1. Def DRGANIA- zmiana w czasie jakichkolwiek wielkości fiz zachodzące dookoła pewnego położenia równowagi pod wpływem dostarczonej do ukł en. Podstawowym prawem jest II zasada NEVTONA: jednostronne mx”+p(t)=0, wymuszone: mx”+cx'+kx=P(t). (mx”-bezwł) (mx'-tłumienia) (kx-drgająca) (P(t)-wymuszająca). Drgania losowe nie mają określonego cyklu.
2.Zależności pomiędzy ω,T,f. x=Asinωt[m]-wychylenie T=1/f[s]-okres f-częstotliwość[Hz] ω=2Πf[rad/s]częstość kołowa, T=2Π/ω.
3.Dodawanie ruchów harmonicznych w zależności od ω.
Klasyfikacja:
a) ω1=ω2=ωn gdy wszystkie częstości wirują z ta samą częstościa (wektory są równe) to jest to ruch okresowy i harmoniczny.
b) ω1#ω2#ωn powstaje tuch posuwisty albo okresowy ale nieharmoniczny, albo nieharmoniczny prawie okresowy, albo losowy.
c) ω1~ω2 powstaje dudnienie. T=2Π/ω1-ω2
4.Co to jest DUDNIENIE -nakładają się drgania harmoniczne o niewiele różniących się częstościach. Fale rozchodzące w jednym ośrodku.
A1=A2 sumowanie amplitud największe dudnienie.
180wygaszanie zanik dudnienia.
Drgania złożone=dudnienie zał: A1=A2 drgania składowe x1=Cos(ω+Δω)t, x2=Cos(ω-Δω)t, drgania wypadkowe x=x1+x2.
5.Sprężyny położone szeregowo(/): fz=f1+f2, p=p1+p2, p/k=p1/k1+p2/k2 => 1/k=1/k1+1/k2. (1/k12=1/k1+1/k2=k1+k2/k1•k2)
6.spr położone równolegle(+): fz=f1+f2, p=p1+p2, k•f=k1f1+k2f2, k=k1+k2.
7.Obliczyć częstość drgań dla różnych przypadków położenia sprężyn: kz23=k2+k3, 1/k123=1/k1+1/kz23=1/k1+1/(k2+k3)=[k1+(k2+k3)]/[k1•(k2+3)], k123=[k1•(k2+3)]/[k1+(k2+k3)].
8.Określić wszystkie jednostki: mx”+cx'+kx=Psinωt. C=[N•s/m]=(kg•m•s)/(s2•m)=[kg/s], [kg•(m/s2)]+[m/s•kg/s]+[N/m•m]=N
9.Co to jest rezonans-wykres. Gdy siła wymuszajaca działa na drgające ciało z odpowiednią częstotliwościa, to amplituda drgań tego ciała może osiągnąć bardzo dużą wielkość nawet przy niewielkiej wartości siły wymuszającej. Gdy ω=ω0 częstość siły wymuszającej równa się czestości drgań własnych.
10.Podziął drgań: a)mx”+kx=0, b)mx”+cx'+kx=0, c)mx”+kx+Psinωt, d)mx”+cx'+kx=Psinωt
a) drgania swobodne nietłumione, model teoretyczny tych drgań to oscylator harmoniczny.
b)Dr swobodne tłumione
c)Dr wymuszone nietłumione Bsinωt. ωo2=k/m.
d)Dr wymuszone tłumione: x=α•Peiωt,
11.Częstość dr swobodnych nie tłumionych (tłumionych)
a) nie tłumione: rów ruchu mx”+kx=0/m, x=Acosωot+Boso, ωo2=k/m, x”+(k/m)x=0, x”+ωo2x=0, ωo=√k/m). ωo=2Πf, f=1/T, T=2Π/ωo
b)tłumione mx”+cx'+kx=0, {Ax”+Bx'+Cx=0, x=a0eλt, gdzie a0=col(ak0), k=1,2, ak0, λ-są stałymi,w ogólnym przypadku liczbami zespolonymi. Dalej otrzymujemy (Aλ2+Bλ+C)a0=0, częstości własne det(Aλ2Bλ+C)=0, λi=μi+jω*i, λi= μi-jω*i, gdzie μi-to stałe określające prędkość zanikania i-tego wrktora własnego i-tej postaci drgań, ω*i-i-ta część drgań własnych tłumionych, j=√-1)jednostka urojona.
