AKADEMIA TECHNICZNO - ROLNICZA

w BYDGOSZCZY

LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN

ĆWICZENIE NR 3

Temat : Składanie drgań harmonicznych prostopadłych .

Skład grupy :

Paweł Hinc

Andrzej Szymański

grupa B

studium inż

W wielu przypadkach spotykamy się z superpozycją dwóch drgań harmonicznych zachodzących wzdłuż prostych prostopadłych względem siebie . Drganie prostopadłe w wyniku nałożenia się takich

drgań jest drganiem złożonym zachodzącym w płaszczyźnie . Gdy pulsacje obu drgań są takie same i rozchodzą się wzdłuż osi x i y , wtedy :

x = A ₁ cos ( ω t + ϕ ₁)

y = A ₂ cos ( ω t + ϕ ₂ )

Punkt materialny wykonujący oba te drgania jednocześnie , zakreśla na płaszczyźnie pewną krzywą . Równanie tej krzywej można otrzymać po wyeliminowaniu czasu z równań obu drgań . Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy równanie :

Równanie to przedstawia w ogólnym przypadku elipsę .

W przypadku gdy amplitudy drgań składowych są równe A ₁ = A ₂ , a różnica faz Δϕ przyjmuje następujące wartości :

1) Δϕ = 0 . Równanie redukuje się do równania x = y , przedstawiającego prostą . Drganie jest liniowe .

Δ ϕ = Π/4 . Równanie przedstawia elipsę . Punkt obiega elipsę w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara . Jest to drganie eliptyczne lewoskrętne .

Δϕ = Π/2 . Równanie sprowadza się do postaci x ² + y ² =A ² . Punkt porusza się po okręgu w tym kierunku co w przypadku 2 . Jest to drganie kołowe lewoskrętne .

Δϕ = 3Π/4 . Równanie przedstawia elipsę , po której porusza się punkt drgający . Jest to przypadek podobny do przypadku drugiego ; przedstawia drgania eliptyczne lewoskrętne .

Δϕ = Π . Równanie redukuje się do równania x = -y , czyli do równania prostej . Przypadek ten jest podobny do przypadku 1 ; przedstawia drgania liniowe .

Δϕ = 5Π/4 . Równanie drgania jest identyczne jak w przypadku 4, ale punkt obiega elipsę w kierunku zgodnym ze wskazówkami zegara . Jest to drganie eliptyczne prawoskrętne .

Δϕ = 3Π/2 . Drganie jest kołowe , ale prawoskrętne .

Δϕ = 7Π/4 . Drganie jest drganiem eliptycznym prawoskrętnym . Elipsa jest taka sama jak w przypadku 2 .

Δϕ = 2Π . przypadek jest identyczny jak przypadek 1 , tj. gdy Δϕ = 0 ; drganie liniowe .

Uogólnienie powyższych dyskusji na przypadek A ₁ ≠ A ₂ nie nastręcza dużych trudności . Jedyną istotną różnicą jest to , że w przypadku 3 i 7 powyższej dyskusji nie otrzymujemy okręgu , lecz elipsę o pół osiach równych odpowiednio A ₁ = A ₂

Wracając do drgań kołowych , gdy Δϕ = Π/2 . Punkt drgający porusza się po okręgu . Prędkość liniową tego ruchu można obliczyć ze wzorów zakładając , że A ₁ = A ₂ :

V _x = - Aωsin (ωt+ϕ ₁)

V _y = - Aωsin (ωt+ϕ ₁+Π/2 ) = - Aωcos (ωt+ϕ ₁)

V = V_x² + V_y² = Aω

Punkt drgający porusza się po okręgu o promieniu A ze stałą prędkością liniową V , a prędkość kątowa tego ruchu wynosi ω . pulsacja drgania kołowego jest w tym przypadku jest równa prędkości kątowej punktu poruszającego się po okręgu ze stałą prędkością . Między ruchem jednostajnym po okręgu a drganiem harmonicznym zachodzi współzależność polegająca na tym , że rzut ruchu po okręgu na oś x lub oś y daje ( przy różnych fazach Π/2 lub 3Π/2 ) ruch po okręgu ; dlatego właśnie ruch po okręgu nosi nazwę drgania kołowego .

Założenie drgań harmonicznych prostopadłych o różnych pulsacjach daje w wyniku skomplikowane krzywe , zwane krzywymi Lissajous .

Obraz złożonych drgań harmonicznych prostopadłych najprościej można otrzymać za pomocą oscyloskopu .

Grupa krzywych Lissajous uzyskaliśmy w wyniku superpozycji drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach różnych stosunkach częstotliwości ω _x / ω _y i rozmaitych różnicach faz .

AKADEMIA TECHNICZNO - ROLNICZA

w BYDGOSZCZY

LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN

ĆWICZENIE NR 3

Temat : Składanie drgań harmonicznych równoleg łych o różnych częstotliwościach .

Skład grupy :

Marian Duszyński

Bogdan Ligaj

grupa D

studium inż

Szczególnie ważnym dla teorii i praktyki przypadkiem jest superpozycja drgań , których częstotliwości są całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej : inaczej mówiąc pulsacje poszczególnych drgań tworzą odstęp arytmetyczny : ω , 2ω , 3ω , ... , kω ,....

Superpozycja dowolnej ( skończonej lub nieskończonej ) liczby takich drgań o amplitudach A ₁ ,

A ₂ , ... i fazach ϕ ₁ , ϕ ₂ , ... daje w wyniku drgania wypadkowe

x = A ₁ cos (ωt+ϕ ₁) + A ₂ cos ( 2ωt+ϕ ₂ ) + .... = ∑ A _K cos (kωt+ϕ _k)

Drgania składowe nazywamy kolejno pierwszym , drugim itd. drganiem harmonicznym . Pierwsze drganie harmoniczne nazywa się drganiem podstawowym . Okres drgania wypadkowego jest równy okresowi drgania podstawowego .

Zagadnienia przedstawienia dowolnego drgania okresowego jako sumy drgań harmonicznych ujmuje twierdzenie Fouriera , które mówi , że :

Dowolne drgania okresowe x (t) , o okresie T , jest superpozycją drgań harmonicznych i można je wyrazić szeregiem postaci

x =

gdzie ω =

Rozkład drgania okresowego na szereg Fouriera nazywa się analizą Fouriera . Amplituda A _k i B _k poszczególnych składowych harmonicznych są określone wzorami :

A _k =

B _k =

---