Mechatronika

Wydz. Elektryczny

II semestr

Mechanika

REFERAT:

Kręt i energia kinetyczna ciała w ruchu kulistym

Jakub Wnuk

Kręt, inaczej moment pędu, jest to wektorowa wielkość fizyczna opisująca ruch punktu materialnego o masie m względem bieguna O. Definiuje się ją jako iloczyn wektorowy pędu ciała  v dm i wektora r poprowadzonego z bieguna.

Ruch kulisty możemy traktować jak chwilowy ruch obrotowy wokół osi chwilowej l, przechodzącej przez unieruchomiony punkt ciała zwany ośrodkiem ruchu kulistego.

Natomiast chwilową prędkość kątowa oznaczona została na rysunku poniżej symbolem ω.

Posiada on 3 stopnie swobody.

Przykładem odnoszącym się do ruchu kulistego jest poruszający się aparat fotograficzny, umocowany na przegubie kulistym statywu.

W celu wyznaczenie krętu K_o ciała względem środka ruchu kulistego O musimy wyodrębnić element o masie dm z dowolnego punktu rozpatrywanego ciała, następnie potraktować go jako punkt materialny a jego prędkość oznaczyć przez v.

r × v dm

Możemy wyznaczyć składowe powyższego wektora wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych Oxyz którego początek znajduje się w środku ruchu kulistego.

Można zauważyć ze składowe promienia-wektora r równe są współrzędnym rozważanego elementu x,y,z. Wiec składowe iloczynu wektorowego r × v wynoszą: yv_z-zv_y , zv_x-xv_z , xv_y-yv_x. Mnożąc je przez mase dm otrzymujemy składowe krętu:

(yv_z-zv_y)dm , (zv_x-xv_z)dm , (xv_y-yv_x)dm .

Chcąc otrzymać składowe K_x, K_y, K_z krętu K_o całego ciała musimy scałkować powyższe wyrażenia przez całą objętość ciała które rozpatrujemy. Tak wiec mamy:

K_x = ∫ (yv_z-zv_y)dm , K_y = ∫ zv_x-xv_z)dm , K_z = ∫ (xv_y-yv_x)dm

Wiedząc ze ruch kulisty jest to chwilowy ruch obrotowy możemy prędkość v zastąpić iloczynem wektorowym chwilowej prędkości kątowej ω i promienia wektora r

v = ω × r

Korzystając ze wzorów omawianych w dziale kinematyki otrzymujemy składowe chwilowej prędkości kątowej ciała (ω_­x , ω_{­y ,} ω_­z)

v_x = ω_­yz - ω_­zy , v_y = ω_­zx - ω_­xz , v_z = ω_­xy - ω_­yx

Gdy podstawimy te wyrażenia do równań składowych kretu K_o

K_x = ω_­x ∫ (y²+z²) dm - ω_­y ∫ xy dm - ω_­z ∫ xz dm

K_y = -ω_­x ∫ yx dm + ω_­x ∫ (z²+x²) dm - ω_­z ∫ yz dm

K_z = -ω_­x ∫ zx dm - ω_­x ∫ zy dm + ω_­x ∫ (x²+y²)dm

Wyrażenia y²+z² , z²-x² , x²-y² równe są kwadratom odległości elementu o masie dm od osi O_x , O_y , O_z . Wiec otrzymujemy wzory na momenty bezwładności ciała (I) względem osi współrzędnych x,y,z :

I_x = ∫ (y² + z²) dm , I_y = ∫ (z² + x²) dm , I_z = ∫ (x² + y²) dm

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. (ogólny wzór I=mr² [kg·m²])

Pozostałe całki ze wzoru równań składowych krętu K_o równe są momentom odśrodkowym I na poszczególne osie:

I_xy = I_yx = ∫ xy dm , I_xz = I_zx = ∫ xz dm , I_yz = I_zy = ∫ yz dm ,

Posiadając tą wiedze możemy przejrzyściej (ogólniej) zapisać wzory składowych krętu względem środka O ruchu kulistego które są równe jednocześnie krętom rozpatrywanego ciała względem odpowiednich osi obranego układu współrzędnych.

