II pracownia fizyczna 98 I 13

Jarosław Ledzion

Przewodnictwo cieplne

prowadzący

dr F.Gołek

Wstęp teoretyczny

Wymiana ciepła może zachodzić przez:

• promieniowanie

• przewodnictwo

• prądy konwekcyjne (unoszenie)

Ostatni sposób polega na przenoszeniu ciepła razem z materią. Gęstość ogrzanej cieczy bądź gazu jest na ogół mniejsza niż ich gęstość w temperaturach niższych. Tak więc zgodnie z prawem Archimedesa ogrzana część gazu czy cieczy zostaje wypchnięta ku górze i unosi ze sobą ciepło w ten sposób powstaje prąd konwekcyjny.

Wymiana ciepła przez promieniowanie polega na przemianie energii cieplnej w inny rodzaj energii - energię promieniowania i następnie z energii promieniowania znów w energię cieplną. Każde ciało ogrzane staje się źródłem promieniowania. Długości fal rozkładają się w sposób ciągły od wartości bardzo małych do wartości bardzo dużych. Jednak poniżej temperatury 400⁰C promieniowanie to nie jest widzialne i nazywa się je promieniowaniem cieplnym. Jest to promieniowanie o falach dłuższych, leżących w pod czerwieni.

Przewodnictwo ciepła polega na przekazywaniu energii cieplnej od jednych drobin ciała do drobin sąsiednich. Następuje więc przekazywanie energii kinetycznej ruchu bezładnego cząstek w skutek zderzeń. Prawem opisującym przewodnictwo cieplne jest prawo Fouriera. Mówi ono, że strumień ciepła przepływający w jednostce czasu przez prostopadłą do przepływu powierzchnię jest wprost proporcjonalny do gradientu temperatury na odcinku, na którym przepływ ten zachodzi.

Inaczej mówiąc gęstość strumienia ciepła jest proporcjonalna do gradientu temperatury na odcinku przez który strumień ciepła przepływa.

Przewodnictwo cieplne izolatorów

Proces przewodnictwa zachodzi w ten sposób, że energia wprowadzona z jednego końca ciała rozchodzi się w ciele nie po linii prostej lecz w ten, iż nośniki energii dyfundują przez próbkę ulegając licznym zderzeniom. W przypadku izolatorów wzór na współczynnik przewodnictwa podał Debye opierając się na założeniu o skwantowaniu energii drgań sieci krystalicznej. Kwant tej energii został nazwany fononem, konsekwencją całej teorii był wzór na współczynnik przewodnictwa przyjmujący postać:

gdzie

C-ciepło właściwe fononów

v-prędkość fononów

l-średnia droga swobodna fononów

Tak więc za przenoszenie ciepła w materiałach dielektrycznych odpowiadają drgania sieci i stanowią główny czynnik przenoszący energię cieplną (ze względu np. na brak swobodnych elektronów jak ma to miejsce w metalach). O ile jednak drgania te odpowiedzialne są za przepływ energii stanowią one jednocześnie czynnik utrudniający przepływ ciepła np. poprzez brak zgrania w fazie drgań. Mówi się min. o rozpraszaniu fononów na fononach.

Przewodnictwo cieplne metali

W tym przypadku czynnikiem odpowiedzialnym za przenoszenie ciepła są głównie swobodne elektrony. Wkład przewodnictwa sieci jest niewielki przy czym drgania sieci powodują jeszcze utrudnienia w przenoszeniu energii przez elektrony. W ogólności współczynnik przewodnictwa cieplnego metali jest o rząd większy od współczynnika przewodnictwa w izolatorze.

