Model ekonometryczny produkcji żarówek

Model ekonometryczny jest to równanie lub układ równań, które w sposób przybliżony przedstawia powiązania ilościowe między zjawiskami ekonomicznymi.

Zjawiska ekonomiczne wyjaśniane przez model - zmienna objaśniana.

Zjawiska ekonomiczne, które oddziałują na zmienną objaśnianą- zmienna objaśniająca.

Podstawowym zadaniem przy budowie modelu ekonometrycznego jest określenie zmiennych objaśniających. Należy wybierać takie czynniki, które moją istotny wpływ na kształtowanie się badanego zjawiska. Zmienne te będą nazywane zbiorem potencjalnych zmiennych objaśniających.

Podstawowym warunkiem, aby dana zmienna mogła być uznana za objaśniającą w modelu, jest jej wystarczające zróżnicowanie. Zmienne objaśniające nie mogą być zmiennymi, których poszczególne obserwacje nie różnią się między sobą. Nie jest to wtedy już zmienna, lecz jest to stała (bądź quasi-stała). Do mierzenia poziomu zróżnicowania najczęściej wykorzystuje się klasyczny współczynnik zmienności.

W latach 1975-2003 w firmie PHILIPS analizowano produkcję żarówek (zmienna Y) mierzoną w tys. zł i przeprowadzono obserwacje dodatkowych 5 zmiennych:
X1 - zatrudnienie, w osobach X2 - wartość maszyn i urządzeń, w tys. zł. X3 - czas przestoju maszyn, w dniach X4 - nakłady inwestycyjne, w tys. zł. X5 - wydajność pracy, w tys. zł. na osobę
Rok	y	x1	x2	x3	x4	x5
1975	1,50	9,00	0,60	12,00	0,13	0,13
1976	1,50	9,00	1,00	12,00	0,13	0,13
1977	1,60	10,00	1,00	15,00	0,13	0,14
1978	1,60	10,00	1,40	15,00	0,14	0,14
1979	2,00	10,00	1,00	16,00	0,13	0,16
1980	1,60	11,00	1,00	21,00	0,13	0,15
1981	2,00	11,00	1,00	21,00	0,13	0,14
1982	2,00	14,00	1,40	21,00	0,13	0,16
1983	2,00	14,00	1,40	21,00	0,13	0,16
1984	2,20	14,00	1,60	20,00	0,12	0,16
1985	2,25	16,00	1,60	20,00	0,15	0,16
1986	2,35	16,00	1,60	19,00	0,21	0,16
1987	2,35	16,00	2,00	18,00	0,21	0,16
1988	2,45	18,00	2,00	20,00	0,22	0,15
1989	2,50	18,00	2,00	17,00	0,22	0,15
1990	2,60	18,00	2,00	16,00	0,22	0,15
1991	2,50	18,00	2,10	16,00	0,22	0,17
1992	2,55	17,00	2,10	15,00	0,21	0,18
1993	2,60	17,00	2,03	16,00	0,21	0,18
1994	2,65	14,00	1,98	17,00	0,21	0,19
1995	2,70	14,00	2,00	21,00	0,21	0,22
1996	2,85	14,00	2,00	25,00	0,20	0,22
1997	2,80	14,00	1,96	21,00	0,20	0,22
1998	2,95	14,00	1,95	21,00	0,20	0,23
1999	3,00	12,00	1,95	20,00	0,23	0,25
2000	3,20	14,00	1,95	20,00	0,24	0,24
2001	2,97	15,00	1,93	21,00	0,24	0,23
2002	2,85	15,00	1,93	18,00	0,24	0,20
średnia	2,36	14,00	1,66	18,39	0,18	0,18

1. Dobór zmiennych do modelu.

Dobierając zmienne objaśniające do modelu kierujemy się względami merytorycznymi oraz formalnymi :

a) wszystkie z zaproponowanych zmiennych x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ są dobre pod względem merytorycznym.

b) kryterium formalne - współczynnik zmienności : zmienne objaśniające powinny charakteryzować się odpowiednią wysoką zmiennością.