12.Tłumienie krytyczne: h=ω, h=c/2m, Ckr/2m=√k/m), C2kr/4m2=k/m, C2kr=(4m2k)/m, C2kr=4mk, Ckr=2√mk).
13.Ruch swobodny nie tłumiony dla różnych warunków początkowych. x”+ωox'=0, x=Asinωot+Bcosωot, ωo=√k/m) prędkość x'=Aωocosωot-Bωosinωot,
a) t=0, x=xo, x'=0,> xo=B, A=0, rozwiązanie x=xocosωot
b)t=0, x=0 x'=Vo,> B=0, Vo=Aωo+0, A=Vo/ω, roz x=(Vo/ω)sinωot[m]
c)x=xo, x'=Vo,> xo=B Vo=Aωo, A=Vo/ω, roz x=(Vo/ω)sinωot+xocosωot.
14.Drgania wymuszone. Jakich składników skł się ruch wymuszony? mx”+kx+Psinωt (mx”-bezwł) (kx-drgająca) (P(t)-wymuszająca). Rozwiązanie: x=Asinωot+f(f-funkcja będąca rozwiązaniam tego rów) Drgania się kończą gdy siła wymuszająca spadnie do 0. A=P
15.Okres początkowy drgań wymuszonych tłumionych (wyjaśnić zjawisko). Mx”+cx'+kx=Psinωt->x2, mx”+cx'+kx=0->x1 x=x1+x2, częstość drgań wymuszonych tłumionych ωoτ=√ωo2-h2).
16.Rodzaje wibroizolacji: Przemieszczeniowa -izolacja drgającego środowiska od chronionego obiektu. Sitowa-izolujemy drgającą maszynę będąca generatorem wzbudzonych sił od środowiska.
*sitowa
17.Współczynnik przenoszenia siły (izolacja): Q-P<n<Q+P, lub wibroizolacja, N=kx, mx”+k+Psinωt, x=Asinωt, (k-mω2)x=P, x=P/(k-mω2), N=kx, N=Pk/(k-mω2)=kP/(k(1-mω2/k)=P/(1-mω2/k); ωo2=k/m, ..=P/1-ω2/ωo2)=Pγ, γ-wsp uwielokrotniający siłę.
18.Płaszczyzna fazowa- mx”+cx'+kx=Peiωt, S1/2=-h±i√ω2-h2), S1/2=-h±iωτ,
1)h>ωo; S1/2=-h±√h2-ω2); c/m=2h->x'+2hx+cos2ωo
2)h<ωo; S1/2=-h±i√ω2-h2)
3)h=ωo; S1/2=-h±iωτ.
19.Położenie pierwiastków na płaszczyźnie fazowej w zależności od wartości tłumienia: jeżeli pierwiastki rzeczywiste będą każdy po prawej stronie osi rzeczywistej ukł będzie niestateczny. Układ jest stabilny jeżeli pierwiastki rzecz rów różniczkowego leża na lewej płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
20.Podatonść dynamiczna: (ms2+cs+k)A_=P, A=P(1/ms2+Cs+k)-α(iω)-podatność dynamiczna, x_=α_Peiωt, odpowiedzią na drgania wymuszone= podatność x siła wymuszająca. α(iω)=|x/p|eip, Podatnością nazywamy iloraz wyjścia do wejścia z uwzględnianiem pezsunięcia fazowego pomiędzy wyjściem i wejściem. Podatność dyn jest to transmitancja dla ukł dynamicznych wejściem siła, wyjściem przesunięcie w metrach.
21.Jak znaleźć doświadczalnie podatność?
22.Interpretacja wektorowa drgań: prędkość x'=Aωcosωt, przyspieszenie x”=Aω2sinωt.
23.Równanie Lagrange'a: *centralne rów L: d/dt(j=1∑k)Pj•δqj=Ek+δ'A, *uogólnione: δ'A=(j=1∑k)Qj•δqj, zatem d/dt(j=1∑k)Pj•δqj=δEk+(j=1∑k)Qj•δqj. {{d/dt(δEk/δq')+(δEp/δq)=0, Ek-en kin Ek=mx'2/2, Ep=kx2/2, δEk/δx'=mx', δEp/δx=kx, d/dt(δEk/δx')=d/dt(mx')=mx”, mx”+kx=0, x”+(k/m)x=0, x”+ωo2x=0, ωo=√k/m) częstośc drg własnych.