Właściwości cieplne i elektryczne metali

Jedną z wielkości charakteryzującą powyższe własności jest ciepło właściwe ciał stałych. Mówi ono ile energii trzeba dostarczyć do jednostkowej ilości (np. 1kg czy 1 mola) ciała by spowodować wzrost jego temperatury o jeden stopień. Jest to jednak jedynie opis znaczenia tego parametru jego definicją jest równanie:

gdzie

C_V-ciepło właściwe przy stałej objętości

S-entropia

Prawem opisujący zmianę C_V jest prawo Dulonga-Petita. Mówi ono, iż w temperaturach w pobliżu O⁰C spełnione jest równanie

C_V=3R

Jednak okazało się, że dla niektórych ciał takich jak diament czy miedź ciepło właściwe przyjmuje wartości nieco mniejsze od oczekiwanych. Po dokładniejszych badaniach i przy użyciu tzw. kwantowej teorii ciepła właściwego ciał stałych okazało się, iż C_V zależy od temperatury. Mianowicie w niskich temperaturach (w pobliżu 0K) C_V jest proporcjonalne do T³.

Innymi parametrami ulegającymi zmianie w przypadku zmian temperatury ciała są min.

-opór elektryczny, rośnie w miarę wzrostu temperatury jak

R=R_o(1+αt+βt²)

-wymiary liniowe ciała również wzrastają w sposób analogiczny jak opór elektryczny.

Prawem wiążącym właściwości cieplne i elektryczne ciał stałych jest prawo Wiedemanna-Franza, obowiązujące dla metali w niezbyt niskich temperaturach. Mówi ono, iż stosunek przewodnictwa cieplnego do przewodnictwa elektrycznego jest wprost proporcjonalna do temperatury ciała

Przy czym wartość tej stałej nie zależy od rodzaju metalu.

Sposoby wyznaczania współczynnika przewodnictwa cieplnego

Pierwszym najprostszym teoretycznie sposobem jest przeprowadzenie doświadczenia zgodnie ze schematem jak niżej:

Mierząc temperatury na stykach ciała z grzejnicą i zbiornikiem ciepła oraz znając ilość energii przepływającej przez ciało możemy wyznaczyć współczynnik przewodnictwa. Jednak ta metoda pozornie prosta sprawia problemy podczas mierzenia ilości ciepła doprowadzonego i odebranego z ciała. Dlatego też w rzeczywistych doświadczeniach stosuje się metody trudniejsze teoretycznie jednakże pozwalające w dość prosty sposób wyznaczyć współczynnik przewodnictwa.

Jedną z takich metod jest metoda Angströma . Polega ona na ogrzewaniu jednego końca periodyczną falą cieplną, zaś drugi koniec pręta utrzymywany jest w stałej temperaturze.

Okazuje się, iż mierząc falę ciepła w dwóch punktach oraz znając przesunięcie tych fal w fazie możemy wyznaczyć współczynnik przewodnictwa cieplnego. Metoda ta czasami nazywana jest dynamiczną.

W naszym doświadczeniu używać będziemy tak zwanej metody statycznej(w szczególnej postaci tzw. grzanego prądem druta) polega ona na przepuszczaniu przez badane ciało prądu elektrycznego płynący prąd powoduje wydzielanie się tak zwanego ciepła Joule. Drut zaczyna się nagrzewać, po pewnym czasie ustali się jednak stacjonarny rozkład temperatury z maksimum w środku pręta.

Rozpatrując powierzchnię S odległą o x od środka pręta, to strumień ciepła przepływający przez tę powierzchnię w jednostce czasu wyniesie

Przez taką samą powierzchnię jednak odległą od środka o x+dx wyniesie on

Strumień ciepła Q' równy jest strumieniowi Q pomniejszonemu o straty energii na odcinku dx.

Układając bilans energetyczny otrzymujemy

gdzie

ρ-opór jednostki długości drutu w temperaturze T

J-mechaniczny równoważnik ciepła

p-obwód drutu

h-ilość ciepła oddawana w jednostce czasu otoczeniu przez jednostkę powierzchni drutu, gdy różnica temperatur między drutem i otoczeniem wynosi 1 stopień

