LABORATORIUM PODSTAW DYNAMIKI MASZYN

Ćwiczeni nr 1.

Temat : Sumowanie sygnałów harmonicznych, wyświetlanie sumy i jej po -

chodnych względem czasu .

Wykonali :

1. OKTAWIAN KĘDZIERSKI

2. GRZEGORZ MIKOŁAJCZAK

3 . DARIUSZ KOŁODZIEJCZAK

Grupa : G

Studia : inż

Rok : 96 / 97

I. Cel ćwiczenia :

Ćwiczenie to ma na celu poznawanie charakteru ruchu wypadkowego będącego

superpozycją kilku ruchów harmonicznych .

II. Wyjaśnienie składania drgań harmonicznych .

Punkt materialny posiada zdolność wykonywania ruchu lub kilku ruchów harmo-

nicznych jednocześnie , zaś ruch wypadkowy jest superpozycją tych ruchów. Ruch

wypadkowy zależny jest od relacji między częstotliwościami , amplitudami i fazami po-

czątkowymi ruchów składowych .

Na przykład : ruch wypadkowy powstający przez złożenie `' m `' ruchów harmo-

nicznych o tej samej częstotliwości można zapisać w postaci równania :

ωt + ϕ )

W wyniku niewielkich przekształceń , można stwierdzić , że ruch ten jest ruchem

harmonicznym tej samej częstotliwości co ruchy składowe :

x (t) = a _* sin (ωt + ϕ₀ )

Amplituda określona jest wtedy wzorem :

a = ( a_i sin ϕ_i )² + ( a_i cos ϕ_i )

natomiast faza wyrażona jest wzorem :

tg ϕ₀ = a_i sin ϕ_i / a_i cos ϕ_i

Zaś , gdy ruch wypadkowy złożony jest z drgań harmonicznych o różnych częstotli -

woś ciach wtedy równanie ma postać następującą :

x ( t ) = a_i sin ( ω_it + ϕ_i )

Taki wypadkowy ruch nie jest ruchem harmonicznym , więc nie można przedstawić

go w postaci sinusoidy .

Ruch ten w szczególnym przypadku może być ruchem okresowym , wystąpi

to wtedy , gdy częstość drgań składowych są współmierne czyli :

ω₁ / m₁ = ω₂ / m₂ = ... = ωi / m_i

gdzie :

m_i - liczby naturalne 1,2,3,...,n

Okres ruchu wypadkowego można określić wzorem :

T = 2/ ω = m_i T

gdzie :

ω - częstotliwość ruchu wypadkowego

W przypadku , gdy częstość drgań składowych nie są współmierne wówczas drganie

wypadkowe nie jest okresowe .

Gdy dwa drgania o częstościach niewspółmiernych różnią niewiele to:

x₁ ( t ) = a_i sin ( ωt + ϕ )

x ₂ ( t ) = a₂ sin ( ωt + ε )t

gdzie :

ϕ - przesunięcie fazowe

ε - przyrost częstości drgania składowego x₂ ( t ).

W wyniku superpozycji tych drgań otrzymujemy :

x ( t ) = a_i sin ( ωt + ϕ ) + a₂ sin ( ωt + ε )t = ( a_i sin ϕ +

+ a₂ sin ε t cos ωt + ( a_i cos ϕ + a₂ cos ε t ) sin ωt

Wynik powyższego równania można przedstawić :

x ( t ) = A ( t ) sin [ωt + ϕ ( t ) ]

przy czym :

A ( t ) = a₁² + a₂² + 2 a₁ a₂ cos ( ε t - ϕ ) _*

_* tan ϕ ( t ) = a₁ sin ϕ +a₂ sin ε t / a₁ cos ϕ +a₂ cos ε t

W tym ruchu amplituda zmienia się okresowo, a okres zmian wynosi :

T_α = 2π / ε

Amplituda wtedy narasta i maleje zmieniając się w granicach :

A _max =  a₁ + a₂  A _min =  a₁ - a₂ 

Występujące powyższe zjawisko narastania i zmniejszania się amplitudy

nazywa się dudnieniem. Szczególnie zjawisko to zauważalne jest , gdy

a₁ = a₂ co powoduje , że amplituda A _min = 0 . Amplituda zmienia się

między wartością maksymalną , a zerową . Zjawisko to możemy zaobserwować

przy nakładaniu się dwóch dźwięków o niewiele różniących się częstościach .

Wynikiem nakładania się takich dźwięków jest okresowe narastanie i zanika -

nie dźwięku .

---