EGZAMIN Z TEORETYCZNEJ, 19.06.2009

Zadanie I

Opis układów:

1. Sztywna cząsteczka CO₂ zaadsorbowana fizycznie na płaskiej powierzchni katalizatora.

2. Cząsteczka HCl zaadsorbowana fizycznie na płaskiej powierzchni katalizatora.

3. Sztywna cząsteczka CO₂ spadająca swobodnie i rotująca w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku spadania.

4. Cząsteczka HCl spadająca swobodnie i rotująca w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku spadania.

1. Który układ opisuje powyższy Hamiltonian? ………………………….

2. Uzupełnić tabelę:

Układ	Liczba stopni swobody	Liczba równań Lagrange'a	Liczba równań Hamiltona
A
B
C
D

3. Zapisać we współrzędnych uogólnionych postać funkcji Lagrange'a dla układu, dla którego została zapisana powyższa postać równania Hamiltona.

4. Zapisz i unormuj rozkład M-B (zbiór CO₂)

• dla energii translacji;

• najbardziej prawdopodobną wartość modułu prędkości;

• średnią wartość modułu prędkości cząsteczek.

Cząstka z punktu B:

5. Energia całkowita cząstki.

6. Kwadrat wychylenia od równowagowej długości wiązania.

7. Kwadrat momentu pędu cząsteczki.

8. Ciepło właściwe cząsteczki w granicy normalnych temperatur.

9. Ciepło właściwe cząsteczki w granicy niskich temperatur.

Zadanie II

Znajdź entropię molową kryształu CO w 0 K.

Zadanie III

Uzupełnić luki tam gdzie są „x”, aby był zdefiniowany operator kulombowski i wymienny.







Zadanie IV

Dane są orbitale atomu wodoru: 3d_xy, 2p₀, 4d₂, 3s, 4p_x

1. Orbitale spełniające zagadnienie własne
   :…………………………

2. Orbitale spełniające zagadnienie własne
   :………………………..

3. Orbitale spełniające zagadnienie własne
   :…………………………

4. Orbital o najniższej energii, podać jej wartość:………………………..

5. Ilokrotnie jest zdegenerowany poziom energetyczny, do którego należy orbital o najniższej energii…………………………..

6. Dana jest kombinacja liniowa f:

f = c₁3d_xy + c₂2p₀ + c₃4d₂ + c₄3s + c₅4p_x

Pod jakim warunkiem jest ona funkcją rzeczywistą?

Zadanie V

Cząsteczka HCl zamknięta w sześciennym pudle o rozmiarach makroskopowych. Różnica energii między dwoma najniższymi poziomami energetycznymi jej energii translacji wynosi
. Częstość oscylacji rozciągających wiązanie HCl wynosi
, zaś najniższe energetycznie przejście rotacyjne obserwowane jest przy energii
. Traktując cząsteczkę jako oscylator lub rotator oblicz
,
,
(T - tryt ³H).

Zadanie VI

Unormowane są funkcje
rotatora sztywnego można zapisać w postaci iloczynu dwóch innych funkcji.





Jawna:






1. Wyznacz jawną postać funkcji
   

2. Obliczyć:

	Funkcja		Funkcja
E (+prawdopodobieństwo)
M^2(+prawdopodobieństwo)
Mz (+prawdopodobieństwo)

3. Znormalizuj funkcję:
   

4. Oblicz wartość operatora M_z M² na funkcję
   
   

5. Oblicz średnie M_z
   
   

6. Oblicz
   
   

• Oblicz wartość [M_z, cos
  ], a następnie sprawdź czy operator jest liniowy i hermitowski.

Zadanie VII

W krysztale półprzewodnika, który w paśmie walencyjnym powstaje przez wzbudzenie elektronów do pasma przewodnictwa nazywamy dziurą elektronową i możemy traktować jako cząstkę o ładunku dodatnim. Układ elekt. dziura nazywamy ekscytronem zachowuje się jak para……………………..

Który model teoretycznej funkcji opisze niższą energię poziomu podstawowego?

Y₁ = exp (-a r²)

Y₂= exp (- r^b)

Odpowiedź uzasadnij.




---