(3736) szeregi liczbowe


SZEREGI LICZBOWE

DEF 1. Niech a1, a2, a2,..., an będzie ciągiem liczbowym wówczas ciąg sum :

0x01 graphic

nazywamy SZEREGIEM liczbowym o wyrazach an i oznaczamy symbolem

0x01 graphic

Sumy S1, S2,..., Sn,... będziemy nazywać sumami częściowymi szeregu 0x01 graphic
. Ciąg Sn będziemy nazywać ciągiem sum częściowych powstałych na tle ciągu an .

UWAGA 1. Szereg to po prostu specjalny ciąg.

Przykład 1. Weźmy następujący szereg 0x01 graphic
.Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego szeregu

0x01 graphic
,

ciąg 0x01 graphic
,

S1=1 0x01 graphic
0x01 graphic
...., 0x01 graphic

DEF 2. Szereg liczbowy 0x01 graphic
nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych Sn jest ciągiem zbieżnym(ma granicę skończoną) tzn. 0x01 graphic
. Liczbę S będziemy nazywać sumą tego szeregu tzn. 0x01 graphic
.

DEF 3. Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą +∞ lub -∞ albo nie ma żadnej) to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Przykład 2. Oblicz sumę szeregu o ile istnieje

(a)0x01 graphic

Rozważmy n-tą sumę 0x01 graphic
.Więc0x01 graphic
, czyli szereg jest zbieżny.

(b) 0x01 graphic

Rozważmy n-tą sumę 0x01 graphic
.Więc n-ta suma nie jest ograniczona, czyli szereg jest rozbieżny.

UWAGA 2. Symbol 0x01 graphic
oznacza szereg (czyli ciąg sum częściowych) oraz jeśli szereg jest zbieżny oznacza również sumę szeregu( czyli liczbę).

Twierdzenie 1 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH)

Jeżeli szereg liczbowy 0x01 graphic
jest zbieżny, to 0x01 graphic
.

UWAGA 3. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony to szereg jest rozbieżny.

Jeżeli warunek konieczny jest spełniony to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.

Przykład 3.Zbadaj, czy szereg spełnia warunek konieczny:

(a) 0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
więc warunek konieczny nie jest spełniony więc szereg jest rozbieżny.

(b) 0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
więc warunek konieczny jest spełniony ALE nie wiemy jeszcze nic o zbieżności tego szeregu. Rozpatrzmy n-tą sumę 0x01 graphic
Ponieważ n-ta suma dąży do nieskończoności i mimo, że spełniony jest warunek konieczny to ostatecznie szereg jest rozbieżny.

DEF 4.Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci

0x01 graphic

powstały na tle ciągu geometrycznego o pierwszy wyrazie a1 i ilorazie q. Jeżeli

0x01 graphic

Przykład 4.

(a) 0x01 graphic
szereg zbieżny

(b) 0x01 graphic
szereg zbieżny

(c) 0x01 graphic
szereg zbieżny dla |x|<1

DEF 5. Szereg harmoniczny to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami liczb naturalnych

0x01 graphic

DEF 6. Szereg harmoniczny rzędu r to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami r-tych liczb naturalnych

0x01 graphic

Twierdzenie 2. Szereg harmoniczny rzędu r>1 jest zbieżny.

Twierdzenie 3. Szereg harmoniczny rzędu r≤1 jest rozbieżny.

Przykład 5. Zbadaj zbieżność szeregów

(a) 0x01 graphic
harmoniczny rzędu 1-ego, więc jest rozbieżny

(b) 0x01 graphic
harmoniczny rzędu ½-ga, więc jest rozbieżny

(c) 0x01 graphic
harmoniczny rzędu 10-ego, więc jest zbieżny

(d) 0x01 graphic
harmoniczny rzędu większego niż 1, więc jest zbieżny

Twierdzenie 4. (kryterium d'Alemberta)

Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich 0x01 graphic
i jeżeli 0x01 graphic
, wtedy:

  1. jeżeli g<1, to szereg liczbowy jest zbieżny,

  2. jeżeli g>1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,

W przypadku, kiedy g=1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu.

Przykład 6. Zbadaj zbieżność szeregu 0x01 graphic
stosując kryterium d'Alemberta.

Mamy 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic

0x01 graphic

Na mocy kryterium d'Alemberta szereg jest zbieżny.

Twierdzenie 5 (kryterium Cauchye'go)

Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, wtedy:

  1. jeżeli g<1, to szereg liczbowy jest zbieżny,

  2. jeżeli g>1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,

Jeżeli g=1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności.

Przykład 7. Zbadaj zbieżność szeregu 0x01 graphic
stosując kryterium Cauchye'go.

Mamy 0x01 graphic
i szereg jest rozbieżny.

Granicę licznika należy policzyć korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, natomiast mianownika korzystając z granic dotyczących liczby e.

Twierdzenie 6. (kryterium porównawcze zbieżności szeregów)

Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i szereg 0x01 graphic
jest zbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<0x01 graphic
, to szereg 0x01 graphic
też jest zbieżny.

Przykład 8. Zbadaj zbieżność szeregu 0x01 graphic
stosując kryterium porównawcze.

Mamy 0x01 graphic
, więc szereg jest zbieżny, bo szereg 0x01 graphic

Jako szereg harmoniczny rzędu 0x01 graphic
jest zbieżny.

