SZEREGI LICZBOWE

DEF 1. Niech a₁, a₂, a₂,..., a_n będzie ciągiem liczbowym wówczas ciąg sum :

nazywamy SZEREGIEM liczbowym o wyrazach a_n i oznaczamy symbolem

Sumy S₁, S₂,..., S_n,... będziemy nazywać sumami częściowymi szeregu
. Ciąg S_n będziemy nazywać ciągiem sum częściowych powstałych na tle ciągu a_n .

UWAGA 1. Szereg to po prostu specjalny ciąg.

Przykład 1. Weźmy następujący szereg
.Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego szeregu

,

ciąg
,

S₁=1

....,

DEF 2. Szereg liczbowy
nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych S_n jest ciągiem zbieżnym(ma granicę skończoną) tzn.
. Liczbę S będziemy nazywać sumą tego szeregu tzn.
.

DEF 3. Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą +∞ lub -∞ albo nie ma żadnej) to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Przykład 2. Oblicz sumę szeregu o ile istnieje

(a)

Rozważmy n-tą sumę
.Więc
, czyli szereg jest zbieżny.

(b)

Rozważmy n-tą sumę
.Więc n-ta suma nie jest ograniczona, czyli szereg jest rozbieżny.

UWAGA 2. Symbol
oznacza szereg (czyli ciąg sum częściowych) oraz jeśli szereg jest zbieżny oznacza również sumę szeregu( czyli liczbę).

Twierdzenie 1 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH)

Jeżeli szereg liczbowy
jest zbieżny, to
.

UWAGA 3. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony to szereg jest rozbieżny.

Jeżeli warunek konieczny jest spełniony to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.

Przykład 3.Zbadaj, czy szereg spełnia warunek konieczny:

(a)

Ponieważ
więc warunek konieczny nie jest spełniony więc szereg jest rozbieżny.

(b)

Ponieważ
więc warunek konieczny jest spełniony ALE nie wiemy jeszcze nic o zbieżności tego szeregu. Rozpatrzmy n-tą sumę
Ponieważ n-ta suma dąży do nieskończoności i mimo, że spełniony jest warunek konieczny to ostatecznie szereg jest rozbieżny.

DEF 4.Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci

powstały na tle ciągu geometrycznego o pierwszy wyrazie a₁ i ilorazie q. Jeżeli

• a₁=0 to szereg jest zbieżny i ma sumę równą 0

• a₁≠0 i |q|≥1 to szereg jest rozbieżny

• |q|<1 to szereg jest zbieżny do S=
  

Przykład 4.

(a)
szereg zbieżny

(b)
szereg zbieżny

(c)
szereg zbieżny dla |x|<1

DEF 5. Szereg harmoniczny to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami liczb naturalnych

DEF 6. Szereg harmoniczny rzędu r to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami r-tych liczb naturalnych

Twierdzenie 2. Szereg harmoniczny rzędu r>1 jest zbieżny.

Twierdzenie 3. Szereg harmoniczny rzędu r≤1 jest rozbieżny.

Przykład 5. Zbadaj zbieżność szeregów

(a)
harmoniczny rzędu 1-ego, więc jest rozbieżny

(b)
harmoniczny rzędu ½-ga, więc jest rozbieżny

(c)
harmoniczny rzędu 10-ego, więc jest zbieżny

(d)
harmoniczny rzędu większego niż 1, więc jest zbieżny

Twierdzenie 4. (kryterium d'Alemberta)

Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich
i jeżeli
, wtedy:

1. jeżeli g<1, to szereg liczbowy jest zbieżny,

2. jeżeli g>1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,

W przypadku, kiedy g=1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu.

Przykład 6. Zbadaj zbieżność szeregu
stosując kryterium d'Alemberta.

Mamy
,
, więc

Na mocy kryterium d'Alemberta szereg jest zbieżny.

Twierdzenie 5 (kryterium Cauchye'go)

Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich
i
, wtedy:

1. jeżeli g<1, to szereg liczbowy jest zbieżny,

2. jeżeli g>1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,

Jeżeli g=1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności.

Przykład 7. Zbadaj zbieżność szeregu
stosując kryterium Cauchye'go.

Mamy
i szereg jest rozbieżny.

Granicę licznika należy policzyć korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, natomiast mianownika korzystając z granic dotyczących liczby e.

Twierdzenie 6. (kryterium porównawcze zbieżności szeregów)

Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe
,
i szereg
jest zbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<
, to szereg
też jest zbieżny.

Przykład 8. Zbadaj zbieżność szeregu
stosując kryterium porównawcze.

Mamy
, więc szereg jest zbieżny, bo szereg

Jako szereg harmoniczny rzędu
jest zbieżny.

Twierdzenie 7. (kryterium porównawcze rozbieżności szeregów)

Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe
,
i szereg
jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<
,, to szereg
też jest rozbieżny.

Przykład 9. Zbadaj zbieżność szeregu
stosując kryterium porównawcze. Zwróćmy uwagę, że
, więc szereg jest rozbieżny, bo szereg
jako szereg harmoniczny pomnożony przez liczbę
jest oczywiście rozbieżny.

DEF 7. Szereg liczbowy postaci
, gdzie dla każdego n naturalnego
nazywamy naprzemiennym.

Przykład 10. Szereg postaci
jest przykładem szeregu naprzemiennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym.

Twierdzenie 8.(kryterium Leibniza)

Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny
taki, że spełnione są warunki:

1. ciąg
   jest nierosnący,

2. 
   ,

to szereg jest zbieżny.

Przykład 11. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg
jest zbieżny ponieważ ciąg
jest ciągiem malejącym dążącym do zera..

DEF 8. Szereg liczbowy
nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg
jest zbieżny (szereg bezwzględnych wartości).

DEF 9.Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym.

Twierdzenie 9.

Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.

Przykład 12.Szereg postaci
jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg
jest szeregiem zbieżnym, co wynika z kryterium Cauchye'go. Istotnie
, więc szereg
na mocy twierdzenia jest zbieżny.

Przykład 13.Szereg postaci
nie jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, bo szereg jego bezwzględnych wartości
jest szeregiem harmonicznym rzędu
, więc jest szeregiem rozbieżnym.

Z kryterium Leibniza wynika natomiast, że szereg
jest zbieżny ponieważ ciąg
jest ciągiem malejącym dążącym do zera.

Więc szereg naprzemienny
jest warunkowo zbieżny.

Przykład 14. Szereg anharmoniczny
jest szeregiem warunkowo zbieżnym.

Przykład 15. Szereg
jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg
jest zbieżny, co wynika z kryterium d'Alemberta. Istotnie
.Więc szereg
jest zbieżny.

ZADANIA

1.Wykazać, że następujące szeregi są zbieżne oraz wyznaczyć ich sumy:

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

2.Posługując się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu pokazać, że następujące szeregi są rozbieżne.

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

3. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność następujących szeregów.

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

4. Stosując kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność następujących szeregów.

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

5. Stosując kryterium Cauchy'ego rozstrzygnąć, które poniższe szeregi są zbieżne.

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

6. Zbadać zbieżność następujących szeregów naprzemiennych.

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

7. Rozstrzygnąć, które z podanych niżej szeregów są zbieżne warunkowo a które bezwzględnie.

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

8. Zbadaj zbieżność szeregów.

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

(7)
(8)
(9)

(10)
(11)
(12)

(13)
(14)
(15)

(16)
(17)
(18)

(19)
(20)
(21)

(22)
(23)
(24)

(25)
(26)
(27)

---