WSTĘP TEORETYCZNY: BADANIE TRANSFORMACJI ENERGII MECHANICZNEJ KRĄŻKA MAXWELLA

Krążek Maxwella jest to masywne ciało (w naszym przypadku jest to koło zamachowe) zawieszone na cienkim pręcie (osi obrotu), który przechodzi przez środek masy ciała. Do każdej części pręta (po obu stronach krążka) są umocowane cienkie linki. Całość jest zawieszona na statywie tak, że pręt zachowuje pozycję poziomą. Po nawinięciu linek na oś krążek unosi się do góry. Po swobodnym puszczeniu krążka z górnego położenia, linki zaczynają się odwijać z pręta, a całość opadać ku dołowi coraz szybciej ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

Jednostajnie przyśpieszonemu ruchowi postępowemu ku dołowi towarzyszy jednostajnie przyśpieszony ruch obrotowy krążka. Przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego ε związane jest z przyśpieszeniem liniowym ruchu postępowego a zależnością:

(41.1)

gdzie: R - promień ośki, na której nawinięte są linki.

Zastosujmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla krążka Maxwella spadającego z wysokości h. Jego początkowa energia potencjalna mgh podczas ruchu w dół zostaje całkowicie zmieniona na energię kinetyczną ruchu postępowego
oraz na energię kinetyczną ruchu obrotowego
:

(41.2)

gdzie: m - masa krążka razem z ośką,

J0 - moment bezwładności krążka z ośką względem osi obrotu,

V - prędkość liniowa ruchu postępowego,

ω - prędkość kątowa ruchu obrotowego.

Całkowita energia początkowa układu (mającej postać energii potencjalnej w jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi) dzieli się na dwie postacie energii kinetycznej. W ćwiczeniu wyznaczamy wartości obu energii kinetycznych, ich wzajemny stosunek oraz określamy,

w jaki sposób zmieniają się one w czasie. W tym celu musimy najpierw wyznaczyć moment bezwładności krążka J0 względem centralnej osi obrotu.

Stosując zależność
do zasady zachowania energii (41.2) mamy:

(41.3)

i stąd po przekształceniach możemy obliczyć moment bezwładności J0 :

(41.4)

Moment bezwładności krążka Maxwella można określić też na innej drodze, rozpatrując jego chwilowy ruch obrotowy względem osi przebiegającej przez punkt styczności nici z prętem (rys. 41.2).

Rys. 41.2. Chwilowy ruch obrotowy krążka względem osi przebiegającej przez punkt styczności z nicią zaznaczony literą A.

Stosując drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

(41.5)

gdzie: mgR - moment siły obracający ciało względem osi A,

J - moment bezwładności krążka względem osi A. Na mocy twierdzenia Steinera (o osiach równoległych) momenty bezwładności J i J0 są związane ze sobą zależnością:

(41.6)

w efekcie:

(41.7)

i stąd:

(41.8)

Wyznaczając ε można znaleźć J0 - moment bezwładności ciała (tu krążka z prętem) względem osi przechodzącej przez jego środek masy. Zaprezentowana metoda dobrze nadaje się do eksperymentalnego wyznaczania momentów bezwładności względem takich osi. Ważne jest to, że nie jest wymagana kołowa symetria badanego ciała. Oś obrotu musi przechodzić tylko przez środek jego masy (rys. 41.3).

Rys. 41.3. Przykładowe kształty ciał, których momenty bezwładności można wyznaczyć stosowaną w ćwiczeniu metodą: a) oś obrotu przebija prostopadle walec w środku masy, b) oś obrotu przebija prostopadle trójkątną płytę w środku masy.

---