2. < iloczyn skalarny wektorów > nie jest działaniem wewnętrznym oraz nie jest działaniem zewnętrznym.

Niech

,

,

! Wówczas:

czyli

Stąd powyższe działanie
nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze Rⁿ.

!! Z powyższego wynika także, że: działanie
zwane iloczynem skalarnym wektorów nie jest działaniem zewnętrznym.

Przykłady podstawowych struktur algebraicznych:

1) półgrupa;

2) grupa, podgrupa;

3) pierścień;

4) ciało (definicja, przykłady, pewne twierdzenia);

5) ciało liczb rzeczywistych oraz ciało liczb zespolonych.

Def. Zbiór A z określonym w nim działaniem wewnętrznym
nazywamy półgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
jest działaniem łącznym w zbiorze A.

(A,
) jest półgrupą

1)
jest działaniem wewnętrznym w zbiorze A,

2)
jest działaniem łącznym w zbiorze A.

Przykłady i kontrprzykłady półgrup

• (N,+) , (R,+) , (2^x,U)-przykłady półgrup (sprawdź!),

• (R,
  ),gdzie x
  y=
  dla x,y∈R, nie jest półgrupą.

(sprawdź!).

Def. A≠∅ ;
: A
A→A

(A,
) jest grupą

1)
jest działaniem wewnętrznym w zbiorze A;

2)
jest łączne w zbiorze A;

3) istnieje element e∈A będący elementem neutralnym ze względu na działanie
;

4) dla dowolnego a∈A istnieje inwers a*∈A ze względu na działanie
.

Stąd (A,
) jest grupą

1)

(a
b=c);

2)
[a
(b
c) = (a
b)
c];

3)

(e
a = a
e = a);

4)

(a
a* = a*
a = e).

Pojęcie grupy przemiennej (abelowej)

(A,
) jest grupą przemienną (abelową)

1. (A,
   )jest grupą;

2. 
   jest działaniem przemiennym w zbiorze A.

Stąd: każda grupa abelowa jest grupą (ale nie odwrotnie!)

Przykłady grup:

1. (Z, +) -grupa (grupa abelowa)

e=0 , a* = -a

2. (Z ,
   ) -nie jest grupą

3. (W*,
   
   -grupa abelowa, W* = W \ {0} , e=1 , a* =
   

4. (W₊,
   
   -grupa abelowa

5. ({0},+),({1},
   )-trywialne grupy(także grupy abelowe).

6. Wśród grup wyróżniamy grupy skończone oraz nieskończone, oto ich przykłady:

grupa skończona	grupa nieskończona
({-1; 1}, )	(Z,+)-addytywna grupa liczb całkowitych
Grupa czwórkowa Kleina	(X, )-grupa funkcji liniowych z działaniem składania funkcji (zobacz:przykład 8)

7.Grupa czwórkowa Kleina(grupa Kleina rzędu 4).

	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

• 
  jest działaniem wewnętrznym w A= {a,b,c,e} ;

• e- element neutralny ze względu na
  ;

• każdy element jest swoim inwersem ze względu na działanie wewnętrzne
  .

8.(X,
), gdzie X jest zbiorem funkcji postaci:

f(x) = ax+b dla x∈R ; a≠0 ; a,b∈R,

zaś ”
” jest składaniem funkcji tej postaci.

To jest grupa nieskończona, ale nie jest to grupa

abelowa (sprawdź!)

Rozwiązać samodzielnie poniższe zadania:

Zad 1. Niech R* = R\{0} oraz dla(a,b) ,(c,d) ∈R*
R:

(a,b)
(c,d)
(ac,ad+b).

1) Obliczyć (3,1)
(2,5).

2) Sprawdzić, czy działanie
jest przemienne (łączne)

w zb. R*
R?

3) Sprawdzić, czy (1,1) jest elementem neutralnym działania
w zb. R*
R?

4) Znaleźć element neutralny ze względu na działanie
.

5) Znaleźć inwers elementu (1,2) oraz (a,b),

a≠0 ze względu na działanie
w zbiorze R*
R.

6) Sformułować wniosek dotyczący struktury algebraicznej zbioru R*
R z działaniem
.

Zad 2. Niech C_m = {0,1,2,..,m-1} oraz x +_my = r ,

dla x,y∈C_m , zaś r jest resztą z dzielenia x+y przez m

(”+_m” zwane jest dodawaniem modulo m, gdzie m jest ustaloną liczbą naturalną).

1. Sprawdź, czy (C_m ,+_m) jest grupą (grupą abelową)?

2. Zdefiniuj mnożenie modulo m oznaczając je
   _m

i sprawdź, czy (C_m ,
_m) jest grupą (grupą abelową)?

Def. Niech (G,
) -grupa ; ∅ ≠ H⊂ G

(H,
)nazywamy podgrupą grupy (G,
) wtw, gdy:

1)H⊂ G
2) (H,
) jest grupą.

Przykłady podgrup danej grupy:

(R,+)-grupa addytywna liczb rzeczywistych;

Sprawdź, że:

(Zp,+),(Z,+),(W,+) są podgrupami grupy (R,+), przy czym Zp oznacza zbiór liczb całkowitych parzystych.

Izomorfizm i homomorfizm grup

Def. Niech (G,
),(H,ð ) będą grupami.

Przekształcenie f grupy (G,
) w grupę (H,) nazywamy izomorfizmem grup (bądź krótko izomorfizmem)wtw,gdy:

1. f jest bijekcją zb.G w zb.H ,

2. 
   [f(x
   y) = f(x)ð f(y)].

Wówczas mówimy, że grupy (G,
) i (H,)

są izomorficzne.