Twierdzenie 7. (kryterium porównawcze rozbieżności szeregów)

Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność 0<0x01 graphic
,, to szereg 0x01 graphic
też jest rozbieżny.

Przykład 9. Zbadaj zbieżność szeregu 0x01 graphic
stosując kryterium porównawcze. Zwróćmy uwagę, że 0x01 graphic
, więc szereg jest rozbieżny, bo szereg 0x01 graphic
jako szereg harmoniczny pomnożony przez liczbę 0x01 graphic
jest oczywiście rozbieżny.

DEF 7. Szereg liczbowy postaci 0x01 graphic
, gdzie dla każdego n naturalnego 0x01 graphic
nazywamy naprzemiennym.

Przykład 10. Szereg postaci 0x01 graphic
jest przykładem szeregu naprzemiennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym.

Twierdzenie 8.(kryterium Leibniza)

Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny 0x01 graphic
taki, że spełnione są warunki:

  1. ciąg 0x01 graphic
    jest nierosnący,

  2. 0x01 graphic
    ,

to szereg jest zbieżny.

Przykład 11. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg 0x01 graphic
jest zbieżny ponieważ ciąg 0x01 graphic
jest ciągiem malejącym dążącym do zera..

DEF 8. Szereg liczbowy 0x01 graphic
nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg 0x01 graphic
jest zbieżny (szereg bezwzględnych wartości).

DEF 9.Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym.

Twierdzenie 9.

Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.

Przykład 12.Szereg postaci 0x01 graphic
jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg 0x01 graphic
jest szeregiem zbieżnym, co wynika z kryterium Cauchye'go. Istotnie 0x01 graphic
, więc szereg 0x01 graphic
na mocy twierdzenia jest zbieżny.

Przykład 13.Szereg postaci 0x01 graphic
nie jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, bo szereg jego bezwzględnych wartości 0x01 graphic
jest szeregiem harmonicznym rzędu 0x01 graphic
, więc jest szeregiem rozbieżnym.

Z kryterium Leibniza wynika natomiast, że szereg 0x01 graphic
jest zbieżny ponieważ ciąg 0x01 graphic
jest ciągiem malejącym dążącym do zera.

Więc szereg naprzemienny 0x01 graphic
jest warunkowo zbieżny.

Przykład 14. Szereg anharmoniczny 0x01 graphic
jest szeregiem warunkowo zbieżnym.

Przykład 15. Szereg 0x01 graphic
jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg 0x01 graphic
jest zbieżny, co wynika z kryterium d'Alemberta. Istotnie 0x01 graphic
.Więc szereg 0x01 graphic
jest zbieżny.

ZADANIA

1.Wykazać, że następujące szeregi są zbieżne oraz wyznaczyć ich sumy:

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic

2.Posługując się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu pokazać, że następujące szeregi są rozbieżne.

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic

3. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność następujących szeregów.

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic

4. Stosując kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność następujących szeregów.

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic

5. Stosując kryterium Cauchy'ego rozstrzygnąć, które poniższe szeregi są zbieżne.

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic

6. Zbadać zbieżność następujących szeregów naprzemiennych.

(1)0x01 graphic
(2) 0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5) 0x01 graphic
(6)0x01 graphic

7. Rozstrzygnąć, które z podanych niżej szeregów są zbieżne warunkowo a które bezwzględnie.

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic

8. Zbadaj zbieżność szeregów.

(1)0x01 graphic
(2)0x01 graphic
(3)0x01 graphic

(4)0x01 graphic
(5)0x01 graphic
(6)0x01 graphic

(7)0x01 graphic
(8)0x01 graphic
(9)0x01 graphic

(10)0x01 graphic
(11)0x01 graphic
(12)0x01 graphic

(13)0x01 graphic
(14)0x01 graphic
(15)0x01 graphic

(16)0x01 graphic
(17)0x01 graphic
(18)0x01 graphic

(19)0x01 graphic
(20)0x01 graphic
(21)0x01 graphic

(22)0x01 graphic
(23)0x01 graphic
(24)0x01 graphic

(25)0x01 graphic
(26)0x01 graphic
(27)0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
am4 Szeregi liczbowe, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od
4-SZEREGI LICZBOWE, SZEREGI LICZBOWE
11 szeregi liczbowe 4 1 podstawowe wlasnosci szeregow
Szeregi liczbowe mechatronika, wykłady i notatki, mechatronika, analiza ćwiczenia
AMI 08 Szeregi liczbowe
AM23 w02 Szeregi liczbowe cz 1 Nieznany
am2 1 Szeregi liczbowe id 58796 Nieznany (2)
C03 Szeregi liczbowe
Szeregi liczbowe, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Szeregi liczbowe, Edukacja, Analiza Matematyczna
21 Definicja szeregu liczbowego Zbieżność szeregów liczbowych - kryteria zbieżności, Studia, Seme
ZADANIA Szeregi liczbowe, 2 semestr, Równania różniczkowe
Matematyka - Liczby zespolone i Szeregi liczbowe, AM SZCZECIN, MATEMATYKA, Matematyka
Szereg liczbowy
AM23 w03 Szeregi liczbowe cz 2 Nieznany
13 szeregi liczbowe 4 3 szeregi o wyrazach dowolnego znaku

więcej podobnych podstron