Sprawdzamy współczynniki zmienności - V V = Si : xśr. * 100% Odchylenie standardowe - Sx Si = pierwiastek 1 : n * suma (xi - xśr)^2
x1-x1śr	x2-x2śr	x3-x3śr	x4-x4śr	x5-x5śr	(x1-x1śr)^2	(x2-x2śr)^2	(x3-x3śr)^2	(x4-x4śr)^2	(x5-x5śr)^2
-5,00	-1,06	-6,39	-0,05	-0,05	25	1,1236	40,8321	0,0025	0,0025
-5,00	-0,66	-6,39	-0,05	-0,05	25	0,4356	40,8321	0,0025	0,0025
-4,00	-0,66	-3,39	-0,05	-0,04	16	0,4356	11,4921	0,0025	0,0016
-4,00	-0,26	-3,39	-0,04	-0,04	16	0,0676	11,4921	0,0016	0,0016
-4,00	-0,66	-2,39	-0,05	-0,02	16	0,4356	5,7121	0,0025	0,0004
-3,00	-0,66	2,61	-0,05	-0,03	9	0,4356	6,8121	0,0025	0,0009
-3,00	-0,66	2,61	-0,05	-0,04	9	0,4356	6,8121	0,0025	0,0016
0,00	-0,26	2,61	-0,05	-0,02	0	0,0676	6,8121	0,0025	0,0004
0,00	-0,26	2,61	-0,05	-0,02	0	0,0676	6,8121	0,0025	0,0004
0,00	-0,06	1,61	-0,06	-0,02	0	0,0036	2,5921	0,0036	0,0004
2,00	-0,06	1,61	-0,03	-0,02	4	0,0036	2,5921	0,0009	0,0004
2,00	-0,06	0,61	0,03	-0,02	4	0,0036	0,3721	0,0009	0,0004
2,00	0,34	-0,39	0,03	-0,02	4	0,1156	0,1521	0,0009	0,0004
4,00	0,34	1,61	0,04	-0,03	16	0,1156	2,5921	0,0016	0,0009
4,00	0,34	-1,39	0,04	-0,03	16	0,1156	1,9321	0,0016	0,0009
4,00	0,34	-2,39	0,04	-0,03	16	0,1156	5,7121	0,0016	0,0009
4,00	0,44	-2,39	0,04	-0,01	16	0,1936	5,7121	0,0016	0,0009
3,00	0,44	-3,39	0,03	0,00	9	0,1936	11,4921	0,0009	0,0000
3,00	0,37	-2,39	0,03	0,00	9	0,1369	5,7121	0,0009	0,0000
0,00	0,32	-1,39	0,03	0,01	0	0,1024	1,9321	0,0009	0,0001
0,00	0,34	2,61	0,03	0,04	0	0,1156	6,8121	0,0009	0,0016
0,00	0,34	6,61	0,02	0,04	0	0,1156	43,6921	0,0004	0,0016
0,00	0,30	2,61	0,02	0,04	0	0,09	6,8121	0,0004	0,0016
0,00	0,29	2,61	0,02	0,05	0	0,0841	6,8121	0,0004	0,0025
-2,00	0,29	1,61	0,05	0,07	4	0,0841	2,5921	0,0025	0,0049
0,00	0,29	1,61	0,06	0,06	0	0,0841	2,5921	0,0036	0,0036
1,00	0,27	2,61	0,06	0,05	1	0,0729	6,8121	0,0036	0,0025
1,00	0,27	-0,39	0,06	0,02	1	0,0729	0,1521	0,0036	0,0004
suma:					216,00	5,3234	254,6788	0,0524	0,035901

Wyniki:			Przyjmujemy wartość krytyczną dla V* = 20%
Sx1 = 2,78 Sx2= 0,44 Sx3= 3,02 Sx4= 0,04 Sx5= 0,04			V1 = 19,84% V2 = 26,27% V3 = 16,40% V4 = 23,57% V5 = 20,34%

Jeżeli wartość obliczona V jest większa od V* wartości krytycznej to stwierdzamy, że dana

zmienna charakteryzuje się odpowiednio dużą zmiennością. Może ona stać się zmienna objaśniającą w modelu.

Do modelu powinny więc wejść zmienne x₂, x₄, x₅ , ponieważ wykazują wysoką zmienność.