Np. (R,+) i (R₊,
) są grupami izomorficznymi, bo istnieje funkcja f: R→R₊
f(x)=3^x dla x∈R taka, że:

• f jest bijekcją zb. R w R₊ ;

• f(x+y) = f(x)
  f(y), dla x,y∈R.

Sprawdź to! Podać inne izomorfizmy tych grup!.

Def. Przekształcenia f grupy (G,
)w grupę (H,ð) nazywamy homomorfizmem wtedy i tylko wtedy , gdy:

1. f: G→H, 2)
   [f(x
   y) = f(x)ð f(y)].

Wówczas mówimy, że grupy (G,
) i (H,ð )

są homomorficzne.

Uwaga! Oczywiście każdy izomorfizm grup jest homomorfizmem tych grup (twierdzenie odwrotne jest fałszywe!)

Np. (Z,+) , (R₊,
)- są to na przykład grupy homomorficzne, a tym homomorfizmem jest funkcja f(x)=3^x dla x∈Z. Sprawdź to!

Jądro homomorfizmu, obraz homomorfizmu

Def. Jądrem homomorfizmu f nazywamy zbiór ker f określony następująco:

ker f
{x∈G: f ^-1({e'})=x},gdzie f jest homomorfizmem grup (G,
) i (H,ð ), e∈G
e'∈H są elementami neutralnymi.

Stąd: ker f = {x∈G: f(x)=e'}.

Def. Obrazem homomorfizmu f nazywamy zbiór Imf określony następująco:

Imf
{b∈H:
b = f(a)}

Przykład: Niech f(x)=2^x dla x∈Z będzie homomorfizmem grup (Z,+) i (R₊,
).

Wyznaczyć: kerf oraz Imf.

Wiadomo, że w grupie (Z,+) element neutralny e=0, zaś w grupie (R₊,
) element neutralny e'=1. Stąd:

• ker f ={x∈Z: f ^-1{1}=x}={x∈Z: f(x)=1}={x∈Z: 2^x =1}={0};

czyli ker f ={0}.

• Imf = {b∈R₊:
  (b=f(a)} ={b∈R₊:
  (b=2^a)}.

Przygotować samodzielnie rozwiązania poniższych zadań:

Zad1.

Niech h(x)=
; zaś H(x)=
.

Sprawdzić, czy h oraz H jest homomorfizmem grupy (Z₈ ,+₈) w grupę (Z₄ ,+₄), gdzie Z₈ jest zbiorem reszt dzielenia liczb całkowitych przez 8, zaś Z₄ jest zbiorem reszt dzielenia liczb całkowitych przez 4.

Odpowiedź: NIE dla h, Tak dla H.(Wykazać to!)

Zad2.Wykazać,że: na to by homomorfizm f był izomorfizmem potrzeba i wystarcza, by ker f był zbiorem jednoelementowym, gdzie f jest homomorfizmem grup (G,
) i (H,).

Zad3.Niech G będzie grupą przekształceń zb.R na siebie postaci: f_a(x)=ax dla x∈R
a≠0, z działaniem składania.

1. Wykazać, że odwzorowanie H: f(a)→a dla f_a∈G jest homomorfizmem grupy (G,
   ) w grupę (R\{0},
   ).

A czy H jest izomorfizmem tych grup? Odpowiedź uzasadnić.

2. Wyznaczyć: ker H oraz Im H.

Pierścień

Def. Pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zb.X i określonych w nim dwóch działań wewnętrznych⊕,⊙ które spełniają następujące warunki:

1. (X,⊕) jest grupą przemienną, przy czym: ⊕nazywamy dodawaniem, element neutralny w zb.X ze względu na ⊕ nazywamy zerem pierścienia i oznaczamy 0,

zaś inwers elementu a ze względu na ⊕ oznaczamy −a i nazywamy elementem przeciwnym do a;

(2) działanie ⊙ jest łączne i rozdzielne względem ⊕, przy czym działanie ⊙ nazywamy mnożeniem.

Przykłady i kontrprzykłady pierścieni:

- (Z,+,
)-pierścień liczb całkowitych;

-(Z(
),+,
)-pierścień, gdzie Z(
)={a+b
; a,b∈Z};

-(N,+,
) -nie jest pierścieniem.

• Pierścień (X,⊕,⊙) nazywamy unitarnym,

gdy działanie ⊙ posiada element neutralny, który oznaczamy 1 i nazywamy jednością pierścienia.

• Pierścień (X,⊕,⊙) nazywamy przemiennym,

gdy działanie ⊙ jest przemienne.

Ćwiczenie: Podać przykłady pierścieni unitarnych (przemiennych).

Tw. Jeśli pierścień (X,⊕,⊙) liczy więcej niż jeden element, to elementy neutralne (jednostkowe) względem dodawania ⊕ i mnożenia ⊙ są między sobą różne, czyli 1≠0, gdzie: 0-zero danego pierścienia,1-jedność danego pierścienia

Dowód nie wprost:(podaj!)

Przykład: (X,+,
) -pierścień funkcji rzeczywistych, gdzie:

X = {f; f: A→R} , A≠∅ oraz (f+g)(x) = f(x)+g(x) dla x∈A,

(f
g)(x) = f(x)
g(x) dla x∈A;f,g∈X .

Oczywistym jest tutaj, że:

- ”0” : f(x)
0 dla x∈A -zero tego pierścienia;

- ”1” : f(x)
1 dla x∈A -jedynka tego pierścienia;

- spełnione są warunki definicji pierscienia (sprawdź!).

Ćwiczenie 1: Analogicznie (jak dla grup) zdefiniować następujące pojęcia:

1) podpierścień pierścienia (X,⊕,⊙),

2) homomorfizm (izomorfizm) pierścieni.

Ćwiczenie 2: Podać przykład (kontrprzykład) homomorfizmu pierścieni.

---