31. Prawa Keplera. Ruchy planet i satelitów.

Prawami Keplera nazywamy trzy prawa astronomiczne, odkryte przez Jana Keplera i opisujące ruch planet wokół Słońca.

I Prawo Keplera

Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych, w których w jednym z ognisk znajduje się słońce (prawo orbit).

II Prawo Keplera

Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu równe pola (prawo pól).

Inaczej mówiąc w równych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola. Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca).

III Prawo Keplera

Kwadrat okresu obiegu każdej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca

(prawo okresów).

Inaczej: stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego oddalenia od Słońca jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym.

Co wyraża się wzorem:

gdzie:

T1, T2 - okresy obiegu dwóch planet

a1, a2 - średnie odległości tych planet od Słońca

np. okres obiegu Ziemi - 1 rok śr. odległość Ziemi od Słońca - 1 AU (jedn. astr.)

Ruchy planet i satelitów:

Ruchy planet i planetoid wokół Słońca są zastanawiające regularne. Prawie wszystkie te ciała poruszają się po niemal kołowych orbitach, które leżą w płaszczyznach bardzo bliskich koincydencji z płaszczyzną orbity Jowisza, a wszystkie widoczne planety i planetoidy mają ten sam kierunek ruchu wokół Słońca. Tempo ich obiegu orbitalnego nie jest równe; im bliżej Słońca jest dana planeta, tym krótszy jest jej okres orbitalny. Merkury np. obiega Słońce 1180 razy podczas każdego pojedynczego obiegu Plutona. Dziś ruchy ciał w Układzie Słonecznym opisuje się za pomocą tzw. praw Keplera.

Przykład

Rozpatrzmy ruch planety o masie m krążącej w odległości R wokół Słońca o masie M. Wtedy siła przyciągania grawitacyjnego wynosi

(6.5)

a ponieważ przyspieszenie w ruchu po okręgu jest dane wyrażeniem

(6.6)

to równanie (6.5) przyjmuje postać

(6.7)

skąd otrzymujemy

(6.8)

Newton pokazał, że prawa Keplera można wyprowadzić z zasad dynamiki. Pokazał na przykład, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości to spełnione są pierwsze i trzecie prawo Keplera.

Rozpoczniemy od wyprowadzenia trzeciego prawa Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych. Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru (6.8) na masę Słońca otrzymujemy dla pierwszej planety krążącej wokół Słońca

a dla drugiej

Porównując te równania stronami otrzymujemy

Teraz przejdziemy do drugiego prawa Keplera. Na rysunku poniżej zaznaczona jest powierzchnia zakreślana w czasie Δt przez linię łączącą planetę ze Słońcem.

Rys. 1. Powierzchnia zakreślana w czasie Δt przez linię łączącą planetę ze Słońcem

Jeżeli weźmiemy bardzo krótki przedział czasu dt (Δt → 0) to zaznaczone pole dS jest powierzchnią trójkąta o podstawie równej długości zakreślanego łuku (vdt) i wysokości równej promieniowi R

Stąd chwilowa prędkość polowa (prędkość z jaką promień R zakreśla powierzchnię) jest równa

(1)

Z zasad dynamiki Newtona wynika zasada zachowania momentu pędu (poznamy ją w następnych rozdziałach), zgodnie z którą moment pędu L planety w jej obiegu wokół Słońca jest stały

(2)

Łącząc równania (1) i (2) otrzymujemy ostatecznie

(3)

Równanie (3) wyraża drugie prawo Keplera.

---