Współczynniki korelacji zmienne objaśniające powinny być silnie skorelowane ze zmienna objaśnianą oraz możliwie słabo skorelowane pomiędzy sobą.

	y	x1	x2	x3	x4	x5
y	1,000	0,600	0,865	0,480	0,868	0,862
x1	0,600	1,000	0,812	0,222	0,674	0,190
x2	0,865	0,812	1,000	0,329	0,862	0,624
x3	0,480	0,222	0,329	1,000	0,173	0,543
x4	0,868	0,674	0,862	0,173	1,000	0,647
x5	0,862	0,190	0,624	0,543	0,647	1,000

Do modelu wejdą x₂ i x₅ ponieważ wykazują silną korelację ze zmienną objaśnianą.

Zmienna x₄ wykazuje silną korelację ze zmienną objaśnianą, ale też ze zmienną objaśniającą x₁ i dlatego nie może wejść do modelu.

x2	x5	x0
0,60	0,13	1,00
1,00	0,13	1,00
1,00	0,14	1,00
1,40	0,14	1,00
1,00	0,16	1,00
1,00	0,15	1,00
1,00	0,14	1,00
1,40	0,16	1,00
1,40	0,16	1,00
1,60	0,16	1,00
1,60	0,16	1,00
1,60	0,16	1,00
2,00	0,16	1,00
2,00	0,15	1,00
2,00	0,15	1,00
2,00	0,15	1,00
2,10	0,17	1,00
2,10	0,18	1,00
2,03	0,18	1,00
1,98	0,19	1,00
2,00	0,22	1,00
2,00	0,22	1,00
1,96	0,22	1,00
1,95	0,23	1,00
1,95	0,25	1,00
1,95	0,24	1,00
1,93	0,23	1,00
1,93	0,20	1,00

Model będzie miał postać : y = a₀ + a₁x₂ + a₂x₅

Poszukujemy wartości parametrów a ze wzoru : a = ( x^Ty)(xTx) ^-1

Macierz transponowana x^T

0,60	1,00	1,00	1,40	1,00	1,00	1,00	1,40	1,40	1,60	1,60	1,60	2,00	2,00	2,00	2,00	2,10	2,10	2,03	1,98	2,00	2,00	1,96	1,95	1,95	1,95	1,93	1,93
0,13	0,13	0,14	0,14	0,16	0,15	0,14	0,16	0,16	0,16	0,16	0,16	0,16	0,15	0,15	0,15	0,17	0,18	0,18	0,19	0,22	0,22	0,22	0,23	0,25	0,24	0,23	0,20
1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00

Iloczyn macierzy transponowanej x^T i macierzy X jest macierzą o wymiarach 3 x 3 postaci:

82,4802	8,4517	46,48
8,4517	0,9027	4,93
46,48	4,93	28

Macierz odwrotna :

0,3073924	-2,375411	-0,092029
-2,375411	47,201439	-4,367642
-0,092029	-4,367642	0,9574998

Iloczyn macierzy X^T oraz wektora Y jest postaci :

114,9131

12,0566

66,12

W wyniku pomnożenia macierzy (x^Tx)^-1 przez wektor x^Ty otrzymujemy wektor ocen parametrów strukturalnych szacowanego modelu:

a1	0,60
a2	7,33
a0	0,08

Model ma postać : y = 0,08 + 0,60x₂ + 7,33x₅

Interpretacja modelu jest następująca :

• parametr a₁ = 0,60 oznacza, że wzrost wartości maszyn i urządzeń o jeden tysiąc powoduje przeciętny wzrost produkcji o 0,60 tysiąca złotych przy założeniu, że wydajność pracy nie ulega zmianie.

• parametr a₂ = 7,33 oznacza ,że wzrost wydajności pracy o jeden tysiąc złotych na osobę powoduje przeciętny wzrost produkcji o 7,33 tys. złotych przy założeniu, że wartość maszyn i urządzeń nie ulegnie zmianie.

2. Weryfikacja modelu.

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych

a) współczynnik zbieżności - przyjmuje wartości z przedziału (0, 1); wartości bliskie 0-ru świadczą o dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych, wartości bliskie 1-ki o złym dopasowaniu.