K_x = I_xω_­x - I_xyω_­y - I_xzω_­z

K_y = -I_yxω_­x + I_yω_­y - I_yzω_­z

K_z = -I_zxω_­x - I_zyω_­y + I_zω_­z

W szczególnym przypadku, gdy osie układu O_xyz , pokrywają się z głównymi osiami bezwładności ciała w punkcie O, wówczas I_xy = I_yz = I_zx= 0

Wtedy nasze składowe krętu wynoszą:

K_x = I_xω_­x , K_y = I_yω_­y , K_z = I_zω_­z

Wynika z tego ze wektor kretu K_o oraz wektor prędkości kątowej ω mają na ogół różne kierunki.

Chcąc to pokazać bardziej szczegółowo musimy wyznaczyć prostokątny układ współrzędnych tak aby oś O_z pokrywała się w chwili, w której wyznaczamy kręt K_o z chwilową osią obrotu (przedstawia tę sytuacje rysunek poniżej)

W tym przypadku ω_z = ω a ω_z = ω_y = 0.

Po podstawieniu tych wzorów do ogólnych wzorów składowych krętu otrzymamy:

K_x = - I_xz ω , K_y = - I_yz ω , K_z = - I_z ω

Z nich już możemy z łatwością wywnioskować ze momenty odśrodkowe I_xz oraz I_yz są różne od zera. Wiec gdy chwilowa oś nie pokrywa się z osią główną ciała w punkcie O, wówczas kręt K_o i prędkość kątowa ω mają różne kierunki. Dodatkowo możemy jeszcze wywnioskować ze kret i prędkość kątowa tworzą ze sobą zawsze kąt ostry (gdy wektor ω jest skierowany zgodnie z osią O_z wtedy K_z­ jest większe od zera i na odwrót)

Wiec jeśli oś obrotu jest jedna z osi głównych ciała to I_xz = I_yz = 0 i wzór na kręt wynosi

K_z = I_z ω a K_x = K_y = 0

Ogólnie energia kinetyczna jest to energia ciała związana z jego ruchem.

W ruchu obrotowym ciała sztywnego dookoła nieruchomej osi wartość prędkości dowolnego punktu ciała wynosi:

v_i = r_i ω

Ponieważ energia kinetyczna układu mechanicznego jest równa sumie energii kinetycznej wszystkich punktów materialnych wchodzących w skład układu:

Jeżeli jest momentem bezwładności ciała względem osi obrotu.

Jeżeli ruch ten jest chwilowym ruchem obrotowym wokół osi chwilowel l, wiec energia kinetyczna musi być równa połowie iloczynu bezwładności I_l (I= mr_­²) ciała względem tej osi i kwadratu prędkości kątowej. Zatem mamy:

E_k = ¹/₂ I_l ω²

W tym przypadku oś obrotu jest osią chwilową. Oś ta zmienia swoje położenie w stosunku do poruszającego się ciała i wtedy moment bezwładności I_l i nie jest w tym przypadku wielkością stałą.

Oznaczając na rysunku powyżej kąty które oś chwilowa tworzy w rozpatrywanej chwili z osiami obranego układu współrzędnych. I zgodnie z ogólnymi równaniami bezwładności

I_l= I_xcos²α + I_ycos²β + I_zcos²γ -2I_xycosα cosβ -2I_yz cosβ cosγ - 2I_zx cosγ cosα

otrzymujemy po podstawieniu:

E_k = ¹/₂ (I_xcos²α + I_ycos²β + I_zcos²γ -2I_xycosα cosβ -2I_yz cosβ cosγ - 2I_zx cosγ cosα) ω²

Gdy zauważymy ze prędkość kątowa ω jest skierowana zgodnie z osia chwilowa, możemy wykorzystać że:

ω_x = ω cosα , ω_y = ω cosβ , ω_y = ω cosγ

Otrzymujemy:

E_k = ¹/₂ (I_x ω_x² + I_y ω_y² + I_z ω_z² -2I_xy ω_x ω_y -2I_yz ω_y ω_z - 2I_zx ω_z ω_x)

Jednak gdy osia układu współrzędnych obierzemy osie główne ciała w punkcie O, wówczas momenty odśrodkowe są równe zero i wtedy wzór na energie wynosi:

E_k = ¹/₂ (I_x ω_x² + I_y ω_y² + I_z ω_z²)

---