserwacji

k - liczba zmiennych objaśniających

n = 5 k = 2 n - k - 1 = 2




wyznaczamy macierz kowariancji i wariancji oceny parametrów strukturalnych
















α₀ α₁ α₃

Przy dokonywaniu szacunku parametrów modelu mylimy się średnio:

dla α₀ o ± 30,136017

dla α₁ o ± 3,9545251

dla α₃ o ± 1,5187521

2. badanie stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych.

- współczynnik zmienności:


%

odchylenia resztowe stanowią 2,238 % średniej ilości ludzi aktywnych zawodowo.

Vs < 10 % - co oznacza, że model jest dostatecznie dopasowany do danych

empirycznych

- współczynnik h zbieżności indeterminalnej.







w 92,225% (zmienne objaśniające X₁ i X₃ ) ilość aktywnych ekonomicznie kobiet i ludności w wieku produkcyjnym nie tłumaczy ilości ludzi aktywnych ekonomicznie ogółem.

- współczynnik determinacji (zgodności)

R² = ϕ² - 1 = 0,0777477

R² ⋅ 100% = 7,77477%

W 7,78% ilość aktywnych ekonomicznie kobiet i ludzi w wieku produkcyjnym tłumaczą ilość ludzi aktywnych zawodowo.

- weryfikacja hipotezy o istotności współczynnika korelacji wielorakiej.

H_o : R = 0 - współczynnik korelacji wielorakiej nieistotnie różni się od 0

H₁ : R ≠ 0 - współczynnik korelacji wielorakiej istotnie różni się od 0





α = 0,05



Fα k = 2 Fα = 19

n - k -1

F < Fα - brak podstaw do odrzucenia H₀ tzn. ,że współczynnik nieistotnie różni się od 0, stopień dopasowania korelacji wielorakiej do danych empirycznych jest niski (złe dopasowanie).

3. badanie statystycznej istotności parametrów strukturalnych:

- test t-studenta


H₀ :
= 0 - rozkład jest losowy

H₁ :
≠ 0 - rozkład nie jest losowy

t₀ = 0,0003318

t₁ = 0,564224

t₃ = 0,1356376


0,05


tα n - k - 1 =2 tα = 4,303

t₀ < tα t₁ < tα t₃ < tα

oznacza to, że α₀, α₁ i α₃ nie są istotne i brakuje podstaw do odrzucenia H₀.

4. weryfikacja hipotez dotyczących składnika losowego:

- badanie losowości

H₀ : e_i = 0 - rozkład reszt jest losowy

H₁ : e_i ≠ 0 - rozkład reszt nie jest losowy

test serii

T	ei
1 2 3 4 5	-0,417838 -0,445078 -0,45931 -0,344238 0,343128

e_i > 0 = a e_i < b

k = 1 , k_A = 0 k_B = 5


















OK :

Obszar krytyczny - k_A i k_B nie są możliwe do odczytania

k < 2 tzn. że znajduje się poza obszarem krytycznym.

Musimy odrzucić H₀ , rozkład reszt nie jest losowy.

- badanie autokorelacji test Durbina - Watsona

t	(ei - ei-1)
1 2 3 4 5	- 0,744624 0,8179176 0,6782313 0,8003666
Σ	2,7411402

H₀ : ρ = 0 - brak autokorelacji

H₁ : ρ ≠ 0 - autokorelacja występuje


Przyjmujemy iż, α = 0,05



d_L,d_u n = 5 (n przyjmujemy dla 15 prób)

d_L = 0,95 k = 2

d_u = 1,54




d > d_u tzn., że występuje brak autokorelacji, przyjmujemy H₀

1

1

2

k(α/2,k_A,k_B)

k(1-α/2, k_A,k_B)

n




---