5. Miary asymetrii rozkładu empirycznego.

Mówimy, że rozkład empiryczny cechy skokowej
jest symetryczny, jeżeli każdej wartości cechy
odpowiada wartość
taka, że

oraz
.

Rozkład empiryczny jest więc symetryczny, jeżeli liczebności (częstości) dla wartości jednakowo odległych (poniżej i powyżej) środka symetrii, jakim jest średnia wartość cechy. W przeciwnym przypadku mówimy, że rozkład jest asymetryczny (niesymetryczny).

Powyższy warunek symetrii jest uciążliwy do sprawdzenia, jeżeli mamy rozkład o dużej liczebności. Innym warunek symetrii rozkładu jest następujący

,

czyli warunek aby średnia wartość cechy była jednocześnie wartością środkową i wartością dominującą.

Jeżeli

,

przy czym co najmniej jedna z tych nierówności jest "ostra", to mówimy o asymetrii lewostronnej (ujemnej).

Jeżeli

,

przy czym co najmniej jedna z tych nierówności jest "ostra", to mówimy o asymetrii prawostronnej (dodatniej).

W przypadku cechy ciągłej sytuacja nieco się komplikuje. Bezpośrednie badanie asymetrii rozkładu z danych indywidualnych jest możliwe tylko w przypadku bardzo małych prób. Jeśli mamy szereg rozdzielczy cechy ciągłej, to definicję symetrii rozkładu należy zmodyfikować.

Mówimy, że rozkład cechy empiryczny cechy ciągłej
jest symetryczny, jeżeli

oraz
,

gdzie:

- numer przedziału
,

- numer przedziału
,

- środek p-tego przedziału,

- środek q-tego przedziału,

- liczebność p-tego przedziału,

- liczebność q-tego przedziału.

Przykład rozkładu symetrycznego:

2 - 4	3	2
4 - 6	5	3
6 - 8	7	10
8 - 10	9	3
10 - 12	11	2
	*	20

Mamy

.

Z powyższej tabeli wynika, że warunki definicji są spełnione. Ponadto, zauważmy, że

oraz

czyli

.

Problem powstaje w następującym przypadku

2 - 4	3	2
4 - 6	5	3
6 - 8	7	5
8 - 10	9	5
10 - 12	11	3
12 - 14	13	2
	*	20

Mamy

Z tabeli wynika, że warunki definicji są spełnione. Nie można niestety w tym przypadku obliczyć ani mediany ani dominanty.

Reasumując, należy stwierdzić, że rozkłady symetryczne zdarzają się bardzo rzadko. W statystyce chodzi nam głownie o podanie miary asymetrii układu. Jednym z parametrów, który można tu zastosować jest klasyczny współczynnik asymetrii, określany dla cechy (skokowej lub ciągłej)
wzorem

Jeśli
, to rozkład jest symetryczny, jeśli
, to rozkład jest prawostronnie asymetryczny, a jeśli
, to rozkład jest lewostronnie asymetryczny.

Obliczymy klasyczny współczynnik asymetrii w przypadku badania stażu i wydajności pracy:

- staż pracy (w latach)

oznacza to, że staż pracy charakteryzuje się słabą asymetrią prawostronną.

- wydajność pracy (w sztukach)

co oznacza , że wydajność pracy charakteryzuje się średnią asymetrią prawostronną.

Innym parametrem, który można stosować jest pozycyjny współczynnik asymetrii, który określa się wzorem:

.

Jeśli
, to rozkład jest symetryczny, jeśli
, to rozkład jest prawostronnie asymetryczny, a jeśli
, to rozkład jest lewostronnie asymetryczny.

Obliczymy pozycyjny współczynnik asymetrii w przypadku badania stażu i wydajności pracy:

- staż pracy (w latach)

oznacza to, że rozkład stażu pracy w zakresie między kwartylami jest symetryczny.

- wydajność pracy (w sztukach)

co oznacza , że rozkład wydajności pracy w zakresie między kwartylami charakteryzuje się słabą asymetrią prawostronną.

---