T-temperatura otoczenia, stała w czasie

T_o-temperatura odcinka dx

Prowadząc żmudne rachunki otrzymamy wzór na współczynnik przewodnictwa

gdzie

gdyż

co ostatecznie daje formułę

gdzie L=2l całkowita długość druta

Cześć doświadczalna

Doświadczenie polegało na znalezieniu współczynnika przewodnictwa cieplnego dla miedzi i molibdenu wykorzystując do tego metodę grzanego prądem drutu. Pierwszą czynnością doświadczenia było zmontowanie układu elektrycznego według schematu znajdującego się w instrukcji ćwiczenia. Następnie mierzono przy użyciu woltomierza cyfrowego napięcie na oporze wzorcowym i próbce przy różnych natężeniach prądu płynącego przez układ. Przy czym pomiar napięcia na próbce trwał do czasu uzyskania w niej stabilnego przepływu ciepła (trwało to około 3-5min). Dzięki znajomości napięcia na oporze wzorcowym, można wyznaczyć było natężenie prądu płynącego przez próbkę. Znając zaś prąd i napięcie na próbce znaleźć możemy z prawa Ohma opór drutu. Kreśląc teraz zależność oporu próbki od natężenia prądu, możemy dzięki ekstrapolacji wykresu do przecięcia się z osią oporu przy i=0A, znaleźć opór próbki w temperaturze jaka panowała w pracowni. Następnie dla każdej wartości oporu próbki (gdy zmienialiśmy prąd płynący przez próbkę) obliczyć możemy współczynnik przewodnictwa cieplnego drutu. Kreśląc teraz wykres zależności tego współczynnika od natężenia prądu za wartość współczynnika przewodnictwa przyjmujemy tę wartość dla której współczynnik ten nie zależy od prądu przepływającego przez próbkę.

Miedź

Początkowe błędy wynikają z faktu, iż przy małych różnicach R-R_o błąd λ dąży do nieskończoności, tak więc pierwsze wartości λ na wykresie λ(i) należy opuścić, ze względu na zbyt małą dokładność. Pod koniec serii widać, że wartość λ nie zależy w zasadzie od natężenia prądu. Możemy tę wartość określić na około 400 J/(K⋅m⋅s). Według opisu ćwiczenia należało by teraz dla tej części pomiarów wyliczyć błąd metodą najmniejszych kwadratów, jednak liczba punktów jest zbyt mała (od 4 do10), tak wiec ta czynność wydaje się bezsensowna. Lepszym wyjściem będzie chyba oszacowanie błędu wykorzystując do tego min. metodę różniczki zupełnej. Przyjmując błędy

L=(150±1)mm dL=0.6% φ=(0.30±0.05)mm dφ=16.7%

co pociąga błąd pola przekroju drutu dS=33%

Widać więc, iż błąd pomiaru współczynnika przewodnictwa możemy spokojnie przyjąć na co najmniej 40%.

Co przy wartości dokładnej 391 J/(K⋅m⋅s) daje nam wynik do zaakceptowania.

czyli

λ_Cu= (400 ±160) J/(K⋅m⋅s)

Molibden

W tym wypadku również część danych na wykresie λ(i) jest całkowicie nieudana. Tu jednak główny wkład dawał prawdopodobnie błąd związany z uzyskaniem dobrych połączeń w układzie elektrycznym. Prawie nieustannie występowały problemy z brakiem styku w jakimś punkcie układu. Wkład do takiego rozrzutu serii mógł mieć również zasilacz w którym występowały problemy z utrzymywaniem stałego natężenia prądów w układzie. Skończyło się to ostatecznie wymianą zasilacza na inny, który już nie sprawiał takich problemów. Niestety pierwszej serii pomiarów nie udało się powtórzyć z braku czasu. Należało by odczekać by próbka powróciła do temperatury otoczenia, a następnie powtarzać pomiary co 5-10min.. Jednak wykorzystując ostatnie pomiary możemy przyjąć, rozumując jak poprzednio, że

λ_Mo= (200 ±80) J/(K⋅m⋅s)

co przy wartości tablicowej około 144 J/(K⋅m⋅s) jest wartością akceptowalną.

grzejnica

zbiornik

ciepła

chłodnica

badane ciało

grzejnica

T₁

T₂

2l

x

dx

S

---