Wyliczenia:

Rok	y	x2	x5	yteor.	et=y-yteor.	et^2=y-yteor.	y-yśr	(y-yśr)^2
1971	1,50	0,60	0,13	1,39	0,11	0,01147	-0,86	0,7396
1972	1,50	1,00	0,13	1,63	-0,13	0,01766	-0,86	0,7396
1973	1,60	1,00	0,14	1,71	-0,11	0,01128	-0,76	0,5776
1974	1,60	1,40	0,14	1,95	-0,35	0,11985	-0,76	0,5776
1975	2,00	1,00	0,16	1,85	0,15	0,02167	-0,36	0,1296
1976	1,60	1,00	0,15	1,78	-0,18	0,03222	-0,76	0,5776
1977	2,00	1,00	0,14	1,71	0,29	0,08632	-0,36	0,1296
1978	2,00	1,40	0,16	2,09	-0,09	0,00861	-0,36	0,1296
1979	2,00	1,40	0,16	2,09	-0,09	0,00861	-0,36	0,1296
1980	2,20	1,60	0,16	2,21	-0,01	0,00016	-0,16	0,0256
1981	2,25	1,60	0,16	2,21	0,04	0,00138	-0,11	0,0121
1982	2,35	1,60	0,16	2,21	0,14	0,01882	-0,01	0,0001
1983	2,35	2,00	0,16	2,45	-0,10	0,01057	-0,01	0,0001
1984	2,45	2,00	0,15	2,38	0,07	0,00497	0,09	0,0081
1985	2,50	2,00	0,15	2,38	0,12	0,01452	0,14	0,0196
1986	2,60	2,00	0,15	2,38	0,22	0,04862	0,24	0,0576
1987	2,50	2,10	0,17	2,59	-0,09	0,00741	0,14	0,0196
1988	2,55	2,10	0,18	2,66	-0,11	0,01197	0,19	0,0361
1989	2,60	2,03	0,18	2,62	-0,02	0,00030	0,24	0,0576
1990	2,65	1,98	0,19	2,66	-0,01	0,00011	0,29	0,0841
1991	2,70	2,00	0,22	2,89	-0,19	0,03709	0,34	0,1156
1992	2,85	2,00	0,22	2,89	-0,04	0,00181	0,49	0,2401
1993	2,80	1,96	0,22	2,87	-0,07	0,00471	0,44	0,1936
1994	2,95	1,95	0,23	2,94	0,01	0,00020	0,59	0,3481
1995	3,00	1,95	0,25	3,08	-0,08	0,00681	0,64	0,4096
1996	3,20	1,95	0,24	3,01	0,19	0,03640	0,84	0,7056
1997	2,97	1,93	0,23	2,92	0,05	0,00213	0,61	0,3721
1998	2,85	1,93	0,20	2,70	0,15	0,02132	0,49	0,2401
Średnia:	2,36				suma	0,54701	suma	6,6758

współczynnik zbieżności = suma et^2 : suma (yt-yśr)^2 = 0,081939

Współczynnik przyjmuje wartości bliskie 0-ru, co świadczy o dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

b) współczynnik determinacji również przyjmuje wartości z przedziału (0, 1); im bliższy 1-ki, tym dopasowanie modelu do danych empirycznych jest lepsze.

współczynnik determinacji = 1 - współczynnik zbieżności = 0,918061

Można stwierdzić, iż model wyjaśnia zmienną w 91,8 %, a nie wyjaśnia tylko w 0,82 %.

3. Badanie istotność parametrów strukturalnych.

Badamy istotność parametrów strukturalnych za pomocą testów:

a) t- Studenta

b) Fishera

Test T-Studenta

przyjmujemy poziom istotności 0,05

Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy wartość krytyczną t* dla poziomu istotności 0,05 oraz

stopni swobody (n - m - 1) równego 25.

t_i = a_i : pierwiastek D²(a_i)

t₂ = a_x2/pierw D²(a_x2) = 7,32109

t₅ = a_x5/pierw D²(a_x5) = 7,186275

Wartość krytyczna t* = 2,06

It₁I jest większe od t*

It₂I jest większe od t*

Obie zmienne muszą w modelu pozostać, ponieważ mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą.

Test Fishera

Z tablic F. Snedecora odczytujemy wartość krytyczną F* dla n₁ = m i n₂ = n - m - 1

F= (R^2:1-R²) [(n-m-1) : m] = 140,0517

Wartość krytyczna F* = 3,38

F jest większe od F*

Jak widzimy F jest większe od F* co oznacza, że przynajmniej jedna ze zmiennych objaśniających istotnie wpływa na zmienną objaśnianą.

Zmienne powinny zostać w modelu.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

x^Tx =

(x^Tx)^-1 =

x^TY =

( x^Ty)(x^Tx)^-1 =

---