24.Carakterystyka fazowo częstotliwościowa. ξ-wzgledny wsp tłumienia częstotliwości. ξ=2h/ωo=c/√mk)
25.Sztywność k w przypadku prętów ściskanych, skręcanych, zginanych.
a)ściskane Δl=Pl/EI, P/Δl=EI/l=k
b)skręcane φ=Ml/GI, k=M/Δφ=GI/l
c)zginane k=P/f, f=Pl3/3EI, EIy”=M(x), EIy=-Px3/6+Cx+D, k=3EI/l3,
26.Co to jest ruch o dwóch stopniach swobody: Układ mech o 2stopnicha swobody może być ukł prostym (1-elem) o dwóch elementarnych ruchach przemiennych lub układam złożonym (2-elem) którego każdy elem, realizuje jeden przemienny ruch prosty.
m1x1”+kx2'+k(x1+x2)=Psinωt, m2x2”+k2(x2+x1)=0,
[M]{x”}+[k]{x}={P}
27.Zapisać rów ruchu ukł: mx”+k(x-xo)=0,
28.Jak zmierzyć wsp tłumienia c. jeżeli nieliniowość związana jest z tłumienim to częstość drgań własnych ukł nie zależy w sposób widoczny od amplitudy i w przybliżeniu pozostaje równa √k/m) w takim przypadku interesuje nas tylko szybkość zmniejszania się amplitudy. Dokładne rozwiązanie tego zagadnienia można otrzymać na drodze graficznej lub numerycznej całkowania równania ruchu, co związane jest jednak z dużym wahadłem pracy jedynie w przypadku suchego tarcia istnieją proste jednocześnie dokładne rozwiązania. Dla celów praktycznych dostarczenie dokładne rozwiązanie otrzymujemy po przyrównanie do siebie energi pochłoniętej przez tłumienie w rzędzie jednego okresu dla ubytku energii kinetycznej. Żeby obliczyć te straty energi musimy znać przebieg ruchu który nie jest sinosiudalny i tylko przy małym tłumieniu może być uważany za taki im mniejszy tłumienie tym przybliżenie lepsze. xo=xosinωt, c-f(x), to praca W=∫2Πf(x2)dx=0∫tf(x)xT=xo0∫2Πf(x”)cosωtd(ωt). {{ należy wprowadzić ukł w ruch drgający swobodny, nie wymuszony i mierzyć czas zaniku impulsu. Ft=c(dx/dt)=cx'.
29.Co to jest wymuszenie kinematyczne?
30.Wpływ k,c,m na drgania w zależności od częstości ω.
31. Wyprowadzić lub podać wzór w celu wykreślenia wykresu amplitudowo-fazowego -częstotliwościowego. Α(iω)=1/(kmω2+iωc)
32.Wyjaśnić pojęcie postaci drgań własnych: w tym przypadku mamy drgania swobodne mx”+kx=0, wprowadzam ωo2=k/m, x”+ωo2x=0, ωo-częstość drgań własnych. Z teori równań różniczkowych liniowych wynika rozwiązanie x(t)=C1cosωot+C2sinωot, x(t)=asinφcosωot+acosφωot=asin(ωot+φ), ze wzoru wynika ze, drgania własne są drganiami harmonicznymi. Drgania własne lub swobodne są to drgania wywołane jednorazowym wytrąceniem ukł z położenia równowagi sprężystaj, po czym ukł pozostawiony jest samemu sobie.
33.Wahadło fizyczne: punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici. Siły działające na wahadło lφ”m+mgsniξ=0, φ”+g/lφ, x”+ωo2x=0, ωo=√g/l)częstość drgań własnych wahadła, T=2Π/ωo, T=2Π√l/g).
Zasada d'Alambert'a P-ma=0, P=ma, M=Iε. M-Iε, -Qs•sinφ-Iφ”=0, Iφ”+mgs•sinφ=0, Iφ”+mgsφ=0, φ”+(mgs/I)φ=0, φ”+(g/lred)φ=0, T=2Π√lred/g) lred=Io+ms2/ms=(mi2+ms2)/ms=i2/s+s, jeżeli s->∞=>lred->∞=>T->∞, jeżli s->0=>lred->∞=>T->∞, dl/ds.=-i2/s2+1=0, i2=s2.
34.Dekrement logarytmiczny tłumienia. mx”+cx'+kx=0, x”+2hx'+ωo2x=0, A2=-A1e-h(T/2), Am-1=Ame-h(T/2, |Am-1/Am|=e-h(T/2), lg|Am-1/Am|=-hT/2=P/2, {log100=2, 102=100} -h(T/2)=-P/2, P=hT=h(2Π/ωo)h(2Π/√ωo2-h2).